2.3.2 两点间距离公式（作业设计）—2025-2026学年高二上学期数学人教版A版选择性必修第一册

该高中数学作业设计方案针对高二学生对两点间距离公式来源理解薄弱、几何与代数转化意识不足的特点，遵循“教-学-评”一体化原则，采用分层设计，基础题占70%，探究题20%，拓展题10%，满足不同水平学生需求。 通过多样化练习提升学习效果，基础题如已知中点求点坐标及距离，强化数学运算能力，创新题如含参距离问题、动点位置关系判断，培养逻辑推理与直观想象素养。评价紧扣教学目标，注重公式应用与几何代数转化，助力学生扎实掌握知识并提升核心素养。

2026年五原县中小学优秀教学案例大赛 高二选择性必修第一册第二单元第3课《两点间距离公式》作业设计 课程基本信息 主备人 李越渊 课型 新授课 学科 数学 年级 高二 学段 高中 版本章节 选择性必修一人教版A版2.3.2 作业设计 课标要求 1. 内容要求：掌握平面内两点间的距离公式，能用坐标法解决简单的几何问题； 2. 素养目标：直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象； 3. 思想方法：数形结合、化归转化（把几何问题代数化）。 教材分析 《两点间距离公式》是人教A版选择性必修第一册第2章第3节第2课时的内容，该内容在高中课程中起到承上启下的关键性作用。此前，学生以及学习并掌握了平面直角坐标系、勾股定理、平面向量的坐标表示等相关基础知识，学习本节课内容，是为了之后学习点到直线的距离、两平行线间的距离、圆的方程、圆锥曲线等知识做准备，该内容在距离问题、圆的弦长问题、判断直线与圆的位置关系、以及圆锥曲线的弦长问题和圆锥曲线与直线的位置关系都运用广泛，发挥着承上启下的重要作用。 学情分析 1. 知识储备：① 已学平面直角坐标系，能准确读写点的坐标；② 已掌握勾股定理及其逆定理；③ 具备完全平方公式、二次根式的基本运算能力。 2. 能力水平：多数学生能完成"已知两点坐标→代入公式→计算距离"的机械操作，但对公式来源的理解较薄弱，几何直观与代数表达之间的转化意识不足。 典型困难：① 坐标代入时符号出错；② 含参问题（如已知距离求参数）时列方程能力弱；③ 从"数"到"形"的逆向运用（已知距离判断点的位置关系）不熟练。 作业设计思路 1. 遵循“教-学-评”一体化的原则，精准针对教学目标进行教学； 2. 设置分层作业，由易到难，基础70% + 探究20% + 拓展10%，让不同水平学生都有收获； 3. 精练习题，尽可能多地展示题型，避免机械重复，但是与此同时也要合理设置题目数量及难度，避免时间过长，要注重练习的效率。 作业设计内容 【基础训练】 1.已知连接点(-2,5)和点M的线段的中点是(1,0),那么点M到原点的距离为(　　) A.41 B. C. D.39 答案:B 解析:设M(x,y),由题意得解得即M(4,-5). 则点M到原点的距离为. 2.过直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程是(　　) A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0 C.x-3y+6=0 D.x-3y+5=0 答案:B 解析:解方程组故直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点坐标为(-1,4).又所求直线与直线3x+y-1=0垂直,故所求直线的斜率为.由点斜式,得所求直线的方程为y-4=[x-(-1)],即x-3y+13=0,故选B. 3.已知过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为(　　) A.6 B.2 C. D.不能确定 答案:C 解析:由题意,知直线AB的斜率kAB=1,故=1,∴b-a=1, ∴|AB|=. 4.若直线ax+by-11=0与直线3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和直线x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为(　　) A.-3,-4 B.3,4 C.4,3 D.-4,-3 答案:B 解析:解方程组 由题意得解得 5.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 答案:B 解析:设P(x,y),则, 即3x+y+4=0. 6.直线x+y-1=0上与点P(-2,3)之间距离等于的点的坐标是(　　) A.(-4,5) B.(-3,4) C.(-3,4)或(-1,2) D.(-4,5)或(0,1) 答案:C 解析:设所求点的坐标为(x0,y0),有x0+y0-1=0,且, 两式联立解得故选C. 7.(1)已知点A(1,-1),B(2,2),点P在直线y=x上,求|PA|2+|PB|2取得最小值时点P的坐标. (2)求过两条直线l1:x=-2与l2:2x+y=-3的交点M,且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 解:(1)设P(t,t),则 |PA|2+|PB|2=(t-1)2+(t+1)2+(t-2)2+(t-2)2=4t2-8t+10=4(t-1)2+6, ∴当t=1时,|PA|2+|PB|2取得最小值,此时点P的坐标为(1,1). (2)由方程组解得 即点M的坐标为(-2,1). 根据题意,知当两坐标轴上的截距均为0时, 所求直线的方程为y=-x,即x+2y=0. 当两坐标轴上的截距均不为0时,设所求直线l的方程为=1, 根据题意可得解得 所以所求直线的方程为=1,即x+y+1=0. 综上所述,直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0. 【创新提升】 1.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p为(　　)A.24 B.20 C.0 D.-4 答案:B 解析:设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2. ∵直线l1,l2互相垂直,∴k1·k2=-1,∴-=-1,解得m=10. 又垂足为(1,p), ∴代入直线方程10x+4y-2=0,得p=-2.将(1,-2)代入直线方程2x-5y+n=0,得n=-12,∴m-n+p=20. 因为两直线的交点在第三象限,所以x<0且y<0,解得<k<1. 故选BC. 2.已知等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(3,0),底边BC的长为4,BC边的中点D的坐标为(5,4),则此三角形的腰长为　　　　　.  答案:2 解析:由题意得|BD|=|BC|=2, |AD|==2. 在Rt△ADB中,由勾股定理得腰长 |AB|==2. 3.若直线l:y=kx-与直线l1:2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　.  答案:(30°,90°) 解析:直线l1:2x+3y-6=0过A(3,0),B(0,2), 而l过定点C(0,-). 设直线l的斜率为k,直线AC的斜率为kAC. 由图象可知 故直线l的倾斜角α的取值范围是(30°,90°). 4.在x轴上求一点P,使得: (1)点P到点A(4,1),B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值; (2)点P到点A(4,1),C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值. 解:(1)如图,直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点, 且|PB|-|PA|=|AB|==5. ∵直线BA的斜率kBA==-,∴直线BA的方程为y=-x+4. 令y=0,得x=,即P.故距离之差的最大值为5, 此时点P的坐标为. (2)如图,作点A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA', 则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点P1为所求点. 由两点间的距离公式,得|CA'|=. ∵直线CA'的斜率kCA'==-5,∴直线CA'的方程为y-4=-5(x-3). 令y=0,得x=,即P. 故距离之和的最小值为,此时点P的坐标为. 5.已知直线l:(4λ+1)x-(λ+1)y+3=0. (1)求证:直线l过定点; (2)若直线l被两平行直线l1:x-2y+2=0与l2:x-2y-6=0所截得的线段AB的中点恰好在直线2x+y+6=0上,求λ的值. (1)证明:直线l的方程可化为λ(4x-y)+x-y+3=0, 令解得 因此直线l过定点(1,4). (2)解:设直线l1,l2分别与直线2x+y+6=0交于C,D两点, 由解得 所以点C; 由解得 所以点D, 所以CD的中点M的坐标为(-2,-2). 不妨设点A在直线l1上,点B在直线l2上,则△AMC≌△BMD,即MA=MB, 故M(-2,-2)为AB的中点.将点M的坐标代入直线l的方程, 得(4λ+1)(-2)-(λ+1)(-2)+3=0,解得λ=. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $