直线方程（一）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线方程核心知识点，从平面直角坐标系基本公式出发，系统梳理直线倾斜角与斜率、方向向量与法向量、五种直线方程形式及直线间位置关系，构建从基础到应用的完整知识支架。 资料通过知识点详细诠释培养数学思维的推理意识，如明确倾斜角范围与斜率计算公式，题型演练分层设计，从基础辨析到综合应用，如直线与线段位置关系问题，提升数学眼光的几何直观与数学语言的模型意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

直线方程（一） 直线与方程（一） 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 6 【题型一：直线倾斜角与斜率】 6 【题型二：直线的方向向量与法向量】 14 【题型三：直线的位置关系】 15 【题型四：直线方程综合】 18 直线与方程（一） 【知识梳理】 知识点1：平面直角坐标系中的基本公式 设为线段AB的中点，则 ①AB两点之间的距离公式为： ②中点M的坐标公式:所以M， 知识点2：直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： （1）要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． （4）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （5）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 直线的斜率：一般地，如果直线的倾斜角为，当时，则称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在。 斜率的计算公式：一般地，是直线上两个不同对的点，直线的倾斜角为，则： 1 当时（此时必有），； 2 当时（此时必有），； 3 当且时，可以构造以AB为斜边且两边直角边分别平行于坐标轴或在坐标轴上的直角三角形，如下图所示： 此时，，而且，这个式子在且时也成立。 直线倾斜角和斜率之间的关系： 知识点3：直线的方向向量与法向量 直线的方向向量：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作，可以看出： 1 如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线； 2 如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量。 【拓展】一般地，如果已知为直线的一个方向向量，则 1 当时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 2 当时，直线的斜率是存在的，而且此时（1，k）与都是直线的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知，从而，因此可知倾斜角满足 直线的法向量：一般地，如果非零向量的有向线段所在直线与直线垂直，则称向量 为直线的 一个法向量 知识点4：直线的方程 直线的点斜式方程：方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： （1）点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； （2）当直线的倾斜角为时，直线方程为； （3）当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． （4）表示直线去掉一个点；表示一条直线． 直线的斜截式方程：如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： （1）b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； （2）斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； （3）当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． （4）斜截式的前提是直线斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． （5）斜截式是点斜式特殊情况，在方程中，是直线斜率，是直线在轴上的截距． 直线的两点式方程：经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： （1）这个方程由直线上两点确定； （2）当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． （3）直线方程的表示与选择的顺序无关． （4）在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 直线的截距式方程： 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： （1）截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． （2）求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 直线的一般式方程：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： （1）A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． （2）在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 直线的方程不同形式间的关系： 知识点五: 直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点六：直线间的位置关系 （一）两直线相交、平行与重合 （1） 斜截式：若直线则： 与相交； 与且； 与重合； （2） 一般式：对于两条直线的一般式方程： 利用上面的结论可以推出： 1 平行的条件：且或； 2 重合的条件：或 （二）两直线的垂直 如图，当两条直线的倾斜角为时，若则，即，所以。 （1） 斜截式，若斜率都存在的两条直线，则，反之也成立。若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为零时，它们互相垂直。 （3） 一般式，对于两条直线的一般式方程： 运用上面的结论可以推出两条直线对垂直的条件： 【题型演练】 【题型一：直线倾斜角与斜率】 1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程可得斜率，进而结合倾斜角的范围可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，可得， 所以该直线的倾斜角为. 故选：A. 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据直线与轴平行时，直线的倾斜角为0求解. 【详解】，此直线与轴平行， 直线与轴平行，此直线的倾斜角为0， 的倾斜角为0. 故选：C. 3．下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分别求直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系，即可判断选项. 【详解】对于A，直线的斜率，则倾斜角； 对于B，直线的倾斜角； 对于C，直线的斜率，则倾斜角； 对于D，直线的倾斜角， 所以直线的倾斜角最大. 故选：C. 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 6．过点，倾斜角是直线的倾斜角的一半的直线方程为____________． 【答案】 【分析】先求直线的斜率，即倾斜角的正切值，用2倍角的正切公式求斜率，再利用点斜式求直线方程． 【详解】直线的斜率为， 设过点直线的倾斜角为，则的倾斜角为，所以， 其斜率为，因为 所以,则 故所求直线方程为,即, 故答案为： 7．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， 所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 8．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 9．已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线l经过点，且与线段没有公共点， 所以，或， 即或， 因为，所以， 故直线l的倾斜角的取值范围是． 故选：C．    10．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 11．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的斜率，利用数形结合思想，分情况讨论出直线的特殊情况，求解判断即可. 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 12．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析两条直线的定点，再求交点的轨迹，最后计算直线的斜率的最值之和. 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 13．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A.    14．求函数的最大值______. 【答案】/ 【分析】分析函数的结构形式，设，，把函数看作A，B两点连线的斜率，其中点A在单位圆的上半圆，数形结合求解. 【详解】设，，， 看作A，B两点连线的斜率，其中点A在单位圆的上半圆， 函数的最大值为直线斜率的最大值，当直线与半圆相切时，斜率最大， 此时，，，所以. 故答案为： 15．已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则的倾斜角为，可知的斜率， 所以的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. 【题型二：直线的方向向量与法向量】 16．经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出t的值. 【详解】由题意，，则. 故选：C 17．若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解． 【详解】设的倾斜角为，， 由题意得的斜率，则， 故选：C． 18．过点且以向量为方向向量的直线方程为______；过点且与向量垂直的直线方程为______. 【答案】 ； . 【分析】根据题中条件得到直线的斜率，再由点斜式得到直线方程. 【详解】以向量为方向向量的直线的斜率， 又直线过点，则直线的方程为，即； 与向量垂直的直线的斜率满足，则， 又直线过点，则直线的方程为，即. 故答案为：；. 【题型三：直线的位置关系】 19．已知直线，，且，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 20．已知直线和直线，若“”，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线间位置关系列方程，解方程即可. 【详解】由已知， 则， 解得或， 故选：C. 21．已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】根据直线的垂直关系推出，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线：与直线，， 则，即， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立。 故的最小值为， 故选：B 22．已知直线，，若，则的值为____________. 【答案】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此. 故答案为：2. 23．若直线与直线平行，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用两直线平行的等价条件，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：AB. 24．若直线与平行，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过平行求出的值，再利用平行线之间的距离公式即可求出. 【详解】直线与平行，，即，解得或， 当时，直线与，两直线重合，舍去； 当时，直线与，整理为，两直线平行， 根据两平行线的距离公式可得 . 故选：. 25．已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A,将 , 代入 :,恒成立,故 A 正确. 对于B,当 时,,即 . 圆心 ,半径 ,圆心到直线的距离 , 故直线与圆相切,B 正确. 对于C,若 , 当 时, 即 ,,斜率分别为 和不存在,不平行. 当 时,,,由 得 ,即 , 整理得 ,即 ,解得 或 . 当 时,,,两直线平行不重合; 当 时, 即 , ， 即 ,两直线重合,故 时两直线重合而非平行,因此 C 错误. 对于D,若 ,当 时, 斜率不存在, 斜率为 ,不垂直. 当 时,,解得 ,即 ,,故 D 正确. 26．给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）与重合； （2）与平行； （3）与垂直. 【详解】（1）由，解得，所以当时，与重合. （2）由，解得，所以时，与平行. （3）当时，即时，与相垂直. 【题型四：直线方程综合】 27．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为_________． 【答案】或 【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0即可得出结果. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 28．过，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】考虑直线斜率不存在，斜率为0和直线斜率存在且不为0时，设出直线方程，求出在两坐标轴上的截距，从而得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线方程斜率不存在时，直线方程为， 显然，此时在x轴上的截距为6，在y轴上截距不存在，不满足要求； 当过的直线方程斜率为0时，直线方程为， 显然，此时在x轴上截距不存在，在y轴上的截距为，不满足要求； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 令得，令得， 由题意得，化简得， 解得或， 故直线方程为或， 即或 故选：D 29．已知直线，下列结论错误的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率不存在 D．直线的斜率为 【答案】CD 【分析】由题意，利用直线的截距、斜率和倾斜角，逐一判断各个选项是否正确， 从而得出结论. 【详解】对于A，令，可得，故直线在轴上的截距为，故A正确； 对于B，当时，直线l即，它的斜率为，故它的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线即，它的斜率为0 ，故C错误； 对于D，直线即，它的斜率为，故D错误. 故选：CD. 30．下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据条件，结合也是直线的方向向量计算的值即可判断A；根据两直线互相垂直计算参数的值即可判断B，再判断正误；根据直线恒过定点可知当直线与垂直时，点到直线的距离最大即可判断C；计算直线的斜率，结合图象确定直线斜率的取值范围即可判断D. 【详解】A.由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确； B.由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； C.将直线方程变形为，由得， 直线过定点，斜率为. 当直线与垂直时，点到直线的距离最大. 因为，所以，选项C正确； D. 如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点. 故选项D正确. 故选：ACD. 31．若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________. 【答案】3 【分析】根据题意得到该等边三角形的三边所在直线的倾斜角，进而求出三边所在直线的斜率，求出和即可. 【详解】因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为， 可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为， 因为，， ， 即该等边三角形的三边所在直线的斜率分别为， 所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3. 故答案为：3 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线方程（一） 直线与方程（一） 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 6 【题型一：直线倾斜角与斜率】 6 【题型二：直线的方向向量与法向量】 9 【题型三：直线的位置关系】 9 【题型四：直线方程综合】 11 直线与方程（一） 【知识梳理】 知识点1：平面直角坐标系中的基本公式 设为线段AB的中点，则 ①AB两点之间的距离公式为： ②中点M的坐标公式:所以M， 知识点2：直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： （1）要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． （4）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （5）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 直线的斜率：一般地，如果直线的倾斜角为，当时，则称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在。 斜率的计算公式：一般地，是直线上两个不同对的点，直线的倾斜角为，则： 1 当时（此时必有），； 2 当时（此时必有），； 3 当且时，可以构造以AB为斜边且两边直角边分别平行于坐标轴或在坐标轴上的直角三角形，如下图所示： 此时，，而且，这个式子在且时也成立。 直线倾斜角和斜率之间的关系： 知识点3：直线的方向向量与法向量 直线的方向向量：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作，可以看出： 1 如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线； 2 如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量。 【拓展】一般地，如果已知为直线的一个方向向量，则 1 当时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°； 2 当时，直线的斜率是存在的，而且此时（1，k）与都是直线的一个方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知，从而，因此可知倾斜角满足 直线的法向量：一般地，如果非零向量的有向线段所在直线与直线垂直，则称向量 为直线的 一个法向量 知识点4：直线的方程 直线的点斜式方程：方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： （1）点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； （2）当直线的倾斜角为时，直线方程为； （3）当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． （4）表示直线去掉一个点；表示一条直线． 直线的斜截式方程：如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： （1）b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； （2）斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； （3）当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． （4）斜截式的前提是直线斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． （5）斜截式是点斜式特殊情况，在方程中，是直线斜率，是直线在轴上的截距． 直线的两点式方程：经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： （1）这个方程由直线上两点确定； （2）当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． （3）直线方程的表示与选择的顺序无关． （4）在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 直线的截距式方程： 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： （1）截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． （2）求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 直线的一般式方程：关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： （1）A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． （2）在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 直线的方程不同形式间的关系： 知识点五: 直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 知识点六：直线间的位置关系 （一）两直线相交、平行与重合 （1） 斜截式：若直线则： 与相交； 与且； 与重合； （2） 一般式：对于两条直线的一般式方程： 利用上面的结论可以推出： 1 平行的条件：且或； 2 重合的条件：或 （二）两直线的垂直 如图，当两条直线的倾斜角为时，若则，即，所以。 （1） 斜截式，若斜率都存在的两条直线，则，反之也成立。若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为零时，它们互相垂直。 （3） 一般式，对于两条直线的一般式方程： 运用上面的结论可以推出两条直线对垂直的条件： 【题型演练】 【题型一：直线倾斜角与斜率】 1．已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 3．下列直线中，倾斜角最大的是（   ） A． B． C． D． 4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．过点，倾斜角是直线的倾斜角的一半的直线方程为____________． 7．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 11．已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 13．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 14．求函数的最大值______. 15．已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线的方程； (2)若点在直线上，且，求的取值范围． 【题型二：直线的方向向量与法向量】 16．经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（    ） A． B．2 C． D．6 17．若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 18． 过点且以向量为方向向量的直线方程为______；过点且与向量垂直的直线方程为______. 【题型三：直线的位置关系】 19．已知直线，，且，则（    ） A． B． C．1或 D．或 20．已知直线和直线，若“”，则（    ） A． B． C．或 D．或 21．已知直线：与直线，且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．15 D． 22．已知直线，，若，则的值为____________. 23．（多选）若直线与直线平行，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 24．若直线与平行，则与间的距离为（   ） A． B． C． D． 25．（多选）已知直线与直线，则下列选项正确的是（ ） A．恒过定点 B．若，则与圆相切 C．若，则或 D．若，则 26．给出两条直线，，其中． (1)当为何值时，与重合？ (2)若，求； (3)求的值，使得． 【题型四：直线方程综合】 27．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为_________． 28．过，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 29．（多选）已知直线，下列结论错误的是（    ） A．直线在轴上的截距为 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线的斜率不存在 D．直线的斜率为 30．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 31．若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $