精品解析：广东省佛山市顺德区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025学年第二学期八年级供题训练（数学） 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义依次进行判断即可得． 【详解】解：A、等边三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、直角三角形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、平行四边形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； D、正五边形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 2. 如果，那么下列不等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，两边同乘，不等号方向改变，∴，故A错误； B．∵，两边同减，不等号方向不变，∴，故B错误； C．∵，两边同加，不等号方向不变，∴，故C正确； D．∵，两边同除以正数，不等号方向不变，∴，故D错误； 3. 如图，在中，、分别是、的中点．若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有，从而求出． 【详解】解：、分别是、的中点． 是的中位线， ， ∵， ． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式乘法法则，分式相乘，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 5. 四边形的对角线、相交于点O，不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项B中，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项C中，，符合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，能判定四边形是平行四边形，此项不符题意； 选项D中，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，此项符合题意． 6. 如图，在中，，．若，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求得，利用含30度角的直角三角形的性质得，结合平行四边形的性质得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 7. 已知，，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求式子用平方差公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 8. 如图，大正六边形是由一个小正六边形，六个正三角形，六个等腰三角形镶嵌而成．的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为且邻边相等，在中利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：  多边形是正六边形  ，   在中，  是等腰三角形         故选：A． 9. 某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设出答对题数，根据得分规则和得分要求列出不等式，求解后取最小整数得到结果． 【详解】解：设小明答对的题数为，则答错或不答的题数为． ∵答对一题得5分，答错或不答扣2分，小明得分不低于86分， ∴列不等式得： 展开整理得： 解得： ∴小明答对的题数至少为18． 10. 如图，对于多项式、，定义一种新运算“”，规定：．如图，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程解得交点，结合新运算“”取最小值的含义，即可确定的最大值为． 【详解】解：由题意得，解得， ∴由图和知， 当时，，取的最大值为， 当时，，取的最大值小于， ∴的最大值为． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 直接提公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 写出一个解集为的一元一次不等式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元一次不等式解集的定义，写出满足解集为的不等式即可． 【详解】解：解集为的一元一次不等式可以是． 13. 如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，利用，添加即可． 【详解】解：∵在和中，，（公共边）， ∴添加，利用可使． 14. ，．当时，取值范围为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据的不等关系列出关于的一元一次不等式，再根据一元一次不等式的解法求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 15. 如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得和，过点作于点，过点作于点，根据角平分线得，则有，结合，解得，即可得． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∵的面积为8， ∴， 过点作于点，过点作于点，如图， ∵是角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 则， ∵， ∴， 则． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 当时，解集为；当时，解集为全体实数；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先分别解出不等式组中两个不等式的解集， 再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集； （2）不等式中一次项系数不确定， 需要根据的取值范围分类讨论， 利用不等式的基本性质求出对应解集，即可求解． 【小问1详解】 解：  解不等式①， 移项得， 得， 解不等式②， 两边同乘6去分母得， 去括号得， 移项得， 得 因此不等式组的解集为； 【小问2详解】 解不等式， 移项得， 当时， 不等式两边同时除以， 不等号方向不变， 得 当时， 不等式变为， 该式恒成立， 因此解集为全体实数 当时， 不等式两边同时除以， 不等号方向改变， 得． 17. 根据分式，解决下列问题： （1）求分式有意义时的取值范围； （2）当时，求分式的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解的取值范围； （2）先根据分式运算法则化简原式，再代入的数值计算结果． 【小问1详解】 解：要使分式有意义，，且， 因式分解得，且， 解得且； 【小问2详解】 解： 将代入，． 18. 如图，的顶点均在格点上，顶点． （1）将进行一次平移后得到，顶点，写出、的坐标； （2）以点为旋转中心，逆时针旋转得到．顶点的对应点为点，求出旋转角的大小． 【答案】（1）， （2）旋转角为 【解析】 【分析】（1）根据点、坐标得出平移方式，进而根据平移规律得出、的坐标即可； （2）根据，，坐标求出，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，即可得出旋转角的大小． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵，， ∴，． 【小问2详解】 解：如图，连接、、， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴旋转角为． 19. 学校计划购买数学读物和绘图工具套装作为数学节奖品．已知每套数学读物比每套绘图工具的价格高出20元，且用1000元购买读物的套数与用600元购买工具的套数相等． （1）每套数学读物的价格为多少元？ （2）学校计划用不超过1000元的经费，为表现优秀的30位同学购买奖品，求出所有符合条件的购买方案． 【答案】（1）元 （2）共有6种符合条件的购买方案，分别为： ①购买0套数学读物，30套绘图工具； ②购买1套数学读物，29套绘图工具； ③购买2套数学读物，28套绘图工具； ④购买3套数学读物，27套绘图工具； ⑤购买4套数学读物，26套绘图工具； ⑥购买5套数学读物，25套绘图工具． 【解析】 【分析】（1）根据两种商品购买套数相等的等量关系列分式方程，求解检验后得到数学读物的价格； （2）设出购买数学读物的数量，根据总经费不超过1000元列一元一次不等式，结合购买数量为非负整数的要求，找出所有符合条件的方案． 【小问1详解】 解：设每套数学读物的价格为元，则每套绘图工具的价格为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套数学读物的价格为50元； 【小问2详解】 解：由(1)可知，每套绘图工具的价格为(元)， 设购买套数学读物，则购买绘图工具的数量为套， 由题意得， 化简得， 解得， 因为为非负整数，所以m的取值为0，1，2，3，4，5． 因此符合条件的购买方案有6种，分别为： ①购买0套数学读物，30套绘图工具； ②购买1套数学读物，29套绘图工具； ③购买2套数学读物，28套绘图工具； ④购买3套数学读物，27套绘图工具； ⑤购买4套数学读物，26套绘图工具； ⑥购买5套数学读物，25套绘图工具． 答：共有以上6种符合条件的购买方案． 20. 如图，在中，，和分别是边，上的中线． （1）尺规作图：作中线； （2）求证：； （3）以上证明了命题“等腰三角形两腰上的中线相等”．解决问题后，我们可以继续进行尝试和思考：①将条件变成类似的或更一般的条件；②将一些条件和结论互换．结合本题选择其中一项进行反思，探究结论是否仍然成立． 【答案】（1）中线如图所示： （2）证明：∵和分别是边，上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （3）证明：①如图，把和分别变成边，上的高， ∵和分别是边，上的高， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ②把（1）中条件和结论互换，已知，，求证：和分别是边，上的中线， 证明：由已知条件无法证明和分别是边，上的中线， ∴将条件和结论互换，结论不成立． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图——作中线的方法作图即可； （2）根据中线的定义得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）①把中线变成高，利用证明，即可得出，②将条件和结论互换，无法得出和分别是边，上的中线，可知结论不成立． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 证明：略 21. 几何的智慧，常常藏在“形变而量不变”的转化之中．任意两个面积相等的简单平面多边形，都可以通过有限次分割与无重叠拼接实现互相转化，这就是平面几何中经典的“等积剖分定理”． （1）如图1、图2所示，现有任意三角形，进行如下操作：①作中位线；②取线段上任意一点；③沿线段分割，得到、，分别拼接到、的位置．判断四边形的形状，并证明结论； （2）如图3所示，在四边形中，．剪一剪，拼成一个与其面积相等的平行四边形．尝试两种不同的剪拼方法，画出图示，并对结果进行证明． 【答案】（1）解：四边形是平行四边形，证明如下， ∵沿线段分割，得到、，分别拼接到、的位置， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①如图，取、的中点、，沿线段分割，得到四边形，分别拼接到四边形的位置，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②如图，过中点，沿平行于的直线分割，得到和五边形，拼接到的位置，则， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，，进而证明，得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）①取、的中点、，沿线段分割，得到四边形，分别拼接到四边形的位置，根据旋转的性质得出，，进而证明，即可证明四边形是平行四边形； ②过中点，沿平行于的直线分割，得到和五边形，拼接到的位置，根据，，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 （1）现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 （2）以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 （3）已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】（1） （2）解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． （3）①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【解析】 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 23. 在中，． （1）如图所示，分别以、为边构造正方形、，作，分别交、于点、，连接、． ①求证：； ②观察图形，探究长方形与正方形的面积关系，写出结论并证明． （2）在下图中，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转线段，旋转角度为．点旋转后的对应点为点．连接．过点作，交射线于点．猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①证明：∵四边形、都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴． ②长方形与正方形的面积相等， 证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴中，边上的高， ∵， ∴中，边上的高， ∴，即， ∵，， ∴长方形与正方形的面积相等． （2）解：， 证明如下：如图所示，过点作，交于，连接， ∵以点为旋转中心，按顺时针方向旋转线段，旋转角度为， ∴，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得出，，，根据角的和差关系得出，即可证明； ②根据全等三角形的性质得出，根据平行线间的距离相等，得出，根据长方形和正方形面积公式即可得出结论； （2）过点作，交于，连接，根据旋转的性质得出，由得出是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出，，进而证明，得出，利用角的和差关系得出，即可证明，进而得出． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级供题训练（数学） 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 2. 如果，那么下列不等式一定成立的为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，、分别是、的中点．若，则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 四边形的对角线、相交于点O，不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，．若，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 7. 已知，，可得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，大正六边形是由一个小正六边形，六个正三角形，六个等腰三角形镶嵌而成．的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某校举行“垃圾分类”知识竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答扣2分．若小明得分不低于86分，则他答对的题数至少有（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 10. 如图，对于多项式、，定义一种新运算“”，规定：．如图，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：___________． 12. 写出一个解集为的一元一次不等式：_________． 13. 如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 14. ，．当时，取值范围为_________． 15. 如图，在中，是角平分线，是中线，交于点．若，，的面积为8，则的面积为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）解不等式：． 17. 根据分式，解决下列问题： （1）求分式有意义时的取值范围； （2）当时，求分式的值． 18. 如图，的顶点均在格点上，顶点． （1）将进行一次平移后得到，顶点，写出、的坐标； （2）以点为旋转中心，逆时针旋转得到．顶点的对应点为点，求出旋转角的大小． 19. 学校计划购买数学读物和绘图工具套装作为数学节奖品．已知每套数学读物比每套绘图工具的价格高出20元，且用1000元购买读物的套数与用600元购买工具的套数相等． （1）每套数学读物的价格为多少元？ （2）学校计划用不超过1000元的经费，为表现优秀的30位同学购买奖品，求出所有符合条件的购买方案． 20. 如图，在中，，和分别是边，上的中线． （1）尺规作图：作中线； （2）求证：； （3）以上证明了命题“等腰三角形两腰上的中线相等”．解决问题后，我们可以继续进行尝试和思考：①将条件变成类似的或更一般的条件；②将一些条件和结论互换．结合本题选择其中一项进行反思，探究结论是否仍然成立． 21. 几何的智慧，常常藏在“形变而量不变”的转化之中．任意两个面积相等的简单平面多边形，都可以通过有限次分割与无重叠拼接实现互相转化，这就是平面几何中经典的“等积剖分定理”． （1）如图1、图2所示，现有任意三角形，进行如下操作：①作中位线；②取线段上任意一点；③沿线段分割，得到、，分别拼接到、的位置．判断四边形的形状，并证明结论； （2）如图3所示，在四边形中，．剪一剪，拼成一个与其面积相等的平行四边形．尝试两种不同的剪拼方法，画出图示，并对结果进行证明． 22. 我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 （1）现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 （2）以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 （3）已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 23. 在中，． （1）如图所示，分别以、为边构造正方形、，作，分别交、于点、，连接、． ①求证：； ②观察图形，探究长方形与正方形的面积关系，写出结论并证明． （2）在下图中，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转线段，旋转角度为．点旋转后的对应点为点．连接．过点作，交射线于点．猜想线段与线段的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $