精品解析：四川绵阳市三台中学2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题

三台中学2025级高一下 6月 教学质量检测 数 学 试 卷 考试时间：2026.06 120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】对化简即可. 【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 2. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（ ） A. 60 B. 20 C. 40 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6， 所以该正四棱台的体积. 故选：D. 3. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（    ） A. 若，，则； B. 若，，，，则； C. 若，，则； D. 若，，，则或与异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系及相关判定、性质定理，逐一判断即可. 【详解】对选项A：根据线面平行的判定定理，平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，才可推出该直线与此平面平行， 该选项未说明，当时也满足且，故A错误； 对选项B：根据面面平行的判定定理，一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，才可推出两平面平行， 该选项未说明与为相交直线，若，则与可能相交，故B错误； 对选项C：若，则与内的直线无公共点，位置关系为平行或异面，不一定平行，故C错误； 对选项D：若，则与无公共点，因此分别在两平面内的直线、也无公共点，无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故D正确. 4. 若平面内的两个向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】应用数量积运算律计算得出，再应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，所以 所以，所以. 5. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是边上靠近点的三等分点， 所以， 又因为， 所以. 6. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不含的直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 7. 在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. 【详解】连接. 因为平面， 所以平面. 因为，所以平面. 因为平面，所以，故与的夹角为. 8. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得，求得的值，再结合余弦定理即可求得角C. 【详解】根据题意得， 将代入得：，化简可得：， 由余弦定理可得：, 因为，所以. 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则（     ） A. 的夹角为锐角 B. 若，则 C. 若与垂直，则 D. 在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算，结合向量夹角、平行、垂直的判定规则，以及投影向量的计算公式逐项分析判断. 【详解】选项A：易知 ，且 ， 说明与不共线，因此两向量夹角为锐角，A正确； 选项B：若，则 ，解得，B正确； 选项C：因为 ，所以 ， 解得 ，C错误； 选项D：投影向量公式为，代入 ， 得 ，D正确. 10. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 的外接圆半径为6 C. 若，且有一解，则的取值范围为 D. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合正弦定理依次对选项求解即可． 【详解】对于A，由可得，即，因为，所以，且，所以，故A正确； 对于B， 根据正弦定理得则得，故B错误； 对于C， 由正弦定理得即，要使有一解， 则或，则的取值范围为，故C正确； 对于D，由正弦定理可得， ，即， 因为为锐角三角形，所以，，解得， 所以，故D正确． 11. 如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A. 三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B. 无论点N在何处，始终有平面成立． C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D. 平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，直角面积为定值，点N到平面的距离为定值，进而判断体积；B选项，平面即为平面 ，再结合正方体特点判断； C选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，设大小为，设，，分，和三种情况，得到的取值范围；D选项，当为的中点，和三种情况，画出平面BDN截得正方体的截面. 【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面， 所以即为直线MN与平面所成角，设大小为， 设正方体的棱长为2，则， 设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 显然，，， 此时， 综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点， 在平面上，过点作平行于，交于点，连接， 则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答卷中的横线上． 12. i是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】,得，所以. 13. 如图，海岸线上有相距的两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处；乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处．则两艘轮船之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可知为正三角形，再解，即可求出． 【详解】 如图所示：连接，由题可知，，，所以为正三角形，在中，，，所以，，即． 故答案为：． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 【答案】 【解析】 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，为中点，，，． （1）用和表示； （2）若，求； （3）设和的夹角为，若，求证：． 【答案】（1） （2） （3） ∵ 为中点， ∴ ， ∴ . ∵ 与的夹角为，， ∴ . 计算得： ， ∴ ，即. 【解析】 【分析】（1）结合点的分点比例，利用向量线性运算法则将转化为与的线性组合. （2）利用向量模长与数量积的关系，结合已知夹角及模长条件计算. （3）将用、表示，通过证明推导垂直关系. 【小问1详解】 ∵ ， ∴ ， 整理得， ∴ . 【小问2详解】 ∵ ，，， ∴ . ∵ ， 代入数值计算得： ， ∴ . 【小问3详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． （1）若为线段上的动点，证明：平面平面； （2）若是上靠近的四等分点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 由为线段的中点，可知， 因为，且平面，所以平面． 又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明； （2）由等体积法进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 利用等体积法，设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故．因此，． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 17. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）的内角所对的边分别为，若，，面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据图象，依次求得的值，从而求得的解析式； （2）先求得，利用余弦定理求得，进而得到的周长． 【小问1详解】 由图可知，， 函数的最小正周期为， ， ，可得， ，则， ，则， 所以． 【小问2详解】 由（1）知得， ，又， ， 结合面积公式， 得， 再由余弦定理，得， 由完全平方公式，，故 因此，的周长为． 18. 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 【答案】（1） 连接交于点，连接， ，，由相似三角形的性质，可得， 又，所以， 平面，平面， 平面． （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，进而证明出线面平行； （2）①作出辅助线，为二面角的平面角，根据二面角的正切值求出，求出其他各边长，利用求出体积； ②作出辅助线，得到为与平面所成角，即，求出各边长，其中，由余弦定理得，由求出，，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，取的中点，连接，，， 则，， ，， ∵是边长为6的等边三角形，则，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，． 又，平面，平面， ∵平面，，所以为二面角的平面角． 在中，． 在中，， ， ． ②过作交于，连接，由于平面， 所以平面， 则为与平面所成角，即，． 点在棱上，且． 由，，， 由余弦定理得 ， ，，，， 故的取值范围为． 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用仿射坐标系等价于直角坐标系的性质，直接对向量进行坐标线性运算求出对应坐标，再由向量模长公式直接算出模的值. （2）先在直角坐标系下写出基底的坐标表示，再依据仿射坐标系向量分解规则把向量转化为直角坐标形式，接着利用向量夹角余弦公式列出等式，化简方程后求解cos并结合题意舍去不合理解，最终求出夹角的值. （3）先在给定基底夹角的直角坐标系中写出两个基底的坐标，用参数表示的坐标，借助余弦定理由得到的约束等式，再利用中点向量公式表示出，展开数量积并化简为含的表达式，接着在三角形中用正弦定理把转化为角的三角函数，通过降幂公式化简，再用辅助角公式整理成正弦型函数，结合的范围求出最大值，最后代回数量积式子算出最大值. 【小问1详解】 仿射坐标系即为直角坐标系，所以， 所以 ； 【小问2详解】 在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 整理得. 解得（舍去）或，所以； 【小问3详解】 在直角坐标系中，，， 设，，，，，即， ， 则，所以， ，分别为，的中点， 则， 中，由正弦定理， 设，则， 所以，， . 其中为锐角，且， 因为，则 ， 故当时，取得最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2025级高一下 6月 教学质量检测 数 学 试 卷 考试时间：2026.06 120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（ ） A. 60 B. 20 C. 40 D. 56 3. 已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（    ） A. 若，，则； B. 若，，，，则； C. 若，，则； D. 若，，，则或与异面 4. 若平面内的两个向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 不含的直角三角形 7. 在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则（     ） A. 的夹角为锐角 B. 若，则 C. 若与垂直，则 D. 在上的投影向量是 10. 在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 的外接圆半径为6 C. 若，且有一解，则的取值范围为 D. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 11. 如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（    ） A. 三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B. 无论点N在何处，始终有平面成立． C. 直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D. 平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答卷中的横线上． 12. i是虚数单位，若复数满足，则______． 13. 如图，海岸线上有相距的两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处；乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处．则两艘轮船之间的距离为_________． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，为中点，，，． （1）用和表示； （2）若，求； （3）设和的夹角为，若，求证：． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． （1）若为线段上的动点，证明：平面平面； （2）若是上靠近的四等分点，求点到平面的距离． 17. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）的内角所对的边分别为，若，，面积为，求的周长． 18. 如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． （1）求证：∥平面； （2）已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 19. 如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． （1）在“仿射坐标系”中，，，求； （2）在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； （3）如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $