3.3专题 ：抛物线的焦点弦性质 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过框架图系统梳理抛物线焦点弦性质的知识体系，将焦点弦的坐标形式、圆的相切关系、焦半径公式、长度公式等10个核心结论按“定义推导-性质应用”逻辑组织，突出角度参数、定值关系等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，单选第1题基础计算到多选第15题综合应用，如第10题结合焦半径公式与基本不等式求最值，培养推理能力与应用意识。每个结论附证明过程，基础生掌握应用，优秀生深化逻辑，助力教师实施精准分层教学。

3.3 专题:抛物线的焦点弦性质 【基础回顾】 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 如图, 为抛物线 的焦点弦,设点 ,焦点 ,准线 ,准线与 轴交点为 ,作 且 分别为线段 的中点,则有以下结论: 结论 1: 焦点弦的坐标形式: 证明: 根据抛物线定义, 抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离, 可得 ,故 结论 ,以 为直径的圆与准线相切 证明: 是梯形 的中位线,所以有 ,即 ,故以 为直径的圆与准线相切. 结论 3: 焦半径公式 (角度形式) 为 倾斜角) 证明: 设准线 交 轴于 点,过点 作 轴于 ,作 于 . 设 为点 到准线 的距离,于是 . 其中 , 故 ,即 , 故 . 同理 结论 4: 焦点弦的角度形式: ( 为 的倾斜角) 证明: 根据焦半径公式: ,所以 . 结论 5: 通径最短,其长度为 证明: 因为 ,故当 ,即 轴时, ,焦点弦取最小值 ,即所有焦点弦中通径最短,其长度为 . 结论 (定值) 证明: 根据焦半径公式: ,可得 结论 证明: 当 的斜率不存在时,依题意 ,所以 . 当 的斜率存在时,设为 ,则 ,与抛物线 联立可得 . 所以 . 因为 ,所以 ,但 , 所以 . 另证: 设直线 的方程为: ,与 联立,得 ,故 . 综上可知: 结论 8: 面积公式: 证明: 根据结论 7 可得, , 所以 故 . 结论 9: 三个垂直 证明: 由题意知 故可得 , 根据结论 ,得 ,故 . 设点 ,故可得 , 因为 , 故 , 因为 代入 , 故 . 因为 , 故 , 因为 代入原式化简得 ,故 . 结论 10: 四个相切圆 (均可通过上述结论证明) ①以 为直径的圆必与准线相切. ②以 为直径的圆与 相切. ③以 为直径的圆与 轴相切. ④以 为直径的圆与 轴相切. 【题型专练 】 一．选择题 1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，作直线与C交于A，B两点，若点A的横坐标为4，则|AB|＝（　　） A．5 B． C． D． 2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．且与准线交于点D．若点B为线段AD的中点，|BF|＝2，则p的值为（　　） A． B．2 C． D．4 3．设F为抛物线C：y2＝5x的焦点，过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝5，则∠MFN＝（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A、B两点，若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝（　　） A．4 B． C． D． 5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 6．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，A，B是C上不同的两点，且都在第一象限，若AF⊥x轴，|BF|＝5|AF|，，则p＝（　　） A． B．1 C．2 D．4 7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别为点A1，B1，给出下列三个结论： ①A1F⊥B1F； ②若M为线段AB的中点且|AB|＝8，则点M到y轴的距离为3； ③若，则． 其中正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（　　） A．焦点F到抛物线C的准线的距离为8 B． C．若AB的中点的纵坐标为4，则|AF||BF|＝8 D．若2|BF|＝|AF|，则 9．已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴交于点P，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则|AF||BF|＝（　　） A．12 B． C．6 D．8 10．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AF|+4|BF|＝9，则p的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 12．已知抛物线y2＝2px（p＞0），过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为A1，则当四边形CFAA1的面积为时，p的值为（　　） A． B．4 C．8 D． 13．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+2|BF|的最小值为（　　） A． B． C． D．22 14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，若|AF|＝2|FB|，则|AB|＝（　　） A． B．3 C．4 D． 二．多选题 15．（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，过F的直线交C于A，B两点，交C的准线于点P．若|AF|＝3，则下列说法中正确的有（　　） A．抛物线C的方程为：y2＝4x B．|AB|＝4 C．|PB|＝|AB| D．△AOB的面积为 16．（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，1）在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且△ABF的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（　　） A．p＝2 B．若|BF|＝3，则B点的坐标为（4，4）或（4，﹣4） C．若|MN|＝8，则点P到y轴的距离为3 D． 17．（多选）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，AP⊥l，垂足为P，|PF|＝|AF|，下列说法正确的是（　　） A．直线m的斜率为 B．|PF|＝|RF| C．|AF|＝2|BF| D． 18．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点（其中A在第一象限），则（　　） A．p＝2 B． C．|AF|＝3|BF| D．△OAB为直角三角形 19．（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，y0）在抛物线C上，则下列说法正确的是（　　） A．准线为x＝﹣1 B．若|MF|＝4，则 C．若|MF|＝4，则 D．M到（3，0）距离最小为3 20．（多选）M是抛物线C：y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，过M作C的准线的垂线，交准线于点B．则（　　） A．|FM|＝4 B．△FMB的面积为 C．∠FMB的角分线过C的准线与x轴的交点 D．以FM为直径的圆与y轴相切 21．（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点C，若|AF|＝4，则下列说法正确的是（　　） A．p＝2 B．|AF|＝3|BF| C．|AF|＝|BC| D．|BC|＝2|BF| 22．（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点C，若|AF|＝4，则下列说法正确的是（　　） A．p＝2 B．|AF|＝3|BF| C．|AF|＝|BC| D．以线段AF为直径的圆与y轴相切 23．（多选）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2＝8y上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于点P（x0，y0）．若弦AB过焦点F，则（　　） A．x1+x2＝2x0 B．若PA的方程为x﹣2y﹣1＝0，则x2＝﹣4 C．点P始终满足 D．△PAB面积的最小值为16 24．（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝20交于A，B两点，且|AB|＝8．过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（　　） A．若，则直线l的斜率为 B．|MF|+4|NF|的最小值为18 C．∠MON为钝角 D．点P与点F的横坐标相同时，最小 25．（多选）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），M（﹣1，0），则（　　） A．|MF|＝4 B． C．|AB|最小值为4 D．当直线l的倾斜角为60°时，△AFM与△BFM面积之比为3 $ 3.3 专题:抛物线的焦点弦性质 【基础回顾】 ( 1 / 24 ) 学科网（北京）股份有限公司 如图, 为抛物线 的焦点弦,设点 ,焦点 ,准线 ,准线与 轴交点为 ,作 且 分别为线段 的中点,则有以下结论: 结论 1: 焦点弦的坐标形式: 证明: 根据抛物线定义, 抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离, 可得 ,故 结论 ,以 为直径的圆与准线相切 证明: 是梯形 的中位线,所以有 ,即 ,故以 为直径的圆与准线相切. 结论 3: 焦半径公式 (角度形式) 为 倾斜角) 证明: 设准线 交 轴于 点,过点 作 轴于 ,作 于 . 设 为点 到准线 的距离,于是 . 其中 , 故 ,即 , 故 . 同理 结论 4: 焦点弦的角度形式: ( 为 的倾斜角) 证明: 根据焦半径公式: ,所以 . 结论 5: 通径最短,其长度为 证明: 因为 ,故当 ,即 轴时, ,焦点弦取最小值 ,即所有焦点弦中通径最短,其长度为 . 结论 (定值) 证明: 根据焦半径公式: ,可得 结论 证明: 当 的斜率不存在时,依题意 ,所以 . 当 的斜率存在时,设为 ,则 ,与抛物线 联立可得 . 所以 . 因为 ,所以 ,但 , 所以 . 另证: 设直线 的方程为: ,与 联立,得 ,故 . 综上可知: 结论 8: 面积公式: 证明: 根据结论 7 可得, , 所以 故 . 结论 9: 三个垂直 证明: 由题意知 故可得 , 根据结论 ,得 ,故 . 设点 ,故可得 , 因为 , 故 , 因为 代入 , 故 . 因为 , 故 , 因为 代入原式化简得 ,故 . 结论 10: 四个相切圆 (均可通过上述结论证明) ①以 为直径的圆必与准线相切. ②以 为直径的圆与 相切. ③以 为直径的圆与 轴相切. ④以 为直径的圆与 轴相切. 【题型专练 】 一．选择题 1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，作直线与C交于A，B两点，若点A的横坐标为4，则|AB|＝（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题焦点F（1，0），准线x＝﹣1． 已知A点横坐标为4，代入抛物线方程得y2＝16，即y＝±4，故A有两种情况：A（4，4）或A（4，﹣4）， 根据抛物线定义，焦点弦长公式|AB|＝xA+xB+p， 情况一：A（4，4），直线AF斜率，方程， 联立消去y整理得4x2﹣17x+4＝0， 由韦达定理，； 情况二：A（4，﹣4），直线AF斜率，方程， 联立，消去y整理得4x2﹣17x+4＝0， 由韦达定理，， 两种情况结果一致，代入弦长公式：． 故选：D． 2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．且与准线交于点D．若点B为线段AD的中点，|BF|＝2，则p的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解答】解：已知点B为线段AD的中点， 则， 设AA1垂直准线交准线交于点A1，设BB1垂直准线交准线交于点B1， 则， 又|BB1|＝|BF|＝2， 则|AA1|＝|AF|＝4， 由抛物线的性质可得：， 即． 故选：C． 3．设F为抛物线C：y2＝5x的焦点，过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝5，则∠MFN＝（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【解答】解：已知F为抛物线C：y2＝5x的焦点， 又， 所以抛物线焦点为，准线方程为：， 又过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，且|MF|＝5， 则|MF|＝|MN|＝5， 所以， 由， 取，则， 由MN垂直准线，则， 又， 所以， 所以|MF|＝|MN|＝|NF|＝5， 所以△MFN为等边三角形， 故∠MFN＝60°． 故选：C． 4．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A、B两点，若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知抛物线y2＝4x， 则， 即焦点为F（1，0）， 又直线l过点F与抛物线交于A、B两点，且|AF|＝3|BF|， 设直线l的方程为x＝my+1，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）， 将直线l的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4＝0． 由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4， 又|AF|＝3|BF|， 则，即（1﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣1，y2）， 即﹣y1＝3y2，即y1＝﹣3y2． 则y1+y2＝﹣2y2＝4m，得y2＝﹣2m，由，所以． 由抛物线的定义得． 故选：D． 5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x， 则抛物线C的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 又过F的直线l与C交于A，B两点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由抛物线定义可知|AF|＝x1+1＝3，则x1＝2，，则， 不妨取，则，y2＜0， 直线l的斜率为，则直线l的方程为， 直线l与抛物线C联立方程组， 得2x2﹣5x+2＝0，解得x1＝2（为A点），， 所以． 故选：A． 6．已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，A，B是C上不同的两点，且都在第一象限，若AF⊥x轴，|BF|＝5|AF|，，则p＝（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解答】解：因为AF⊥x轴，所以A为抛物线通径的上端点，所以， 又|BF|＝5|AF|，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以． 故选：A． 7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别为点A1，B1，给出下列三个结论： ①A1F⊥B1F； ②若M为线段AB的中点且|AB|＝8，则点M到y轴的距离为3； ③若，则． 其中正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由抛物线C：y2＝2px的焦点F到准线的距离为2，得p＝2， 故抛物线方程为y2＝4x，焦点F（1，0），准线x＝﹣1， 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则A1（﹣1，y1），B1（﹣1，y2）， 结论①：设过F（1，0）的直线为x＝my+1， 代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4＝0，由韦达定理得y1y2＝﹣4， 向量，， 则4+y1y2＝4﹣4＝0，故A1F⊥B1F，故①正确； 结论②：由抛物线定义，|AB|＝|AF|+|BF|＝（x1+1）+（x2+1）＝x1+x2+2， 若|AB|＝8，则x1+x2＝6，中点M的横坐标为， 故M到y轴的距离为3，故②正确； 结论③：由，得（1﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣1，y2）， 故1﹣x1＝3（x2﹣1）且y1＝﹣3y2， 代入抛物线方程，得x1＝9x2， 结合1﹣9x2＝3（x2﹣1），解得，x1＝3， 故，，即，， 因此，故③错误； 故正确结论的个数为2个． 故选：C． 8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列说法正确的是（　　） A．焦点F到抛物线C的准线的距离为8 B． C．若AB的中点的纵坐标为4，则|AF||BF|＝8 D．若2|BF|＝|AF|，则 【答案】D 【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线l：x＝﹣2， 所以焦点F到抛物线C的准线的距离为p＝4，故A错误； 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 当直线AB垂直于x轴时，可得x1＝x2＝2， 此时|AF|＝|BF|＝4，得； 当直线AB不垂直于x轴，设方程为x＝my+2， 由，得y2﹣8my﹣16＝0， 则y1y2＝8m，y1y2＝﹣16，， ，故B错误； 由AB的中点的纵坐标为4，可得y1+y2＝8m＝8，则m＝1， 得x1+x2＝y1+2+y2+2＝8+4＝12，则|AF|+|BF|＝x1+x2+4＝16， 由， 得|AF||BF|＝32，故C错误； 不妨设点A在第一象限，分别过点A，B作AA1，BB1垂直于准线，垂足分别为A1，B1， 直线AB与准线交于点E，准线与x轴交于点H， 设|AF|＝2|FB|＝2m，则|BB1|＝m，|AA1|＝2m， 因为BB1∥AA1，所以，得|BE|＝3m， 则，可得， 即直线AB的斜率为，直线AB的方程为， 联立，得， 解得， 所以x1＝4，可得， 可得△AOF，D正确． 故选：D． 9．已知抛物线C：y2＝4x的准线与x轴交于点P，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则|AF||BF|＝（　　） A．12 B． C．6 D．8 【答案】A 【解答】解：设直线AB方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得y2﹣4ty﹣4＝0， 由韦达定理得y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4， 因为，P（﹣1，0）， 所以， 即||， 整理得， 即|2（y1﹣y2）||（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4|， 因为y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4， 所以， 解得， 因为， 所以16t2+16＝12t4， 解得t2＝2， 则|AF||BF|＝（x1+1）（x2+1）＝（ty1+2）（ty2+2）． 故选：A． 10．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2， 则p＝2， 即抛物线C的方程为y2＝4x， 不妨设直线AB的方程为x＝ky+1， 联立， 消x可得：y2﹣4ky﹣4＝0， 则yA+yB＝4k，yAyB＝﹣4， 则3|AF|+4|BF|＝3xA+4xB+7， 当且仅当时取等号， 即3|AF|+4|BF|的最小值为． 故选：A． 11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AF|+4|BF|＝9，则p的最大值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解答】解：已知过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与该抛物线交于A，B两点， 由抛物线的性质可得：， 又|AF|+4|BF|＝9， 则9，当且仅当|AF|＝2|BF|时取等号， 即p≤2， 即p的最大值为2． 故选：A． 12．已知抛物线y2＝2px（p＞0），过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为A1，则当四边形CFAA1的面积为时，p的值为（　　） A． B．4 C．8 D． 【答案】D 【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0），过焦点F的弦交抛物线于A，B两点， 设直线AB的倾斜角为θ，不妨设A在第一象限，过A作AD⊥x轴，垂足为D， 则|AF|＝|AA1|＝p+|FD|＝p+|AF|cosθ，可得， 同理可得， 因为，则，解得， 又θ∈[0，π）， 所以， 则，， 可得四边形CFAA1的面积， 解得． 故选：D． 13．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+2|BF|的最小值为（　　） A． B． C． D．22 【答案】C 【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4， 则p＝4， 又过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点， 由抛物线的性质可得：， 则3|AF|+2|BF|＝2（3|AF|+2|BF|）（） ，当且仅当时取等号， 即3|AF|+2|BF|的最小值为． 故选：C． 14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，若|AF|＝2|FB|，则|AB|＝（　　） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【解答】解：因为抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0）， 所以可设直线AB的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2， 联立，得y2﹣4my﹣4＝0， 所以y1y2＝﹣4，所以， 所以，， 因为|AF|＝2|FB|，所以x1+1＝2（x2+1）， 联立方程组，解得或（舍去）， 则． 故选：D． 二．多选题 15．（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的一个焦点重合，过F的直线交C于A，B两点，交C的准线于点P．若|AF|＝3，则下列说法中正确的有（　　） A．抛物线C的方程为：y2＝4x B．|AB|＝4 C．|PB|＝|AB| D．△AOB的面积为 【答案】ACD 【解答】解：由于椭圆的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）， 所以， 解得p＝2， 则抛物线C的方程为y2＝4x， 故选项A正确； 因为抛物线的焦点F（1，0）， 设A（x1，y1）， 此时， 解得x1＝2， 又， 解得， 取， 此时， 所以直线AB的方程为， 即， 联立， 解得或， 即， 所以，故选项B错误； ，故选项C正确； 又点O到直线AB的距离为， 则，故选项D正确． 故选：ACD． 16．（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（3，1）在C的内侧，点B是抛物线C上的一个动点，且△ABF的周长的最小值为，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，P为线段MN的中点，则下列结论正确的是（　　） A．p＝2 B．若|BF|＝3，则B点的坐标为（4，4）或（4，﹣4） C．若|MN|＝8，则点P到y轴的距离为3 D． 【答案】ACD 【解答】解：如图，过点B作准线的垂线，垂足为M′，过点A作准线的垂线，垂足为H， 由抛物线C：y2＝2px（p＞0），得准线l的方程为， 则由抛物线的定义可知|BF|＝|BM′|， 所以△ABF的周长为， 当且仅当A，B，M′三点共线，即点M′与点H重合时取等号， 因为，， 所以，即， 两边平方，整理得，解得p＝2，故A正确； 设B点的坐标为（x0，y0），且|BF|＝3， 所以x0+1＝3，解得x0＝2， 则，解得， 所以B点的坐标是或，故B错误； 设点M（x1，y1），N（x2，y2）， 则|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+2＝8，解得x1+x2＝6， 又P为线段MN的中点，则， 所以点P到y轴的距离为，故C正确； 依题意，过点F的直线的斜率不为0，设过点F的直线方程为x＝my+1， 由消去x，得y2﹣4my﹣4＝0， 显然Δ＝16m2+16＞0，且y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4， 则， 所以 ，故D正确． 故选：ACD． 17．（多选）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，AP⊥l，垂足为P，|PF|＝|AF|，下列说法正确的是（　　） A．直线m的斜率为 B．|PF|＝|RF| C．|AF|＝2|BF| D． 【答案】ABD 【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F作斜率大于0的直线m与抛物线交于点A（位于第一象限）和点B，交l于点R，AP⊥l，垂足为P，|PF|＝|AF|， 选项A：由抛物线的定义得|AF|＝|AP|，又|PF|＝|AF|， 所以|AF|＝|AP|＝|PF|，所以△APF为等边三角形， 所以∠PAF＝60°， 因为AP⊥l，所以∠PAF＝∠AFx＝60°，即直线m的倾斜角为60°， 所以直线m的斜率，故A正确； 选项B：设准线l交x轴于点C， 因为AP⊥l，所以∠APF＝∠PFC＝60°， 又∠AFx＝∠RFC＝60°，|CF|＝|CF|， 所以Rt△PFC≌Rt△RFC，所以|PF|＝|RF|，故B正确； 选项C：因为直线m的斜率为，且过点F（1，0）， 所以直线m的方程为， 与抛物线联立y2＝4x，得3x2﹣10x+3＝0，解得x＝3或， 因为点A位于第一象限，所以xA＞xB，则， 所以， 所以|AF|＝3|BF|，故C错误； 选项D：在Rt△PFC中，|PF|＝|AP|＝|AF|＝4，∠PFC＝60°， 所以，即， 由抛物线的定义得，点B到准线l的距离等于， 所以，故D正确． 故选：ABD． 18．（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点（其中A在第一象限），则（　　） A．p＝2 B． C．|AF|＝3|BF| D．△OAB为直角三角形 【答案】ABC 【解答】解：已知O为坐标原点，直线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点，且A在第一象限， 对于A，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点， 又直线过抛物线的焦点F，所以， 解得p＝2，所以A正确； 对于B，C，由p＝2可知抛物线y2＝4x，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 联立y2＝4x，消去y并整理得：3x2﹣10x+3＝0，解得， 则|AF|＝x1+1＝4，，|AF|＝3|BF| 所以，|AF|＝3|BF|，所以B，C正确； 对于D，因为A在第一象限，x1＝3，， 所以，， 即， 则， 所以， 所以∠AOB为钝角，故D错误． 故选：ABC． 19．（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，y0）在抛物线C上，则下列说法正确的是（　　） A．准线为x＝﹣1 B．若|MF|＝4，则 C．若|MF|＝4，则 D．M到（3，0）距离最小为3 【答案】AC 【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，y0）在抛物线C上， 对于A，由抛物线C的方程可得：抛物线的准线方程为：x＝﹣1，故A正确； 对于B，若|MF|＝4，则x0+1＝4，故x0＝3，代入抛物线方程可得：，故，故B错误； 对于C，由B选项可知，，则，故C正确； 对于D，M到（3，0）的距离为，当x0＝1时，距离有最小值，故D不正确． 故选：AC． 20．（多选）M是抛物线C：y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，过M作C的准线的垂线，交准线于点B．则（　　） A．|FM|＝4 B．△FMB的面积为 C．∠FMB的角分线过C的准线与x轴的交点 D．以FM为直径的圆与y轴相切 【答案】ABD 【解答】解：如下图所示： 对于A选项，对于抛物线C，焦点为F（1，0）， 准线方程为x＝﹣1，准线与x轴的交点为E（﹣1，0），所以|EF|＝2， 因为∠xFM＝60°，BM⊥BE，易知MB∥x轴，所以∠FMB＝∠xFM＝60°， 由抛物线的定义可知|BM|＝|FM|，故△BFM为等边三角形，故∠FBM＝60°， 所以∠EBF＝30°，故|BF|＝2|EF|＝4，所以|FM|＝|BF|＝4，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，不妨设点M（x0，y0）在第一象限， 由抛物线的定义可得|FM|＝x0+1＝4，可得x0＝3， 故，即点， 于是点，故线段BF的中点为， 因为△BFM为等边三角形，则MQ⊥BF， 若∠FMB的角平分线过C的准线与x轴的交点E，则E、Q、M三点共线， 因为，， 所以kMQ≠kEQ，故E、Q、M三点不共线，C错； 对于D选项，线段FM的中点为N）， 点N到y轴的距离为d＝2，故， 所以以FM为直径的圆与y轴相切，D对． 故选：ABD． 21．（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点C，若|AF|＝4，则下列说法正确的是（　　） A．p＝2 B．|AF|＝3|BF| C．|AF|＝|BC| D．|BC|＝2|BF| 【答案】ABD 【解答】解：已知抛物线y2＝2px（p＞0）， 则， 又直线l过抛物线的焦点F且斜率为， 所以直线l的方程为， 联立抛物线方程消去y得12x2﹣20px+3p2＝0，解得， 又|AF|＝4，根据抛物线的定义可知，所以p＝2，故A正确； 又，所以|AF|＝3|BF|，故B正确； 过点B作准线的垂线，垂足为M， 根据抛物线的定义|BF|＝|BM|，又直线l的斜率为， 所以∠OFB＝∠AFx＝60°， 所以∠BCM＝30°， 故|BC|＝2|BM|，即|BC|＝2|BF|，所以|AF|≠|BC|，故C不正确；D正确． 故选：ABD． 22．（多选）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点C，若|AF|＝4，则下列说法正确的是（　　） A．p＝2 B．|AF|＝3|BF| C．|AF|＝|BC| D．以线段AF为直径的圆与y轴相切 【答案】ABD 【解答】解：由题可得，直线l的方程为， 联立，化简得12x2﹣20px+3p2＝0， 解得， 对于A，|AF|，解得：p＝2，故A正确； 对于B，所以，所以|AF|＝3|BF|，故B正确； 对于C，如图，过点B作准线的垂线，垂足为M， 所以|BF|＝|BM|，又直线l的斜率为， 所以∠OFB＝∠AFx＝60°，所以∠BCM＝30°， 故|BC|＝2|BM|，即|BC|＝2|BF|，所以|AF|≠|BC|，故C错误； 对于D，因为xA＝3，xF＝1，所以线段AF的中点到y轴的距离为， 所以以线段AF为直径的圆与y轴相切，故D正确． 故选：ABD． 23．（多选）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2＝8y上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于点P（x0，y0）．若弦AB过焦点F，则（　　） A．x1+x2＝2x0 B．若PA的方程为x﹣2y﹣1＝0，则x2＝﹣4 C．点P始终满足 D．△PAB面积的最小值为16 【答案】ACD 【解答】解：依题意设A（x1，y1），B（x2，y2），由方程x2＝8y， 可得，则， 由导数的几何意义知，直线AP的斜率为，同理直线BP的斜率为， 可得A处的切线方程为：，即， 化简可得，所以直线AP的方程为， 同理可得：直线BP的方程为， 联立两直线方程得，， 则， 因为x1≠x2，解得，， 即x1+x2＝2x0，所以A正确； 若PA的方程为x﹣2y﹣1＝0，根据直线AP的方程为，可得x1＝2， 设直线AB：y＝kx+2，联立方程组， 整理得x2﹣8kx﹣16＝0， 则Δ＝（﹣8k）2+64＝64（k2+1）＞0， 且x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16， 所以x2＝﹣8，y0＝﹣2，所以B错误； 因为，所以，故C正确； 取AB的中点H，连接PH，根据中点坐标公式得， 从而PH平行y轴，由前可知， 所以 ， 因为x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，所以， ， 代入可得， 当k＝0时，Smin＝16，所以D正确． 故选：ACD． 24．（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝20交于A，B两点，且|AB|＝8．过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（　　） A．若，则直线l的斜率为 B．|MF|+4|NF|的最小值为18 C．∠MON为钝角 D．点P与点F的横坐标相同时，最小 【答案】BCD 【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝20交于A，B两点，且|AB|＝8， 不妨设A在第一象限， 即A（2，4）， 代入到抛物线方程可得42＝4p， 即p＝4， 即抛物线方程为y2＝8x， 则抛物线的焦点为F（2，0）． 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 对选项A， 由得（2﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣2，y2）， 则， 又因为， 解得， 所以直线l的斜率为， 故A选项错误； 对选项B，由抛物线定义得， 所以 ， 当且仅当，即|MF|＝2|NF|时等号成立， 因此|MF|+4|NF|的最小值为18， 故B选项正确； 对选项C，如图，不妨设M在第一象限， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 直线l：x＝my+2， 联立直线l与抛物线的方程消x得y2﹣8my﹣16＝0， 又Δ＝（﹣8m）2+4×16＞0， 所以y1y2＝﹣16，x1x2＝4， 所以x1x2+y1y2＝4﹣16＝﹣12＜0， 所以， 则∠MON为钝角． 故C选项正确； 对选项D， Q（﹣2，0），F（2，0）， 设P（x0，y0）， 则， 由抛物线的定义可得|PF|＝x0+2， ， 又x0＞0， 则 ， 当且仅当，即x0＝2时取等号， 即点P与点F的横坐标相同时，最小， 故D选项正确． 故选：BCD． 25．（多选）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），M（﹣1，0），则（　　） A．|MF|＝4 B． C．|AB|最小值为4 D．当直线l的倾斜角为60°时，△AFM与△BFM面积之比为3 【答案】BCD 【解答】解：由题意可知，F（1，0），所以|MF|＝2，故A错误； 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 其中，x1x2＝1， ， 当直线l的斜率不存在时，|AF|＝|BF|＝2，此时，故B正确； 直线l的斜率存在时，， 当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2p＝4，所以|AB|最小值为4，故C正确； 设直线， 联立，得3x2﹣10x+3＝0，得x1＝3或， 由题意可知，，， 所以，故D正确． 故选：BCD． $