精品解析：广东省佛山市顺德区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024学年第二学期八年级教学质量监测 数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 平行四边形 B. 等边三角形 C. 五角星 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、五角星是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确； B．∵，∴，正确； C．∵，∴，故不正确； D．∵，∴，故不正确； 故选B． 3. 在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ∴， ， 故选：C． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同个三角形中，等边所对的角相等 B. 若，则 C. 平行四边形的对角线相等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 根据等腰三角形的性质，有理数的乘方运算及平行四边形的性质、角平分线的性质逐项分析． 【详解】解：A、同个三角形中，等边所对的角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、若，则，故正确，是真命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线不一定相等，是假命题，符合题意； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意； 故选C． 5. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：D． 6. 将方程去分母，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，利用了等式的基本性质，等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等． 根据等式的基本性质求解即可． 【详解】解：解方程， 方程两边同乘以6得：， 故选：D． 7. 如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 8. 分式方程的增根是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行判断即可． 本题考查的是分式方程的增根的问题，掌握增根的意义是解题的关键． 【详解】解： 最简公分母：分母可分解为，另一分母为，故公分母为， 两边同乘，得： 解得：， 检验增根：将代入原方程的分母和，结果均为，说明使分母无意义，是增根， 虽使，但并非方程的解，故不选A或C； 不使分母为零，故D错误， 综上，增根为， 故选：B 9. 某公园准备用地砖铺露天步道．现有若干正三角形地砖，公园计划进购另一种形状的地砖与正三角形地砖一起进行密铺，不应购买的地砖形状是（ ） A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，根据密铺的条件得，在同一个顶点处的几个多边形的内角之和必须为，计算每个选项的内角，看同一个顶点处的几个多边形的内角之和能否为，即可得． 【详解】解：A．正方形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； B．正六边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； C．正八边形的每个内角是，与不能组成的角，所以不能密铺，选项说法错误，符合题意； D．正十二边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，已知直线的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在坐标系中画出的图象，结合函数图象，写出直线在直线的下方（含交点）所对应的自变量的范围即可． 【详解】直线，当时，， 即直线也过点 在坐标系中画出的图象，如图， 根据函数图象，当时，， 所以关于不等式的解集为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：3xy2÷=_______. 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据分式的运算法则即可求出答案． 详解：原式=3xy2• = 故答案为． 点睛：本题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法因式分解．直接利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ______ ． 【答案】##55度 【解析】 【分析】此题考查了是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出结论，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的底角为， 故答案为：． 14. 如图，某公园小山坡有一处草坪风景欣赏区．坡顶到水平面的高度为20米，坡底到点的距离为100米．为方便游人观赏，公园需要在之间修建一条小路．方案一：在之间修建一条笔直的小路；方案二：在之间沿着斜坡修建折线小路．方案二比方案一线路长________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象．根据题意可得：，在中，利用勾股定理可求出的长，然后利用平移的性质可得：方案二的线路长米，从而进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，米，米， ∴（米）， ∴方案一的线路长为米； 由题意得：方案二的线路长（米）， ∴方案二比方案一线路长米， 故答案为：． 15. 如图，在直角中，，．以顶点为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，使得、的对应点分别是、，点落在边上．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论_______． 【答案】，为等边三角形， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质．设与相交于点D，由题意得，由旋转得，可得为等边三角形，则，可得，进而可得，即，从而可得答案． 【详解】解：设与相交于点D， ∵，， ∴． 由旋转得，， ∴为等边三角形． ∴， ∴． ∴， 即． ∴三个不同类型的结论有：，为等边三角形，（答案不唯一）． 故答案为：，为等边三角形，（答案不唯一）． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 解不等式组：（要求作出数轴）． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出每个不等式的解集，找到其公共部分即可确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，． ∴不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： ． 17. 仅用无刻度的直尺，在下面方格纸中画图． （1）平移得到，使得点的对应点为； （2）画出，使它与关于点成中心对称． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−旋转变换、作图−平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由平移性质，将的三个顶点按照点到的平移发生进行，再连接三个顶点即可得到； （2）由旋转性质，将的三个顶点绕着点旋转，再连接三个顶点即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求． 18. 如图，在等腰中，． （1）尺规作图：作边上的高； （2），求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合三角形的高的定义画图即可； （2）由题意得，，则，可得，结合含30度角的直角三角形的性质可得，即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问2详解】 证明：∵为边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 在岭南水乡，每年端午期间都会举办龙舟比赛．赛道在全长约660米的河道上．甲队的平均速度比乙队约快0.5米/秒，甲队划80米用时与乙队划70米用时相等． （1）求乙队的平均速度； （2）比赛进行1分钟后，甲队保持平均速度不变，落后的乙队平均速度至少提高百分之几才能赢得比赛？（精确到） 【答案】（1）乙队的平均速度为； （2）落后乙队平均速度至少提高才能赢得比赛． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此列出方程． （1）设乙队的平均速度为，则甲队的平均速度为，根据“甲队划80米用时与乙队划70米用时相等”列出关于x的分式方程，解之即可； （2）设乙队平均速度提高百分比为m，根据“剩下路程甲队用时剩下路程乙队用时”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙队的平均速度为，则甲队的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验：是分式方程的解； 答：乙队的平均速度为； 【小问2详解】 解：由题意知，设乙队平均速度提高百分比为m， 甲队1分钟行驶的路程为， 乙队行进的路程为， 则， 解得， ， 所以落后的乙队平均速度至少提高才能赢得比赛． 20. 通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式的值为正数时，应满足什么条件？ 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）由已知得，再根据分式化简的步骤求解即可； （2）由已知得，由分式的性质得到，据此求解即可； （3）由题意得到或，结合，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵分式的值为正数时， ∴或， 又∵， ∴或， 解得． 21. 【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 （1）请你说明方案一的合理性； （2）请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 22. 代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． （1）求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．如，，，，……，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断的理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①是，理由见解析；②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703． 【解析】 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差． （1）设两个连续奇数分别为，，其中m为正整数，利用平方差公式整理得，则两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【小问1详解】 解：设两个连续奇数分别为，，其中m为正整数， 两个连续奇数的平方差为 ， ∵m为正整数， ∴能被8整除， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除； 【小问2详解】 解：①∵，∴， ∴； ∴9是“智慧数”， 故答案为：是； ②设两个数分别为，k，其中，且k为整数． 则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数． 则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可得左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， ∵， ∴第2025个智慧数在（组），并且是第2个数，即． 将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703． 23. 如图1，在平行四边形中，，，是所在直线上的动点．连接，将沿着对折，点的对应点为． （1）当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； （2）如图2，当点与点重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； （3）若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 【答案】（1）∥ （2）； （3）的长为或或或． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证出，得出； （2）由折叠的性质得出，，求出，由三角形面积可得出答案； （3）分四种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 故答案为：∥； 【小问2详解】 解：∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：若点E在的延长线上，，过点B作于点F， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，过点B作于点F， 同理可得； 当点E在上时，，延长交于点M， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，，延长交于点F， 同理可得，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或或或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确进行分类是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级教学质量监测 数学 说明：本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，写在试卷上不计成绩． 2．作图（含辅助线）和列表时用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 五角星 D. 圆 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，与的度数之比为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 同个三角形中，等边所对的角相等 B. 若，则 C. 平行四边形的对角线相等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 5. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将方程去分母，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 8. 分式方程的增根是（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 某公园准备用地砖铺露天步道．现有若干正三角形地砖，公园计划进购另一种形状的地砖与正三角形地砖一起进行密铺，不应购买的地砖形状是（ ） A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 10. 如图，已知直线的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：3xy2÷=_______. 12. 因式分解：________． 13. 等腰三角形的顶角是，则它的底角是 ______ ． 14. 如图，某公园小山坡有一处草坪风景欣赏区．坡顶到水平面高度为20米，坡底到点的距离为100米．为方便游人观赏，公园需要在之间修建一条小路．方案一：在之间修建一条笔直的小路；方案二：在之间沿着斜坡修建折线小路．方案二比方案一线路长________米． 15. 如图，在直角中，，．以顶点为旋转中心，将逆时针旋转到位置，使得、的对应点分别是、，点落在边上．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 解不等式组：（要求作出数轴）． 17. 仅用无刻度的直尺，在下面方格纸中画图． （1）平移得到，使得点的对应点为； （2）画出，使它与关于点成中心对称． 18. 如图，在等腰中，． （1）尺规作图：作边上的高； （2），求证：． 19. 在岭南水乡，每年端午期间都会举办龙舟比赛．赛道在全长约660米的河道上．甲队的平均速度比乙队约快0.5米/秒，甲队划80米用时与乙队划70米用时相等． （1）求乙队平均速度； （2）比赛进行1分钟后，甲队保持平均速度不变，落后的乙队平均速度至少提高百分之几才能赢得比赛？（精确到） 20. 通过分式的学习，我们已经认识到：分式不仅能如分数般理解性质、开展运算，还与方程、不等式、函数等代数内容紧密相连．已知，解决下列问题： （1）求的值； （2）若，求、的值； （3）分式值为正数时，应满足什么条件？ 21. 【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 （1）请你说明方案一的合理性； （2）请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 22. 代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． （1）求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．如，，，，……，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 23. 如图1，在平行四边形中，，，是所在直线上的动点．连接，将沿着对折，点的对应点为． （1）当为等边三角形时，请判断和的位置关系： ； （2）如图2，当点与点重合时，恰好垂直，求重叠部分的面积； （3）若，当与平行四边形的边互相垂直时，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $