函数的应用（一）-2026-2027学年新高一暑假数学预习成果检测

**基本信息** 聚焦函数应用建模，通过实际问题系统构建“概念-模型-求解”逻辑链，强化二次函数、分段函数等核心方法的迁移应用，培养数学建模与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数应用|单选2-3、填空13、解答15-17|配方法求最值、对称轴应用|从实际问题抽象二次函数模型，利用单调性与最值解决利润、成本问题| |分段函数应用|单选4、6、多选9、填空12|分类讨论区间取值|结合实际情境构建分段函数，分析不同区间函数关系与应用| |基本不等式应用|单选8、解答16、18|“一正二定三相等”求最值|建立平均量函数模型，用基本不等式解决最优化问题| |一次函数与综合应用|单选1、7、多选10-11、解答19|一次函数建模、分段函数综合|整合一次函数与其他函数模型，解决车流量、边际利润等复杂问题|

2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----函数的应用（一） 一、单选题 1．某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪元，每工作小时获取元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为小时，获取的税前月工资为元，则与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 3．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 4．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 5．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　） A．１００台 B．１２０台 C．１５０台 D．１８０台 6．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　) A．   B．   C．   D．   7．数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 8．我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 二、多选题 9．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 10．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ） A．取得最大值时每月产量为台 B．边际利润函数的表达式为 C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 11．根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 三、填空题 12．已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时，________. 13．某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是___. 14．某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为__________.（写成区间形式）    四、解答题 15．两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 16．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元， (1)求的函数解析式，并求报价的最小值. (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 17．某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 18．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元． (1)分别求出和关于距离的关系式； (2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？ 19．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本） (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据题意直接写出函数即可. 【详解】由题意得， 故选：C. 2．A 【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【详解】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 3．B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 4．C 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C 5．C 【详解】主要考查二次函数模型的应用． 解：依题意 利润0，整理得，解得 ，又因为X∈（0，240），所以最低产量是150台． 6．B 【分析】根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定. 【详解】出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是). 对应的值都是5， 以后每价为元， 不足按计价， 时， 时，，故选B. 【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 7．B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【详解】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 8．D 【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可 【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值240， 当 时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200， 综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元， 故选：D 9．AC 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 10．BCD 【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，， 因为函数为减函数，则，C对； 对于D选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式即可判断A，再由题意得到的解析式，代值即可判断B，最后根据分段函数求得最值即可判断C，D． 【详解】由题意，当时,； 当时，设 由已知得， 解得， ∴； 所以时，，故A正确； 由上可得， 时，，故B正确； ①当时，为增函数， ∴当时，取得最大值，且最大值为 ， ②当时，， ∴当时，取得最大值，且最大值为．， 所以的最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确； 故选：ABD. 12． 【分析】根据题意分析得时的原价，进而求得促销后的费用的解析式，从而得解. 【详解】因为当时，元， 所以. 故答案为：. 13．200 【分析】 根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论． 【详解】解：由题意， 时，， 时，； 时，， 天时，总利润最大为10000元 故答案为：200． 【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题． 14． 【分析】分，两种情况求出函数解析式，再结合不等式求解即可. 【详解】当时，设， 将代入得，，解得， 则， 由，解得，即； 当时，设， 将，代入得，则， 由，解得，即. 综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 故答案为：. 15．(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 16．(1)，报价的最小值为元 (2) 【分析】（1）根据题意抽象出的函数，再利用基本不等式即可得解； （2）根据题意得到恒成立，利用参变分离法，结合对勾函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，储物室的长为米， 则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，报价的最小值为元. （2）依题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，所以，即， 令，则， 则， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以，又，即， 所以的取值范围是. 17．(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 18．(1)，． (2)仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元． 【分析】由题意设，，求得，，故，． 设这两项费用之和为，则，利用基本不等式求解可得时，即可求解． 【详解】（1）设，， 由题意可得：，，解得，． 所以，. （2）设这两项费用之和为， 则 ， ， 当且仅当，即时取得等号． 答：若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元． 19．(1) (2)2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元 【分析】（1）根据条件得到销售额为（万元），分和两种情况讨论得到利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）由，则分两种情况，分别在对应范围内利用二次函数的对称轴和基本不等式讨论最大值，最后取最大者即为最大利润. 【详解】（1）每辆售价 6 万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为（万元） 当时，， 当时，， ∴； （2）当时，， 这个二次函数的对称轴为，所以当时，为最大值， 当时，， ∵，当且仅当，即时，等号成立， ∴， 即当时，取到最大值2300， ∵，∴当时， 即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $