精品解析：河南商丘市商师联盟2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（A版）

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第3节～第十章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因， 则. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，即，解得. 3. 长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.22 C. 0.15 D. 0.08 【答案】A 【解析】 【详解】由数表得，该校学生每周使用手机的时间少于8小时的频数为15，频率为， 所以该校学生每周使用手机的时间少于8小时的概率约为0.3. 4. 已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特征，结合面积以及体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径和高分别为 由于轴截面为等腰直角三角形，故，且母线， 故侧面积为，则. 体积为. 5. 已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面， 若，且，但如果直线与不相交， 则不能得到，从而不能推出； 如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面， 若，由于，，， 则，又，所以. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若满足，的有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】在中，，所以， 由有两个解，得， 即，解得，即的取值范围为. 7. 盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及事件所包含的基本事件的个数，结合互斥、对立与独立事件的概念与判定方法，即可求解. 【详解】对于A项， 事件是“两球同色”，事件是“两球不同色”，所有取球结果只有这两种，二者不可能同时发生且必有一个发生，因此与是对立事件，故A正确； 对于B项， 从中不放回地依次取出2个球，一共20种，事件表示“第一次取出黑球，第二次取出白球”一共6种，计算概率： ，故B正确； 对于C项，事件“第二次取出的是白球”一共8种，则 ，事件“取出的2个球不同色”一共12种，则； 表示“第二次取出白球，两球不同色”，即“第一次黑、第二次白”，一共6种； 计算得，因此与不相互独立，故C错误； 对于D项，由概率加法公式： ，故D正确； 8. 在中，，，且，点满足（），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示角平分线上的向量，结合已知条件，得为等腰三角形，且.由余弦定理及数量积的定义求得，将转化成关于的二次函数，分析该函数在的单调性，从而求得其取值范围. 【详解】因为表示角平分线上的向量， 又，的平分线与垂直， 所以为等腰三角形，且. 设，则， 解得. 则 . 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，； 当时，； 当时，. 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. D. 是关于的方程的一个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义判断A项，利用复数的乘方运算结果判断B项；根据复数的加减运算与模的运算判断C项；根据方程的根的定义计算判断D项. 【详解】对于A，复数对应的点位于第四象限，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，当时，， 故是关于的方程的一个根，即D正确. 10. 已知一组从小到大排列的数据，，，…，的平均数为，方差为，极差为，中位数为．由这组数据得到一组新数据，，，…，，其中，则（ ） A. 若，则 B. 新数据的极差为 C. 新数据的平均数为 D. 新数据的方差为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一组数据的中位数、极差定义，利用平均数公式与方差公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，当时，这组数据的中位数应是，故A 错误； 对于B，依题意，，新数据依次为， 则新数据的极差为，故B正确； 对于C，新数据的平均数为： ，故C错误； 对于D，依题意，， 因，由上分析知新数据的平均数为， 故新数据的方差为 ，故D正确. 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B. 若∥平面，则点的轨迹长度是 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用正方体外接球直径为体对角线，套球体体积公式；对于B：面面平行判定找底面内动点轨迹线段，对比长度；对于C：线面垂直推导线线垂直，在底面作垂线求轨迹线段长；对于D：找到截面图形，计算面积验证. 【详解】正方体棱长 ， 分别为 中点。 选项 A ，正方体外接球的直径等于正方体的体对角线长，棱长为 2，面对角线长 ，体对角线长：， 所以外接球半径 ，球体积，A 正确； 选项 B，取 中点 ，连接 ，，则∥，平面，平面， 所以∥平面， ∥，平面，平面，所以∥平面， 因为平面 所以平面 ∥ 平面 ， 点在底面 内，满足 ∥ 平面 的点轨迹是线段 ，，B错误； 选项 C ，取 中点 ，连接，设，在正方体中，平面，平面， 所以 ，在直角中，， 同理，在直角中，，所以， 所以，所以，所以, 因为平面，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 若，点是正方形内一动点（含边界）,则点的轨迹为， ，则点的轨迹长为，C 正确； 选项 D， 延长，过点作∥交于，此时, 连接交于，连接, 延长到，使得，连接，则三点共线，连接 ,连接，因为∥，∥，所以∥， 所以过点，，的平面截正方体所得的截面图形为五边形， 因为，所以，同理得， 由面面平行的性质，平面与上下底面的交线互相平行，故∥， 在中，，得 由相似比例可得 ，， 将五边形拆分为梯形和等腰两部分： 梯形的高（两平行线与的距离）： 梯形面积： 底边，底边上的高 三角形面积： 截面面积，D 错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 2026年美加墨世界杯于北京时间2026年6月12日开幕，参赛球队首次从32支扩军至48支．某校有老师300人，男学生1800人，女学生1500人，为了解师生对该届世界杯的评价，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则女生应抽取__________人． 【答案】100 【解析】 【分析】根据分层抽样方法求解即可. 【详解】抽样比为， 所以女生应抽取人. 13. 在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角（或其补角），根据题意可计算出各边长，由余弦定理得，然后利用平方关系即可求解. 【详解】取中点，连接，， 因为，，所以，， 所以， 因为是的中点，，，所以，， 所以， 因为是的中点，是的中点，，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知式进行边角互化，再根据余弦定理，结合基本不等式，求得的取值范围，最后利用同角三角函数关系式结合不等式的性质求得的最大值. 【详解】若， 则由正弦定理，得， 即，. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以. 所以. 由，得， 所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是两个不共线的单位向量，且，，． （1）用，表示； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量基本定理列式求解即可. （2）求出，再利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【小问1详解】 设（，）， 则， 所以，解得，即． 【小问2详解】 ， 因为，所以， 即，解得， 设与的夹角为，则，又，所以. 16. 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （2）根据条件，先求出甲、乙各自进入面试环节的概率，再利用相互独立事件和对立事件的概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件为“甲答对第道题”，，则，，， 设事件为“甲进入面试环节”，则， 所以． 【小问2详解】 设事件为“乙答对第道题”，，则， 设事件为“乙进入面试环节”，则， 则，， 由（1）知，所以． 由题意可知，事件，相互独立，事件，相互独立， 设事件为“甲、乙两人恰有一人进入面试环节”，则， 所以． 17. 某校举办益智类答题比赛，对报名参加初赛的学生进行了选拔性测试，为了解参赛者的成绩情况，随机抽取了200名学生的成绩（满分100分），按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）请根据直方图估计参赛者成绩的85%分位数； （3）已知样本数据落在的平均数是87，方差是6.2，落在的平均数是93，方差是9.2，求这两组数据合并后的平均数和方差． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质计算即可. （2）根据频率分布直方图中百分位数的估计方法求解即可. （3）根据加权平均数及合并方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，，解得． 【小问2详解】 设参赛者成绩的分位数为， 由图知成绩在内的频率为0.7，成绩在内的频率为0.95，所以在内， 所以，解得． 【小问3详解】 成绩在内的人数为，成绩在内的人数为， 所以这两组数据合并后的平均数， 方差． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求； （2）若角的平分线交于，，求的周长； （3）若为锐角三角形，为的内心，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系将余弦函数转化为正弦函数，再利用正弦定理进行角化边，最后利用余弦定理进行求解； （2）等面积法求出a，b的关系式，再联立（1）中所得边的关系式求出，从而求得三角形的周长； （3）利用内心性质求出，设角变量，正弦定理表示边长，然后代入面积公式写出面积的表达式，利用三角恒等变换进行化简，由锐角三角形条件确定面积表达式的定义域，最后根据正弦函数的图像与性质求值域. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 又，所以． 【小问2详解】 因为为角的平分线，可得， 因为，且， 所以，即，① 由（1）知，所以，② 联立①②，解得或（舍去）， 所以的周长为． 【小问3详解】 因为为的内心，，所以， 设，， 在中，由正弦定理得， 即， 所以，， 所以 因为，为锐角三角形，所以即， 所以，即， 则， 所以的面积的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，求点到平面的距离； （3）若，设二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)线面平行推比例，相似三角形得结果。 由平面得，结合的相似比，直接得； (2)面面垂直作高线，距离转化是关键， 先由面面垂直得底面，作得底面；再证平面求出，最后利用平面得，将点距离转化为，得距离为； (3)二面角找棱作垂线，范围问题函数化， 在棱上作两面垂线构造平面角，将表示为关于的函数，结合的单调性求值域即可. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为，，所以，所以， 所以． 【小问2详解】 取的中点，连接，，过作，与交于点， 过作，垂足为，连接，过作，垂足为． 因为是边长为4的等边三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为，所以，所以， ． 由题易知，，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 又，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 即点到平面的距离为． 【小问3详解】 取的中点，连接，设与交于点，过作，与交于点， 过作，垂足为，连接， 由（2）知，平面，又平面，所以， 因为，平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角或二面角的平面角， 即，或，所以． 因为，所以，， 当点在线段上时，， 因为，所以， 所以， 所以； 当点在线段上时，同理可得． 当时，，，， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第3节～第十章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.22 C. 0.15 D. 0.08 4. 已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，角，，的对边分别为，，，若满足，的有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 盒子中装有大小、质地完全相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的2个球同色”，事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的2个球不同色”，则下列结论错误的是（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 8. 在中，，，且，点满足（），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. D. 是关于的方程的一个根 10. 已知一组从小到大排列的数据，，，…，的平均数为，方差为，极差为，中位数为．由这组数据得到一组新数据，，，…，，其中，则（ ） A. 若，则 B. 新数据的极差为 C. 新数据的平均数为 D. 新数据的方差为 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若该正方体的顶点都在球的球面上，则球的体积为 B. 若∥平面，则点的轨迹长度是 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 过点，，的平面截正方体所得的截面图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 2026年美加墨世界杯于北京时间2026年6月12日开幕，参赛球队首次从32支扩军至48支．某校有老师300人，男学生1800人，女学生1500人，为了解师生对该届世界杯的评价，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为240的样本，则女生应抽取__________人． 13. 在三棱锥中，，，，是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为__________． 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，是两个不共线的单位向量，且，，． （1）用，表示； （2）若，求与的夹角． 16. 甲、乙两人参加某公司的招聘，招聘过程分为笔试和面试，笔试共有道题，这道题都解答正确才能进入面试环节．已知甲答对这道题的概率依次为，，，乙答对每道题的概率均为，且甲、乙两人每道题是否答对互不影响，甲、乙两人是否进入面试环节也互不影响． （1）求甲进入面试环节的概率； （2）求甲、乙两人中恰有一人进入面试环节的概率． 17. 某校举办益智类答题比赛，对报名参加初赛的学生进行了选拔性测试，为了解参赛者的成绩情况，随机抽取了200名学生的成绩（满分100分），按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）请根据直方图估计参赛者成绩的85%分位数； （3）已知样本数据落在的平均数是87，方差是6.2，落在的平均数是93，方差是9.2，求这两组数据合并后的平均数和方差． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求； （2）若角的平分线交于，，求的周长； （3）若为锐角三角形，为的内心，求的面积的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． （1）若平面，求的值； （2）若，求点到平面的距离； （3）若，设二面角的大小为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $