精品解析：四川省绵阳中学2025-2026学年高一下学期第二学月月考数学试题

绵阳中学高2025级高一下期第二学月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故D正确. 2. 若直线平面，直线平面，，则（ ） A. 或与异面 B. C. 与异面 D. 与相交 【答案】B 【解析】 【分析】过作平面交平面于，过作平面交平面于，通过线面平行的性质定理、判定定理、平行公理可以判断出的位置关系. 【详解】如图，过作平面交平面于，过作平面交平面于，因为，所以. 因为，所以. 所以，又，所以，又，所以，所以. 故选：B 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了平行公理，考查了推理论证能力. 3. 已知向量满足，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积这一性质，将已知模长等式两边平方，代入已知模长数值即可求出的值. 【详解】 将两边平方，得：  ， 代入已知，，可得，， 且，代入上式得：  ， 整理计算得，即，因此的值为1. 4. 中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（ ） A. 顶角为的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解. 【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分，而， 所以，即，于是得是等腰三角形，即， 令直线交于点，则是边的中点，， 而，因此，从而得， 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要条件 B. 若，，则“”是“”的充分条件 C. 若，则“”是“”的充要条件 D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质可判断A；利用线面平行的判定和性质可判断B；利用线面垂直的性质和面面平行的判定可判断C；利用线面平行的性质可判断D. 【详解】对于A，若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B，，，则“”“”“m，n平行或异面， 所以是的充分条件，故B正确； 对于C，，则“”“”， 则“”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，，则“”“或”， “”“m，n相交、平行或异面”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：A. 6. 在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，再根据平行得出异面直线所成角的正弦值即可求角. 【详解】取的中点，连结，． 因为，分别为，的中点，所以，， 所以为与所成的角或其补角． 因为，所以在中，， 所以，所以． 故选:D． 7. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 1小时 【答案】A 【解析】 【分析】先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间. 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 线段上存在点､使得 B. 与的夹角为 C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】D 【解析】 【分析】对A，利用异面直线的定义；对B，根据线面垂直性质得直线夹角；对C，根据三角形的高不相等；对D，直接计算体积. 【详解】选项A，如图所示，与为异面直线，故与也为异面直线，A错误； 选项B，连接 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 同理可得，， 因为，所以平面，因为平面， 所以，故两直线夹角为，B错误； 选项C，由图可知，点B到EF的距离为，点A到EF的距离是底边上的高， 因为，所以点A到EF的距离为， 即点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误； 选项D，连结BD交AC于O，在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 即平面，则AO为三棱锥的高，， 因为，所以三棱锥的体积为为定值，D正确； 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若z是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算，模的定义，复数方程中根与系数的关系判断各选项. 【详解】A，，则，A正确； B，，B错； C，，C正确； D，若z是关于x的方程的根，则是另一根， 所以，，，所以，D正确. 10. 已知三点A，B，C分别为，若存在点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若所有满足条件的点组成的平面区域的面积为16，且 ，则的最小值为9 D. 若，则三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】向量数量积坐标运算计算判断A；由投影向量计算公式计算判断B；由A可知，结合题意根据矩形面积计算公式可得，由基本不等式计算判断C；由平面向量线性运算可得，判断D；. 【详解】选项A，由题，则，A正确； 选项B，，在方向上的投影向量为，B错误； 选项C，由A可知，，所以可以作为平面内一组基底，， 以为邻边的平行四边形面积为， 设，过点作，过点C作且， 设，连接并延长交于点，如图所示： 由题意可知点组成的平面区域为图中矩形，其面积为， 化简可得， 由基本不等式可知，所以， 因为，解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，C正确. 选项D，若，则， ，即， 所以，故，则三点共线，D正确； 11. 四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接说明当是的中点时即可；对于B，先证明，再说明等号能够取到即可；对于C，直接求出外接球的半径，再计算其表面积即可，对于D，设为在底面上的投影，并将点到直线的距离表示为的函数，然后求该函数的最小值即可. 【详解】对于A，当是的中点时，记正方形的中心为， 则分别为的中点，所以， 而与底面垂直，所以与底面垂直. 从而由在底面内，知， 而，在平面内交于点，故垂直于平面. 由于在平面内，故，从而A正确； 对于B，由于垂直于平面，在平面内， 故，而，和在平面内交于点， 故垂直于平面. 所以由在平面内，就有. 而， 故. 从而到直线的距离为，同理到直线的距离为. 所以. 当时，由于， 同理，故，， 所以，所以的最小值是，故B正确. 对于C，由于的外接球球心为的中点，故外接球的半径为的一半，即，所以外接球表面积为，故C错误； 对于D，设在底面上的投影为， 则，设， 则到直线的距离，且当时，等号成立，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于恰当利用几何体的对称性，从而降低工作量，并可利用对称性观察出函数取得最值的点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点，则力对该物体所做的功为___________． 【答案】23 【解析】 【分析】先由平面向量减法的坐标运算得出，再根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可． 【详解】由题意得， 所以力对该物体所做的功为． 13. 如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，，则小岛C、D相距为___________海里. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆内接四边形性质及正余弦定理求解. 【详解】依题意，，则， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理，得， 即，而，解得， 所以小岛C、D相距为10海里. 14. 如图，有一个直径AB等于2的半圆，过点A作这个半圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS＝AB，点C为半圆上的一个动点，点M、N分别为A在SB、SC上的射影．当三棱锥的体积最大时，SC与平面ABC所成角的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，可以确定出平面，进一步确定出平面，再求得平面，从而得到为三棱锥的高，由于为定值，要使三棱锥的体积最大，只要底面的面积最大即可，因为是斜边确定的直角三角形，根据基本不等式可以确定最值，最后再求得相应的边长，从而得到答案． 【详解】由面ABC，得为SC与平面ABC所成的角， 由面ABC，面ABC，得，又，，所以面SAC， 又面SAC，得， 因为A在SC上的射影为N，所以，又，得面SBC， 又面SBC，面SBC，得，， 因为A在SB上的射影为M，所以，又，得面AMN， 因为AS＝AB＝2，所以， 在中，， 于是三棱锥S－AMN的体积， 当且仅当时等号成立，三棱锥S－AMN的体积取最大值， 此时，，即SC与平面ABC所成角的大小为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知． （1）求平行四边形对角线的长； （2）若存在轴上一点满足，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线向量等于两邻边向量之和，计算向量模长即得的长； （2）先设轴上点的坐标，通过向量点积为0求出的坐标，再用向量夹角公式计算. 【小问1详解】 由已知点坐标可得：， 因为四边形为平行四边形，所以对角线， 因此； 【小问2详解】 设，则， 由得：，解得，即， 进而得，根据向量夹角公式： . 16. 的内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若，求锐角的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和，可求解，求出； （2）是锐角三角形和（1）得到，再由三角形的面积和正弦定理求出，求出面积范围. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，由（1）知且，可得， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又由正弦定理且， 所以， 因为，所以， 故，则， 所以， 即面积的取值范围为. 17. 如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，． （1）证明：∥平面PAB． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 如图，取PA的中点E，连接EB，EM， 因为ME是△PAD的中位线，则∥，且 又因为N是BC的中点，则∥，且， 可得∥，且， 可知四边形MEBN是平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以∥平面PAB． （2） 【解析】 【分析】（1）取PA的中点E，连接EB，EM，可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由题意可知：三棱锥的高为，利用转换顶点法求锥体体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在高为的四棱锥中，因为M为PD的中点， 可知三棱锥的高为， 且， 所以三棱锥的体积． 18. 在中，角的对边分别是，边长，______（在以下条件中任选1个，将序号补充在答题卡横线上，并加以解答；选择多个条件时以第1种计分）. A. 若 B. 若 （1）求角的大小； （2）若在内部且满足，，求线段的长度； （3）求锐角的内切圆半径的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理角化边，再整理出余弦定理标准式求，由内角范围锁定角度； （2）向量和为零向量是重心，重心分中线2:1，先用面积求出，再用中线公式算中线长，按比例得； （3）面积两种表达联立（为半周长），边角互化结合锐角约束求范围，进而求最值. 【小问1详解】 选A填入，因为  ，所以， 即， 因为，所以；   选B填入，因为， 所以， 因为，所以， 则， 因为，所以， 则. 【小问2详解】 因为在内部且满足，所以为的重心， 延长交于，有，， 则， 由（1）可知，代入得， 因为， 所以代入得， 则. 【小问3详解】 设的内切圆半径为，由得， 由（1）可知， 代入得； 由可得， 则； 因为为锐角三角形，所以， 所以， 则. 19. 如图，等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）当PD=2时，求证：平面⊥平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当三棱锥表面积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）设为中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为，，，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过线面垂直证明面面垂直； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. 【小问3详解】 设， 则， 即① 令② ①②2得， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳中学高2025级高一下期第二学月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若直线平面，直线平面，，则（ ） A. 或与异面 B. C. 与异面 D. 与相交 3. 已知向量满足，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（ ） A. 顶角为的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要条件 B. 若，，则“”是“”的充分条件 C. 若，则“”是“”的充要条件 D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件 6. 在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 1小时 8. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 线段上存在点､使得 B. 与的夹角为 C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若z是关于x的方程的根，则 10. 已知三点A，B，C分别为，若存在点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若所有满足条件的点组成的平面区域的面积为16，且 ，则的最小值为9 D. 若，则三点共线 11. 四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 的最小值为 C. 四棱锥的外接球表面积为 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点，则力对该物体所做的功为___________． 13. 如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，，则小岛C、D相距为___________海里. 14. 如图，有一个直径AB等于2的半圆，过点A作这个半圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS＝AB，点C为半圆上的一个动点，点M、N分别为A在SB、SC上的射影．当三棱锥的体积最大时，SC与平面ABC所成角的大小为______． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知． （1）求平行四边形对角线的长； （2）若存在轴上一点满足，求． 16. 的内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若，求锐角的面积的取值范围. 17. 如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，． （1）证明：∥平面PAB． （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角的对边分别是，边长，______（在以下条件中任选1个，将序号补充在答题卡横线上，并加以解答；选择多个条件时以第1种计分）. A. 若 B. 若 （1）求角的大小； （2）若在内部且满足，，求线段的长度； （3）求锐角的内切圆半径的最大值. 19. 如图，等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． （1）当PD=2时，求证：平面⊥平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当三棱锥表面积最大时，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $