山东省烟台市芝罘区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四制）

**基本信息** 八年级期末数学试卷，以代数、几何、函数为核心，通过樱桃产量增长率、旗杆测量等真实情境，设计基础巩固与探究创新梯度题，考查抽象能力、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程根的判别、反比例函数性质、相似三角形|第3题结合反比例函数图象象限与增减性，考查几何直观| |填空题|6/18|分式意义、比例性质、垂直平分线性质|第13题铁路道口栏杆模型，体现数学与生活联系| |解答题|9/72|一元二次方程应用、相似三角形证明、函数综合探究|25题分尝试发现-变式探究-联系拓广，梯度考查推理与创新；24题通过实践报告测量旗杆，强化应用意识|

山东省烟台市芝罘区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题3分，满分30分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+x﹣1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x+1＝0 3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），下面说法错误的是（　　） A．反比例函数的关系式为 B．点（﹣1，2）在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当x＜0时，y随x增大而减小 4．（3分）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为26吨，2026年达到31.46吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为x，则列方程正确的是（　　） A．26（1+x）2＝31.46 B．31.46（1﹣x）2＝26 C．26（1+2x）＝31.46 D．26（1+x2）＝31.46 5．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．若AB＝3，BC＝5，则△DEF和△ABE的面积比是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．2024 B．2026 C．2028 D．4052 7．（3分）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接AC．若△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 8．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边与AB，AC分别交于D，E两点，B，C，D，E处的读数分别为20，17，0，1（单位：cm）．若直尺的宽为1.8cm，则AB的长度是（　　） A．2.2cm B．2.4cm C．2.7cm D．2.8cm 9．（3分）如图，△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足为D，E，连接DE．若AE＝1，CE＝2，BC＝3，则DE的长度是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，D是边BC上一动点（不与B，C重合），连接AD，分别过点D，C作AD，AC的垂线交于点E，连接AE．设BD的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到BC中点时，CE的长度是（　　） A． B．3 C．4 D． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）若，则的值是　 　 ． 13．（3分）如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m，长臂长3.8m．当短臂端点下降0.6m时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是　 　 ． 14．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2＝0的一个根，则m的值是　 　 ． 15．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，若OA＝3，OC＝4，AD＝2AB，则k的值是　 　 ． 16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于点D，交∠BAC的平分线于点E，则AE的长度是　 　 ． 三、解答题（共9题，满分72分） 17．（4分）计算：． 18．（4分）解方程：4x2﹣8x+1＝0． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（1，3）．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与△ABC位似的图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1； （2）直接写出C1点坐标　 　 ；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则其对应点D1的坐标　 　 ； （3）求△A1B1C1的面积． 20．（8分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请解答以下问题： （1）尺规作图：将△BCD绕点D旋转后，点C的对应点E落在线段BD上，点B的对应点是F，EF与AD交于点P，作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB＝3，BC＝6，求PF的长度． 21．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与坐标轴交于A（﹣4，0）和B（0，2），与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，OA＝2OE，连接DE． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的2倍，求m的值． 23．（10分）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． （1）该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 24．（10分）某数学课外小组运用数学知识测量真立在操场上旗杆EF的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆CD，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 DF＝15m，BD＝5.4m，CD＝2m，点B处同学的眼睛离地面的高度AB＝1.6m．AB，CD，EF均与水平地面垂直． 问题解决 请你根据以上实践报告，求出旗杆EF的高度． 25．（12分）【尝试发现】 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，请直接写出线段BD和CE的数量关系是　 　 ． 【变式探究】 如图2，△ABC∽△ADE，连接BD和CE，BD的延长线交CE于点F，． （1）求的值； （2）判断∠DAE和∠DFE的数量关系并证明； 【联系拓广】 如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC是对角线．E是边BC上一动点，连接AE，以AE为直角边向逆时针方向作△AEF，使△AEF∽△ABC，连接CF，DF． （1）求证：∠DCF＝∠ACB； （2）直接写出线段DF长度的最小值． 山东省烟台市芝罘区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A B C D C B A 一、选择题（每题3分，满分30分） 1．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2+x﹣1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【答案】B 【解答】解：因为A选项中的一元二次方程为x2+x﹣1＝0， 则Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根， 故A选项不符合题意； 因为B选项中的一元二次方程为x2+x+2＝0， 则Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0， 所以该方程没有实数根， 故B选项符合题意； 因为C选项中的一元二次方程为x2﹣2x＝0， 则Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根， 故C选项不符合题意； 因为D选项中的一元二次方程为x2﹣2x+1＝0， 则Δ＝22﹣4×1×1＝0， 所以该方程有两个相等的实数根， 故D选项不符合题意； 故选：B． 3．（3分）已知反比例函数的图象经过点（1，﹣2），下面说法错误的是（　　） A．反比例函数的关系式为 B．点（﹣1，2）在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当x＜0时，y随x增大而减小 【答案】D 【解答】解：A、∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2）， ∴k＝1×（﹣2）＝﹣2， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为y， ∴当x＝﹣1时，y2， ∴点（﹣1，2）在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为y， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一项象限内y随x的增大而增大， ∴当x＜0时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 故选：D． 4．（3分）某樱桃种植基地2024年樱桃产量为26吨，2026年达到31.46吨，求该种植基地樱桃产量的年平均增长率．设樱桃产量的年平均增长率为x，则列方程正确的是（　　） A．26（1+x）2＝31.46 B．31.46（1﹣x）2＝26 C．26（1+2x）＝31.46 D．26（1+x2）＝31.46 【答案】A 【解答】解：由题意得：26（1+x）2＝31.46， 故选：A． 5．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．若AB＝3，BC＝5，则△DEF和△ABE的面积比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC＝5， ∵∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2， ∵DF∥AB， ∴△DEF∽△AEB， ∴，即， 故选：B． 6．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．2024 B．2026 C．2028 D．4052 【答案】C 【解答】解：∵x1是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的实数根， ∴2x1﹣2026＝0， ∴2x1+2026， ∴x1+x2＝2x1+2026﹣x1+x2＝（x1+x2）+2026， ∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2， ∴x1+x2＝2+2026＝2028． 故选：C． 7．（3分）如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接AC．若△ABC的面积是4，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：∵A，B是反比例函数图象上的两点，且AB过原点O， ∴根据反比例函数的对称性得：点A，B关于点O对称， ∴OA＝OB， ∵△OBC的点OB上的高与△OAC的两OA上的高相同，△ABC的面积是4， ∴S△OBC＝S△OACS△ABC＝2， ∵BC⊥x轴， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBC|k|＝2， ∵|k|＝4， ∵该反比例函数的图象在第二、四象限， ∴k＝﹣4． 故选：D． 8．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边与AB，AC分别交于D，E两点，B，C，D，E处的读数分别为20，17，0，1（单位：cm）．若直尺的宽为1.8cm，则AB的长度是（　　） A．2.2cm B．2.4cm C．2.7cm D．2.8cm 【答案】C 【解答】解：由题意可知：DE＝1，BC＝3，BD＝1.8，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得：AB＝2.7， 故选：C． 9．（3分）如图，△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足为D，E，连接DE．若AE＝1，CE＝2，BC＝3，则DE的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，∵AE＝1，CE＝2， ∴AC， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴Rt△ABD∽Rt△ACE， ∴， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， 解得DE． 故选：B． 10．（3分）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，D是边BC上一动点（不与B，C重合），连接AD，分别过点D，C作AD，AC的垂线交于点E，连接AE．设BD的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到BC中点时，CE的长度是（　　） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【解答】解：由题意，根据图2可得，当x＝3时，即BD＝3时，y1， ∴AB＝3． 又∵BC＝4， ∴当点D运动到BC中点时，则BD＝CD＝2． 过E作EH⊥BC于H， ∵∠ADB+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°， ∴∠ADB＝∠DEH． 又∵∠ABD＝∠DHE， ∴△ABD∽△DHE． 同理，△ABC∽△CHE． ∵△ABC∽△CHE， ∴． ∴可设CH＝3x，HE＝4x． ∴DH＝DC+CH＝2+3x． ∵△ABD∽△DHE， ∴． ∴． ∴x，经检验，x是方程的根． ∴CH＝2，EH， ∴CE． 故选：A． 二、填空题（每题3分，满分18分） 11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞1　 ． 【答案】x＞1． 【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x﹣1＞0， 解得x＞1， 故答案为：x＞1． 12．（3分）若，则的值是　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：设k， ∴x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴4． 故答案为：4． 13．（3分）如图，铁路道口的栏杆短臂长1.2m，长臂长3.8m．当短臂端点下降0.6m时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是　1.9m ． 【答案】1.9m． 【解答】解：设长臂端点升高x米， 则， 解得：x＝1.9． 答：长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是1.9m， 故答案为：1.9m． 14．（3分）若x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2＝0的一个根，则m的值是　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程（m﹣1）x2﹣x+m2＝0中得：m﹣1﹣1+m2＝0， 解得：m1＝﹣2，m2＝1， ∵m﹣1≠0， ∴m≠1， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 15．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，若OA＝3，OC＝4，AD＝2AB，则k的值是　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：如图，过点B作EF⊥x轴，过点C作CF∥x轴， ∵ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°﹣∠FBC， 又∵∠BFC＝∠AEB＝90°， ∴△AEB∽△BFC， ∴， ∴CF＝2BE，即m＝2n， 设点B的坐标为（m，n）， ∴BF＝4﹣n，AE＝m﹣3， ∴，即， ∴n＝2， ∴B（4，2）， ∵点B在反比例函数图象图象上， ∴k＝4×2＝8． 故答案为：8． 16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于点D，交∠BAC的平分线于点E，则AE的长度是　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：设DE交BC于点F，连接BE，CD， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6， ∴BC8， ∵BC的垂直平分线交AB于点D，交∠BAC的平分线于点E，垂足为点F， ∴BF＝CFBC＝4，BD＝CD，∠DFB＝∠EFB＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB，∠DFB＝∠ACB， ∵∠DAC+∠DBC＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD， ∴AD＝BDAB＝5， ∴DF3， ∵DE∥AC， ∴∠DEA＝∠CAE， ∵∠BAE＝∠CAE， ∴∠DEA＝∠BAE， ∴ED＝AD＝BD＝5， ∴EF＝ED﹣DF＝5﹣3＝2，∠DEB＝∠ABE， ∴BE2，∠AEB＝∠DEA+∠DEB＝∠BAE+∠ABE， ∵∠AEB+∠BAE+∠ABE＝∠AEB+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝90°， ∴AE4， 故答案为：4． 三、解答题（共9题，满分72分） 17．（4分）计算：． 【答案】714． 【解答】解：原式（10﹣44） ＝310+44 ＝714． 18．（4分）解方程：4x2﹣8x+1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：这里a＝4，b＝﹣8，c＝1， ∵Δ＝64﹣16＝48， ∴x， ∴x1，x2． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（4，2），C（1，3）．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与△ABC位似的图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1； （2）直接写出C1点坐标　（2，6）　 ；若线段AB上点D的坐标为（a，b），则其对应点D1的坐标　（2a，2b）　 ； （3）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1） （2）（2，6）；（2a，2b）． （3）14． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由图可得，C1点坐标为（2，6）， 线段AB上点D（a，b）的对应点D1的坐标为（2a，2b）． 故答案为：（2，6）；（2a，2b）． （3）△A1B1C1的面积为14． 20．（8分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，请解答以下问题： （1）尺规作图：将△BCD绕点D旋转后，点C的对应点E落在线段BD上，点B的对应点是F，EF与AD交于点P，作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若AB＝3，BC＝6，求PF的长度． 【答案】（1） （2）． 【解答】解：（1）如图，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交BD于点E，再以点E为圆心，BC的长为半径画弧，以点D为圆心，BD的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接DF，EF， 则△DEF即为所求． （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDP＝∠CBD． 由旋转得，EF＝BC＝6，DE＝CD＝3，∠DEP＝∠C， ∴△DEP∽△BCD， ∴， 即， ∴EP， ∴PF＝EF﹣EP． 21．（8分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与坐标轴交于A（﹣4，0）和B（0，2），与反比例函数的图象相交于C，D两点，过点C作x轴的垂线，垂足是E，OA＝2OE，连接DE． （1）求一次函数和反比例函数的关系式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； （2）﹣6＜x＜0或x＞2． 【解答】解：（1）将点A和点B坐标代入y＝k1x+b得， ， 解得， 所以一次函数解析式为； 因为OA＝2OE， 所以OE． 将x＝2代入得，y＝3， 所以点C坐标为（2，3）． 将点C坐标代入反比例函数解析式得， k2＝2×3＝6， 所以反比例函数的解析式为； （2）由得， x＝2或﹣6， 当x＝﹣6时，y＝﹣1， 所以点D坐标为（﹣6，﹣1）． 由函数图象可知， 当﹣6＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以不等式的解集为﹣6＜x＜0或x＞2． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的2倍，求m的值． 【答案】（1）n＞0； （2）﹣3或3． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＞0， 解得n＞0， 即n的取值范围为n＞0； （2）∵n＞0， ∴最小整数n的值为1， 此时关于x的一元二次方程为x2﹣2mx+m2﹣1＝0， （x﹣m）2＝1， x﹣m＝±1， 解得x1＝m+1，x2＝m﹣1， ∵该方程的一根是另一根的2倍， ∴m+1＝2（m﹣1）或m﹣1＝2（m+1）， 解得m＝3或m＝﹣3， 即m的值为﹣3或3． 23．（10分）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． （1）该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； （2）该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每件文创产品的售价应降低10元； （2）每天利润不能够达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为（50﹣30﹣y）元，每天能售出（40+8y）件， 根据题意得：（50﹣30﹣y）（40+8y）＝1400， 整理得：y2﹣15y+75＝0， ∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×75＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【解答】解：（1）设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为（50﹣30﹣x）元，每天能售出（40+8x）件， 根据题意得：（50﹣30﹣x）（40+8x）＝1200， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 又∵要尽可能让利于顾客， ∴x＝10． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）每天利润不能够达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为（50﹣30﹣y）元，每天能售出（40+8y）件， 根据题意得：（50﹣30﹣y）（40+8y）＝1400， 整理得：y2﹣15y+75＝0， ∵Δ＝（﹣15）2﹣4×1×75＝﹣75＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 24．（10分）某数学课外小组运用数学知识测量真立在操场上旗杆EF的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆CD，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 DF＝15m，BD＝5.4m，CD＝2m，点B处同学的眼睛离地面的高度AB＝1.6m．AB，CD，EF均与水平地面垂直． 问题解决 请你根据以上实践报告，求出旗杆EF的高度． 【答案】旗杆EF的高度为12米． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴△ABO∽△CDO， ∴， ∴， ∴OD＝3， ∴OF＝OD+DF＝18， ∵CD⊥OF，EF⊥OF， ∴CD∥EF， ∴△CDO∽△EFO， ∴， ∴， ∴EF＝12， 答：旗杆EF的高度为12米． 25．（12分）【尝试发现】 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，请直接写出线段BD和CE的数量关系是BD＝CE ． 【变式探究】 如图2，△ABC∽△ADE，连接BD和CE，BD的延长线交CE于点F，． （1）求的值； （2）判断∠DAE和∠DFE的数量关系并证明； 【联系拓广】 如图3，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC是对角线．E是边BC上一动点，连接AE，以AE为直角边向逆时针方向作△AEF，使△AEF∽△ABC，连接CF，DF． （1）求证：∠DCF＝∠ACB； （2）直接写出线段DF长度的最小值． 【答案】【尝试发现】BD＝CE； 【变式探究】（1）； （2）∠DAE+∠DFE＝180°； 证明：记AC、BF交于点O， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠AOB＝∠COF， ∴∠BAC＝∠BFC， ∴∠DAE＝∠BFC， ∵∠BFC+∠DFE＝180°， ∴∠DAE+∠DFE＝180°； 【联系拓广】（1）证明：∵△AEF∽△ABC， ∴∠BAC＝∠EAF，， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE∽△ACF， ∴∠ACF＝∠ABE＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠ACF＝∠BCD， ∴∠ACF﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD， ∴∠DCF＝∠ACB； （2）． 【解答】解：【尝试发现】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， 即∠DAB＝∠EAC， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE， 故答案为：BD＝CE； 【变式探究】（1）∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴； （2）∠DAE+∠DFE＝180°； 证明：记AC、BF交于点O， 由（1）知△ABD∽△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠AOB＝∠COF， ∴∠BAC＝∠BFC， ∴∠DAE＝∠BFC， ∵∠BFC+∠DFE＝180°， ∴∠DAE+∠DFE＝180°； 【联系拓广】（1）证明：∵△AEF∽△ABC， ∴∠BAC＝∠EAF，， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE，， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE∽△ACF， ∴∠ACF＝∠ABE＝90°， ∵∠BCD＝90°， ∴∠ACF＝∠BCD， ∴∠ACF﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD， ∴∠DCF＝∠ACB； （2）由（1）知∠ACF＝90°， ∴点F在直线CF上运动， 则当DF⊥CF时，有最小值，如图， ∵∠DCF＝∠ACB，∠DFC＝∠ABC＝90°， ∴△DCF∽△ACB， ∴， ∵AB＝3，BC＝4， ∴AC5， ∴， ∴DF，即DF的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $