精品解析：河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期7月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 3. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 4. 已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由勾股定理求出母线，再根据侧面积公式计算可得； 【详解】解：依题意底面半径，高，所以母线， 所以圆锥的侧面积； 故选：B 5. 从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从1~10共10个整数中随机选数，总共有10种等可能结果. 表示选到的数能被2整除，且不能被3整除. 在1~10中，能被2整除的数为， 排除能被3整除的6，剩余符合条件的数共4个，即. 则. 6. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 【答案】A 【解析】 【分析】利用线性变换 下平均数满足 、方差满足的性质分步计算，分别求出变换后数据的平均数与方差. 【详解】设原数据的平均数为，方差为，由题意得 ， . 设新数据 的平均数为， 则 设新数据的方差为， 则 新数据的平均数为，方差为. 7. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把与沿摊平，变成一个平面四边形，连接交于M，此时即为的最小值，由此计算可得结论. 【详解】直三棱柱中，侧棱，又，，平面，所以平面，而平面，所以， 侧面是正方形，是等腰直角三角形，， 把与沿摊平，变成一个平面四边形，如下图，连接交于M， 则， 又，， 由余弦定理得，此为取得的最小值， 又在直三棱柱中，， 所以所求的周长为. 8. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为虚数单位，已知复数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求，进而求得，即可判断A，计算即可判断B，计算即可判断C，计算即可判断D. 【详解】由题意得：，所以，解得，所以，故A错误，所以， 所以，故B正确， 由，故C错误， 由，所以，故D正确. 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 C. 若点G是的重心，则 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量共线充要条件可判定A，由平面向量的线性运算及数量积公式可判定B，利用三角形重心的性质可判定C，利用投影向量的定义可判定D. 【详解】对于A选项，若，则存在唯一实数使得或，故A错误 对于B选项，两个非零向量，，若， 则， 所以与共线且反向，故B正确； 对于C选项，若点G是的重心，根据三角形重心的性质知， 故C正确； 对于D选项，若向量，， 则向量在向量上的投影向量为， 故D对． 故选：BCD． 11. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当平面时， 【答案】BC 【解析】 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出乙队在一场比赛中获胜的概率，再根据独立事件概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式来计算乙队两场友谊赛只获胜一场的概率. 【详解】因为乙队每场比赛获胜的概率为， 所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为. 故答案为：. 13. 在中，，，，的角平分线交于D，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理得， 则，即， 解得，（负值舍）， 而平分，即， 又，故， 则. 故答案为： 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】与交于点，连接，先证明平面，得，，将分别用的三角函数表示，接着表示出的面积，进而求出四棱锥体积的表示式，借助于余弦函数与二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】设菱形 的对角线与交于点，连接， 因为是菱形，所以， 因 ，平面， 则平面，因平面，则， 设，依题意，，因，则， ，在中，， 在中，因，则， ， 则的面积为， 于是四棱锥体积为 ， 因，则，， 故当时，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若与垂直，求的值； （2）若向量，若与共线，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， ， 由垂直关系：， 解得：. 【小问2详解】 ， ， 若与共线，则， 所以. ， 所以. 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设与交于点，连接，先证明，进而求证即可； （2）先证明，，即可得到平面，进而求证即可. 【小问1详解】 设与交于点，连接， 在正方体中，为的中点， 又为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在正方体中，， 由平面，而平面，所以， 因为，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 17. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【小问1详解】 在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 18. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】（1） （2） （3）95克 【解析】 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【小问1详解】 频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. 【小问2详解】 各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. 【小问3详解】 由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 19. 若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体． （1）求证：； （2）求与平面的夹角的正弦值； （3）设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值． 【答案】（1）设点在平面的投影为，连接． 在三角形中，，即翻折后与不垂直， 从而,不重合，由是的垂心得， 因为平面平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以． （2）； （3）时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）过作平面的投影，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； （2）首先证明两两垂直，再建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案； （3）求出相关平面的法向量，再求出面面角的表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同（1）可得， 在平面内，过作交于点， 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以， 由及勾股定理得：， 等价为：① 又平面，所以， 由及勾股定理得：② 联立①②得：， 结合题意，解得：． 由余弦定理得：， 则， 则由勾股定理逆定理可得：． 又因为，平面， 所以平面, 因为平面，所以，即两两垂直． 则以为原点，分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的法向量为， 则，即取 设直线与平面夹角大小为， 则. 【小问3详解】 由（2）知， 平面的法向量为． 由得：， 同理得：． 设平面的法向量为， 则，即，可取， 所以，即， 当且仅当即时取等． 综上所述：时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 3. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ） A. 1，4 B. 2，1 C. 1，1 D. 2，4 7. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为虚数单位，已知复数，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 C. 若点G是的重心，则 D. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为 11. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当平面时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为__________. 13. 在中，，，，的角平分线交于D，则_________ 14. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量． （1）若与垂直，求的值； （2）若向量，若与共线，求． 16. 如图，在正方体中，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 17. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 18. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 19. 若四面体任意顶点在对面的投影恰好为该面三角形的垂心，则称该四面体为垂心四面体．如图，中，，，，在上取一点，将沿折叠到某个位置得到，使得三棱锥为垂心四面体． （1）求证：； （2）求与平面的夹角的正弦值； （3）设动点在棱上，动点在棱上，满足，记平面与平面所成锐二面角为，求的最小值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $