椭圆复习讲义（一）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学椭圆复习讲义通过知识框架系统梳理基础知识，以图表形式呈现椭圆的定义、标准方程及几何性质，明确定义中轨迹存在的三种情况、离心率与椭圆形状的关系、焦点位置判断等重难点，构建清晰的知识脉络。 讲义亮点在于题型分类精准，涵盖椭圆定义应用、标准方程求解、焦点三角形、离心率及距离最值等七类专题，如例5-1结合焦点三角形面积与焦距求方程，例7-3探究椭圆上点与圆上点距离最值，培养数学思维与几何直观。例题分层设计适配不同学生，助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

椭圆复习讲义（一）答案 一、基础知识 1.椭圆的定义，标准方程及其几何性质 说明：(1) 点轨迹是椭圆 点轨迹是线段 点轨迹不存在 (2)字幕最大，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 (3)分母字幕那个大，焦点就在那个轴上 2.直线和椭圆位置关系判定： 专题3.1 椭圆定义及其标准方程与几何性质 【题型1 椭圆的定义】 【例1-1】平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】的几何意义是点到与距离之和为， ， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，， 点轨迹方程为：. 【例1-2】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解】由可得：，则， 因，则，故. 【例1-3】已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】如图，由题可知，设.连接， 因为垂直平分线段，所以， 所以的周长为，可得， 因为，所以，得，从而， 故的方程是. 【题型2 椭圆的标准方程】 【例2-1】已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 【例2-2】若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确. 【例2-3】已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解】（1），得. 故m范围为. （2），得. 故m范围为. （3），得，且， 故范围为. 【题型3 求椭圆的焦点、焦距、长轴、短轴】 【例3-1】椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解】由椭圆方程化标准方程得：， 由，可得， 则焦点坐标为：和， 【例3-2】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【答案】A 【解】根据椭圆方程，根据焦点在x轴表示出焦距可求出m． 【解答过程】由椭圆焦距为2，焦点在x轴上， 得，则，得，解得，∴m的值为5， 【例3-3】若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C．或 D．6或 【答案】D 【解】若，可得，所以； 由离心率可得，解得； 此时，即，因此椭圆的长轴长为； 若，可得，所以； 由离心率可得，解得； 此时，即，因此椭圆的长轴长为； 综上可得，椭圆的长轴长为6或. 【题型4 轨迹问题——椭圆】 【例4-1】已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点，求点P的轨迹方程； 【答案】(1) 【解】设，则，， 由得，整理得. 故点P的轨迹方程为. 【例4-2】已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 【例4-3】已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 由，得圆内含于圆内，设动圆半径为, 依题意，，，则， 因此点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，， 所以M的方程为. 【题型5 椭圆中焦点三角形】 【例5-1】已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】椭圆的焦距为，则， 由，的面积为，得，即， 又， 所以，即，， 又，则，则椭圆的标准方程为． 【例5-2】已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解】设的内切圆半径为， 则， 所以当取到最大值时，， 又， 所以，即，因为，所以，所以， 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6-1】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【解】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知 ，则，解得， 所以的值为或. 【例6-2】已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】设是椭圆的右焦点，连接， 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为 ，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，所以椭圆的离心率为. 【例6-3】已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】椭圆E的焦点为，则， 如图，由已知可设，则， 由椭圆的定义有， 在中，由余弦定理推论得， 在中，由余弦定理得，解得， ， 所求椭圆E的离心率为. 【题型7 椭圆中距离的最值问题】 【例7-1】已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 【例7-2】已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解】因为，所以， 当且仅当时，取到最大值. 【例7-3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解】设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 【例7-4】已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 【例7-5】（已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 【例7-6】已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 【例7--7】已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 【例7-8】已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】设为椭圆的右焦点，由题知， 故，显然为的圆心， 则，由椭圆定义得， 故， 令，理由如下： 设，，则，， 故 ， 因为，所以， ， 函数均单调递增，故在上单调递增， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆复习讲义（一） 一、基础知识 1.椭圆的定义，标准方程及其几何性质 说明：(1) 点轨迹是椭圆 点轨迹是线段 点轨迹不存在 (2)字幕最大，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 (3)分母字幕那个大，焦点就在那个轴上 2.直线和椭圆位置关系判定： 专题3.1 椭圆定义及其标准方程与几何性质 【题型1 椭圆的定义】 【例1-1】平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1-3】已知椭圆的左顶点为，上，下焦点分别为，直线经过且与交于两点，若垂直平分线段，且的周长为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型2 椭圆的标准方程】 【例2-1】已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【例2-3】已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【题型3 求椭圆的焦点、焦距、长轴、短轴】 【例3-1】椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例3-2】焦点在x轴上的椭圆的焦距为2，则m的值等于（    ） A．5 B．3 C．5或3 D．8 【例3-3】若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C．或 D．6或 【题型4 轨迹问题——椭圆】 【例4-1】已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点，求点P的轨迹方程； 【例4-2】已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型5 椭圆中焦点三角形】 【例5-1】已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若的内切圆半径的最大值为，若椭圆的长轴长为4，则的面积的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【题型6 求椭圆的离心率或其取值范围】 【例6-1】已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 【例6-2】已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例6-3】已知椭圆E的焦点为，过的直线与椭圆E交于A，B两点若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【题型7 椭圆中距离的最值问题】 【例7-1】已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【例7-2】已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（    ） A． B．9 C．16 D．25 【例7-3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【例7-4】已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【例7-5】（已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例7-6】已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例7--7】已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7-8】已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $