精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2024-2025学年高一下期期末测试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期期末测试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用并集运算即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 由， 所以. 故选：B. 2. 已知平面向量，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出向量的坐标，即，再根据向量共线解出的值. 【详解】由题意可得， 因为与共线， 所以，解得，故A正确. 故选：A 3. 已知直线平面，点，那么过点且垂直于直线的直线（ ） A. 只有一条，且在内 B. 有无数条，一定在内 C. 只有一条，不在内 D. 有无数条，不一定在内 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直性质，画出图形即可得出结论. 【详解】如下图所示： 易知，，过点做垂直于的平面， 作过点的直线，则， 可做出无数条直线，且直线不一定在内. 故选：D 4. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质判断A，根据函数的变换规则及正弦函数的性质判断B，利用三角恒等变换公式化简，再由正（余）弦函数的性质判断C、D. 【详解】对于A：函数的最小正周期，对称中心为，故A错误； 对于B：函数的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 所以的最小正周期，没有对称中心，故B错误； 对于C：，则最小正周期， 且当时，所以函数关于点中心对称，故C正确； 对于D：因为， 所以函数的最小正周期，故D错误. 故选：C 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. C. 与为相互独立事件 D. 与互为对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】由相互独立事件及互斥事件、对立事件的定义以及古典概率依次判断即可. 【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确； 事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误； ，B错误. 故选：C. 6. 记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，则，两边平方整理得，而， 于是，，因此为直角三角形； 反之，为直角三角形，或或， 所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 7. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值1比较的大小关系，再结合幂函数单调性比较的大小关系. 【详解】因为在定义域内单调递减，则，即； 又因为在定义域内单调递增，则，即； ，且在内单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：C. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于向量，，，实数t，下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则的充要条件是 D. 若，且，则对任意实数t，都有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面零向量的概念即可判断A；根据向量的运算律和垂直的向量表示即可判断BC；根据共线向量的概念即可判断D. 【详解】对于A，是零向量时，对任意和都成立，故A不正确； 对于B，，即，与可能垂直，不一定有，故B不正确； 对于C，的充要条件是， 即，所以，故C正确； 对于D，消去向量，则有，， 若，则，， 若，则，，所以，故D正确． 故选：AB 10. 已知非零复数，，其中为纯虚数，则（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若与互为共轭复数，则 C. 若，且为纯虚数，则 D. 若，则的虚部为0 【答案】BD 【解析】 【分析】设，，根据复数的运算，共轭复数等的概念逐项求解求解判断. 【详解】对于A，设，，，即，并不能证明，故A错误； 对于B，由与互为共轭复数，可得， 因为非零复数，所以解得，所以，故B正确； 对于C，由得，， 又因为为纯虚数，则，解得，，故C错误； 对于D，，即，故D正确. 故选：BD． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，只需判断三棱锥的外接球即正方体的外接球则可求；对于B，分别取的中点，证明平面平面，即可判断点的轨迹；对于C，根据B项结论，证明平面，得到点到平面的距离为定值即可判断；对于D，先证明为的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面即为平面，从而线段长度的最大值为线段的长，最小值为四棱锥的底面上的高即可. 【详解】对于A，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为， 故三棱锥的外接球表面积为，故A错误； 对于B，如图，分别取的中点，连接， 因为的中点，易得，则得， 故，因平面，平面，故平面， 又因，则得，故， 因，故，同理可得平面， 且平面，故平面平面， 又因平面，故平面，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，由B项分析，点的轨迹为线段，因面，故平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积也是定值， 则三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，如图，设平面与平面交于，点在上， 因平面平面，平面平面，故， 同理可证，即得，故点为的中点. 在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为； 设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形， 则的边上的高为面对角线长的一半，为，又， 故，而， 由可得：，代值解得， 综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用指数幂的运算，对数的运算及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】原式. 故答案：. 13. 现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟． 【答案】37 【解析】 【分析】利用台体的体积公式，结合题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，由此得解. 【详解】设正四棱台的高为，所以， 即，解得． 因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 甲容器内水的体积为， 设注水速度为，则，解得． 当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 水的体积为， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟． 故答案为：37. 14. 已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】确定截面最小和截面最大时的位置，即可求出截面圆面积的范围. 【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接， 则， . 在中，，解得. 因为，所以. 在中，， 所以. 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为； 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 所以截面圆面积的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． （1）求为偶数的概率； （2）求为整数的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）写出样本空间，设出事件，列举出满足要求的样本点，得到答案； （2）在（1）基础上，事件“为整数”，得到事件共有3个样本点，得到答案. 【小问1详解】 样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． 【小问2详解】 由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 16. 在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且A不为直角. （1）若，求A的大小； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理即可求出A的大小； （2）运用正弦定理和二倍角的余弦公式化简，再利用基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 由正弦定理可得， 所以 ， 又因为A不为直角，且，则， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：由 ，可得，， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. （1）求证: 直线平面 （2）求证：平面 平面 （3）求与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明，，再由线面垂直的判定定理证明平面，再用面面垂直的判定定理证明即可； （3）由（2）可知平面，先找到在平面内的射影，再根据线面角的定义，得到即为与平面所成的角，在中求解即可. 【小问1详解】 设，连接， 在三棱柱中， 底面，且为正三角形， 三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形， 为的中点，又为的中点，在中有， 平面，平面，平面； 【小问2详解】 连接， 底面，平面， ， 又为正三角形，为的中点，， 又，又平面，平面， 平面，又平面，平面平面； 【小问3详解】 由（2）可知平面，即为在平面内的射影， 即为与平面所成的角， 三棱柱为正三棱柱，且， ，， . 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． （1）若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) （2）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 【答案】（1）76分 （2） （3）平均数，方差21 【解析】 【分析】（1）先根据“第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积”，得“第 1 组的频率的平方为第 2 组和第 4 组频率的积”求，，求该组数据的第70百分位数即可. （2）根据古典概型求概率. （3）根据平均数与方程的概念求新数据的平均数与方程. 【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， 第1组的频率的平方为第2组和第4组频率的积， 所以，解得 ， 又 ，解得， 所以， 成绩落在 内的频率为：，落在内的频率为： ， 设第70百分位数为，则，解得 ， 所以晋级分数线划76较为合理. 【小问2详解】 由图可知， 按分层抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人， 分别记为 和 ， 则所有的抽样有： ， 共 15 个样本点， "抽到的两位同学来自不同小组"，则 ， 共 8 个样本点， 所以 ． 【小问3详解】 因为 ， 所以， 所以 ， 所以 ， 剔除其中 和 86两个分数， 设剩余 8 个数为 ，，平均数与标准差分别为 ，则剩余 8 个分数的平均数： 方差：. 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】（1），. （2） （3）68 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算，求对勾函数最值即可求解； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【小问1详解】 . 令，，解得，， 故的单调递增区间为，. 小问2详解】 由（1）知， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则，且， 因为，则函数在上单调递减， 由，解得， 则的最大值为，故. 【小问3详解】 令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， 则， 因， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期期末测试 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，那么集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 3. 已知直线平面，点，那么过点且垂直于直线的直线（ ） A. 只有一条，且在内 B. 有无数条，一定在内 C. 只有一条，不在内 D. 有无数条，不一定在内 4. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与为互斥事件 B. C. 与为相互独立事件 D. 与互为对立事件 6. 记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于向量，，，实数t，下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则的充要条件是 D. 若，且，则对任意实数t，都有 10. 已知非零复数，，其中为纯虚数，则（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若与互为共轭复数，则 C. 若，且为纯虚数，则 D. 若，则虚部为0 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 动点的轨迹是一条线段 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若为上一点，则线段长度的取值范围为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算______． 13. 现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟． 14. 已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． （1）求为偶数的概率； （2）求为整数概率． 16. 在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且A不为直角. （1）若，求A的大小； （2）求的最小值. 17. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. （1）求证: 直线平面 （2）求证：平面 平面 （3）求与平面所成的角的正切值. 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． （1）若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) （2）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 19 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$