3.1函数的概念及其表示 课时练习- 2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 3.1函数的概念及其表示同步练，通过基础-中档-提升三层设计，覆盖定义域、值域、解析式等核心概念，从单一知识点到综合应用，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域、值域等单一概念|单选/填空聚焦概念辨析（如表格函数值域）| |中档|同一函数判断、复合函数定义域|融合多概念（如同函数的定义域与对应法则）| |提升|分段函数、承托函数应用|解答题结合图像与逻辑推理（如分段函数解析式）|

3.1函数的概念及其表示 课时练习 一、单选题 1.函数 的定义域为（   ） A.                             B.                             C.                             D.  2.下表表示 是 的函数，则函数的值域是（   ） x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A. [2,5]                                   B. {2,3,4,5}                                   C. (0,20]                                   D. N 3.已知函数 与函数 是同一个函数，则函数 的定义域是（    ） A.                             B.                             C.                             D.  4.已知 ，则 （   ） A.                                 B.                                 C.                                 D.  5.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为(    ) A.                                 B.                                 C.                                 D.  6.已知下列四组函数： ① ；  ② ， ； ③ ， ； ④ ， ． 其中是同一个函数的组号是（    ）. A. ①                                         B. ②                                         C. ③                                         D. ④ 7.定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(   ) A. [2a，a＋b]                         B. [0，b－a]                         C. [a，b]                         D. [－a，a＋b] 8.已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（    ） A. 有最大值 ，无最小值                             B. 有最大值 ，最小值 C. 有最大值 ，无最小值                             D. 有最大值2，最小值 9.若 表示不超过 的最大整数,例如 ,那么函数 的值域是（    ） A. [0,1]                                    B. (0,1)                                    C. [0,1)                                    D. (0,1] 10.若函数 满足 ，则 （    ） A.                                         B.                                         C.                                         D.  11.函数 的值域是(     ) A.                              B.                              C.                              D.  12.已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（    ） A.                  B.                  C.                  D.  13.函数 的值域是（    ） A.                             B.                             C.                             D.  14.已知 ，则 的解析式为（   ） A.                                     B.  C.                                     D.  15.下列四个函数：①y=3﹣x；②y= ；③y=x2+2x﹣10；④y= ．其中定义域与值域相同的函数有（   ） A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 16.若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为 ，则m的取值范围是（　　）        A. （0，4]                      B.                       C.                       D.  二、填空题 17.函数 的定义域是________． 18.已知 的定义域是 ，则 的定义域是________. 19.若 ,则 的值域是________.(请用区间表示) 20.若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为________. 21.已知函数 是二次函数，且满足 ，则 = ________． 22.函数y=2x﹣3﹣ 的值域是________． 23.已知函数 在区间 上的最大值等于8，则函数 的值域为________． 24.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 与函数 为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是________．(填序号) ① ；② ；③ ；④ . 三、解答题 25.如图所示，函数f（x）的图象是折线段ABC， 其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4）． （1）求f[f（0）]的值； （2）求函数f（x）的解析式． 26.已知 . （1）求： . （2）写出函数 与 的定义域和值域. 27.设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）． （1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）； （2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数 的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由． 答案解析部分 一、单选题 1.答案： D 解：由已知得 ，解得 或 ， 故答案为：D. 【分析】根据平方根的定义可知负数没有平方根，又其在分式的分母位置，得到被开方数大于0，列出关于 的不等式，解二次不等式，即为函数的定义域． 2.答案： B 解：由题中列表表示的函数可知函数的值域为 . 故答案为：B. 【分析】由题意结合所给函数的列表确定函数的值域即可. 3.答案： A 解：由 有 ,即 .又 与函数 是同一个函数,故函数 的定义域也为 故答案为：A 【分析】根据根号内要大于等于0列出相应不等式求解即可. 4.答案： B 解：令t=x-2,则x=t+2, ∴f（x）＝ ． 故答案为：B． 【分析】利用换元法求解析式即可. 5.答案： C 解：∵函数 的定义域为 ， ∴ ，解得： ， 即函数 的定义域为 ， 故答案为：C 【分析】由已知函数的定义域，可得﹣1≤2x﹣1≤3，求解不等式得答案 6.答案： D 解：对于①，函数f（x）＝x+1（x∈R），与g（x） 1＝x+1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数； 对于②，函数f（x）＝x（x∈R），与 |x|（x∈R）的对应法则不同，不是同一函数； 对于③，函数f（x）＝1（x∈R），与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数； 对于④，函数 |x|（x∈R），与g（x）＝|x|（x∈R）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数． 综上知，是同一函数的一组序号为④． 故答案为：D． 【分析】分别判断每组中两个函数的定义域和对应法则是否一致即可． 7.答案： C 解：令 ，∵ ，则 ， ∴函数 与 是同一个函数； ∴ 的值域为 故答案为：C. 【分析】先令 ， 得到函数 与 是同一个函数，利用函数y＝f(x)的值域为[a，b]，即可求出函数y＝f(x＋a)的值域. 8.答案： A 解： ,故 是以 为对称中心,在对称点左下和右上单调递减的分式函数.故 在 上单调递减,所以 有最大值 ，无最小值.即 有最大值 ，无最小值. 故答案为： A. 【分析】 是分式类函数,故考虑分离常数进行分析. 9.答案： C 解：当 是整数时,显然 ； 当 是正小数时,显然 是 的小数部分,故 ； 当 是负小数时,显然 表示的是1与 小数部分的差, 故 ,因此函数 的值域是[0,1). 故答案为：C 【分析】根据题目中所给的定义可以分类讨论得出正确答案. 10.答案： A 解：因为函数 满足 ， 令 得： ，① 令 得： ，② 联立①②得： ， 故答案为：A. 【分析】由函数 满足 ，再分别令 ， ，列方程组求解即可. 11.答案： C 解： ，设 变换得到函数 在 单调递增. 故 ，即 故答案为： 【分析】换元 ，变换得到 ，根据函数的单调性得到函数值域. 12.答案： B 解：由题得 ，解之得 且 . 故答案为：B 【分析】解不等式 即得函数的定义域. 13.答案： A 解：函数 在 为单调递减函数， 当 时 ，无最大值， 所以值域为 ， 故答案为：A ． 【分析】首先确定函数 在 上单调递减，然后可以计算最小值从而求出值域. 14.答案： C 解：设 ，则 ，所以 ，即 ． 故答案为：C． 【分析】令 ，解出 ，代入 ，化简即可得出答案. 15.答案：C 解：①y=3﹣x的定义域和值域均为R；②y= ；定义域为{x∈R|x≠0}，∴值域{y∈R|y≠0}，定义域与值域相同；③y=x2+2x﹣10的定义域为R，值域为{y|y≥﹣11}，定义域与值域不相同；④y= 的定义域和值域均为R． 定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个． 故选C． 【分析】根据定义域的求法和值域的求法依次求解即可． 16.答案： C 解：y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+ ﹣ =（x﹣ ）2﹣ 定义域为〔0，m〕 那么在x=0时函数值最大 即y最大=（0﹣ ）2﹣ = ﹣ =﹣4 又值域为〔﹣ ，﹣4〕 即当x=m时，函数最小且y最小=﹣ 即﹣ ≤（m﹣ ）2﹣ ≤﹣4，0≤（m﹣ ）2≤ ，即m≥ （1）， 又（m﹣ ）2≤ ，m﹣ ≥﹣3 且m﹣ ≤ ，0≤m≤3 （2） 所以： ≤m≤3 故选C． 【分析】先配方利用定义域值域，分析确定m的范围． 二、填空题 17.答案： 或 解：由 ，解得x≥2，或x≤ ． ∴函数的定义域为 或 ． 故答案为： 或 ． 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解. 18.答案： 解：由函数 的定义域满足 ，据此可得： ， 则函数 的定义域为： ， 求解不等式 可得 的定义域是 . 【分析】复合函数定义域求法，抓住最外面函数定义域不变的特性，即可得出答案。 19.答案： 解： 2 ， 故f（x） ， 故答案为 . 【分析】利用分离参数法即可求解． 20.答案： 解：由题意得 在 上恒成立． ①当 时，则 恒成立， ∴ 符合题意； ②当 时， 则 ，解得 ． 综上可得 ， ∴实数 的取值范围为 ． 答案： 【分析】不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， ；当 时， ；不等式 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 时， ；当 时， ． 21.答案： 解：设二次函数 已知二次函数 满足 即： 可得： ，解得 则 【分析】待定系数法求解析式，列方程组求出a，b，c的值，得出答案。 22.答案：（﹣∞， ] 解：由题意：设t= （t≥0），则 ． 那么y=2x﹣3﹣ 转化为：y= ， 整理：y= （t≥0）， 由二次函数图象及性质可知： 函数y= 图象开口向下，有最大值；单调减区间为（﹣1，+∞）； ∵t≥0，∴当t=0 时，函数y= 取得最大值，即 ； 所以函数y=2x﹣3﹣ 的值域为（﹣∞， ]． 故答案为：（﹣∞， ]． 【分析】利用“换元法”转化为二次函数求值域．注意换元后的参数的取值范围． 23.答案： 解：二次函数的对称轴为 ，故 ，所以 且 ，对称轴为 ，故所求值域为 ，填 ． 【分析】首先求出函数的对称轴，根据对称轴的位置判断出函数取最大值时的自变量值求出a，进而求出函数在区间[−2,1]上的值域。 24.答案：①②④ 解：①y= ，x∈（1，2）与y= ，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立； ②y=|x|，x∈（1，2）与y=|x|，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立； ③∵y= 在定义域内的任意一个x值都有唯一一个y值与之对应， 故不可构造同族函数； ④y=x2+1，x∈（1，2）与y=x2+1，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立； 故答案为：①②④． 【分析】理解同族函数的定义，分别判断各组函数的定义域值域。 三、解答题 25.答案：解：（1）f（0）=4，f（4）=2 （2）当0≤x≤2时，设f（x）=kx+b， 代入（0，4）（2，0） 得， ∴ ，即f（x）=﹣2x+4 当2≤x≤6时，代入（2，0）（6，4）， 得 ，∴ ，即 f（x）=x﹣2， 综上， 解：【分析】（1）根据所给的函数图像求得f[f（0）]的值；（2）根据函数图像可知函数是线段AB与线段BC组成的分段函数. 26.答案： 解：（1）由 , 可得 , , ； （2）函数 为一次函数,故其定义域为 ,值域为 , 由 , , 可得函数 的定义域为 ,值域为 . 【分析】(1)分别代入 到对应的函数中化简即可.(2) 为一次函数, 先分析分母 即可求得定义域与值域. 27.答案：解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）， 可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2， 则f（x）=x2+2x+1， 由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数； （2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数， 且f（x）为函数 的一个承托函数． 即有x≤ax2+bx+c≤ x2+ 恒成立， 令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c， 又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0， 即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c； 又（a﹣ ）x2+bx+c﹣ ≤0恒成立， 可得a＜ ，且b2﹣4（a﹣ ）（c﹣ ）≤0， 即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣ ）2≤0恒成立． 故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜ ，b=1﹣2a， 可取a=c= ，b= ．满足题意. 【分析】（1）由题意可得c=1，进而得到f（x），可取g（x）=x；（2）假设存在常数a，b，c满足题意，令x=1，可得a+b+c=1，再由二次不等式恒成立问题解法，运用判别式小于等于0，化简整理，即可判断存在． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $