精品解析： 山东省烟台市芝罘区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷（五四制）

2024-2025学年山东省烟台市芝罘区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，化简正确是（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 该反比例函数图象经过点 B. 随的增大而增大 C. 该反比例函数图象关于原点成中心对称 D. 该反比例函数图象在第一、第三象限 4. 如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 如图，在矩形中，是上一点，于点，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若是中点，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则的值为______． 12. 计算结果为______． 13. 如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点的坐标是，是等腰直角三角形，．反比例函数的图象分别与，交于，两点，若，则的值为______． 15. 如图，中，，，，以为直角边作，，且，连接，则的长度为______． 16. 定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18 解方程：． 19. 如图，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限内将的面积放大为原来的倍得到．请作出，并写出，，的坐标． 20. 如图，中，．请按下列要求解答问题： （1）用尺规在线段的延长线上确定一点，使，连接保留作图痕迹，不写作法； （2）若，，求的长度． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22. 某饰品店将进价为元/个的钥匙扣以元/个的零售价出售，平均每天能售出个该饰品店通过调查发现，这种钥匙扣的零售价每降价1元，其每天的销量就增多个，而每涨价1元，其每天的销售量就减少个． （1）店主设计了如下表格，请直接写出，，的值，并帮店主做出降价或涨价的决策，以使饰品店每天获得更大的利润． 零售价（元） 每天销量（个） 每天利润（元） （2）列方程解应用题：要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，这种钥匙扣的零售价应定为多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的关系式及点的坐标； （2）请直接写出不等式的解集______； （3）点在轴上，且，连接，求的面积． 24. 数学实践： 学习了相似三角形的知识后，小明利用周末来到河边，准备利用所学知识测量河对岸一根旗杆的高度以下是他的实践报告，请根据报告内容，写出任务解决的求解过程． 实践任务 测量河对岸旗杆的高度 实践工具 带刻度的标杆、皮尺 实践过程 ①小明直立于地面，眼睛到地面的距离为，在他和旗杆之间直立一根带刻度的标杆； ②眼睛看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点； ③向旗杆方向前进一定的距离，眼睛再次看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点； ④画出几何示意图如图，测量相关数据，并利用相似三角形的知识求旗杆的高度． 测量数据 米； 米； 米；米； 米． 任务解决 求河对岸旗杆的高度． 25. 我们知道，平角度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． （1）如图，上一点，，则图中另一组等角是______； （2）如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； （3）平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省烟台市芝罘区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断选项． 【详解】解：选项A：方程为整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 选项B：方程中含分式，分母含未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项C：方程含两个未知数和，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项D：方程化简后为，是一元一次方程，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 故选：A． 2. 下列各式中，化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质化简及二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，但原式结果为，错误； 选项B：，错误； 选项C： 无法合并为（因），错误； 选项D：，正确． 故选：D． 3. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 该反比例函数图象经过点 B. 随的增大而增大 C. 该反比例函数图象关于原点成中心对称 D. 该反比例函数图象在第一、第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握根据反比例函数解析式判定反比例函数图象的性质是关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限随的增大而增大，反比例函数图象关于原点对称， ∴故B、D选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意； 当时，，故A选项错误，不符合题意； 故选：C ． 4. 如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 7. 如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得∽， ，即， ， ， 故选：． 8. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 9. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 10. 如图，在矩形中，是上一点，于点，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若是中点，则．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，即可； 利用反证法证出即可； 证明可得结论； 设，，则，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过作交于， 四边形是矩形， ，，，， 于点， ，， ， 故正确； 假设平分， ， ， ， ， 垂直平分线段， ，与题目条件矛盾， 故错误； ，， ， ， ， ， 故正确； 设，，则， 由，有，即， ， 故错误； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 利用分比性质求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 计算结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，取的中点，连接，由三角形中位线定理推出，，得到，判定，推出，于是得到． 【详解】解：取的中点，连接， ， 是的中位线， ，， 是中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点的坐标是，是等腰直角三角形，．反比例函数的图象分别与，交于，两点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，熟练掌握以上知识点是关键． 作，垂足为，设，则，列出方程，解得，得到点坐标，继而求出值即可． 【详解】解：如图，作，垂足为， 由条件设， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，以为直角边作，，且，连接，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，由余角的性质推出，判定，推出，求出，，得到，由勾股定理求出． 【详解】解：过作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 16. 定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用和解一元一次不等式，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 令，解得的取值范围，然后分两种情况列得方程，解方程确定符合题意的的值即可． 【详解】解：令， 解得：， 当时，， 则， 整理得：， 因式分解得：， 解得：（舍）或， 当时，， 则， 整理得：， 解得：， 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程． 【详解】解：原方程化为：， ，，， ， ， ，． 19. 如图，的三个顶点坐标分别为，，，以原点为位似中心，在第一象限内将的面积放大为原来的倍得到．请作出，并写出，，的坐标． 【答案】见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查了作图位似变换，根据位似的性质求出、、对应点、、作图即可；由图可知或位似图形坐标关系可得，，的坐标． 【详解】解：如图，连接、、并延长； 根据放大为倍，确定、、； 顺次连接、、，得到放大后的图形；即为所求作； 由题意得：以原点为位似中心，放大为原来的倍，即相似比为， 那么、、的对应点、、的坐标即为，，． 20. 如图，中，．请按下列要求解答问题： （1）用尺规在线段的延长线上确定一点，使，连接保留作图痕迹，不写作法； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，相似三角形的判定和性质． （1）在的延长线上截取线，使得，连接即可； （2）设，利用相似三角形的性质构建方程求解． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 解：设． ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得． ． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵，是该方程的两个根， ∴， ∴， 解得：或； 由（1）可知：， ∴． 22. 某饰品店将进价为元/个的钥匙扣以元/个的零售价出售，平均每天能售出个该饰品店通过调查发现，这种钥匙扣的零售价每降价1元，其每天的销量就增多个，而每涨价1元，其每天的销售量就减少个． （1）店主设计了如下表格，请直接写出，，的值，并帮店主做出降价或涨价的决策，以使饰品店每天获得更大的利润． 零售价（元） 每天销量（个） 每天利润（元） （2）列方程解应用题：要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，这种钥匙扣的零售价应定为多少元？ 【答案】（1），，，决策：降价1元，零售价定为元 （2）这种钥匙扣的零售价应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意分别列式计算，即可得出决策； （2）设这种钥匙扣的零售价应定为元，根据要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ， 综上所述，使饰品店每天获得更大的利润，决策：降价1元，零售价定为元． 【小问2详解】 解：设这种钥匙扣的零售价应定为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：这种钥匙扣的零售价应定为元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． （1）求反比例函数的关系式及点的坐标； （2）请直接写出不等式的解集______； （3）点在轴上，且，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3）24 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）先求出值，再求出值得到反比例函数解析式，联立方程组求出点坐标即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）当点在轴负半轴时，计算出的面积即可． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数的图象交于， ， ， ， 反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ． 【小问2详解】 解：如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【小问3详解】 解：由一次函数可知， 由勾股定理可得， 当在轴正半轴时， ，， ； 当点在轴负半轴时，，故此情况不存在， 综上分析，的面积为． 24. 数学实践： 学习了相似三角形的知识后，小明利用周末来到河边，准备利用所学知识测量河对岸一根旗杆的高度以下是他的实践报告，请根据报告内容，写出任务解决的求解过程． 实践任务 测量河对岸旗杆的高度 实践工具 带刻度的标杆、皮尺 实践过程 ①小明直立于地面，眼睛到地面的距离为，在他和旗杆之间直立一根带刻度的标杆； ②眼睛看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点； ③向旗杆方向前进一定距离，眼睛再次看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点； ④画出几何示意图如图，测量相关数据，并利用相似三角形的知识求旗杆的高度． 测量数据 米； 米； 米；米； 米． 任务解决 求河对岸旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为8.8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 先求出米，米，米，再计算出米，米，米，接着证明，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用解方程组的方法可求出，最后计算即可． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图， 米，，， ， 米，米，米， 米， 米；米， （米），米， ， ， ，即， ， ， ，即， 得， 解得（米）， ， 解得（米）， （米）， 答：求旗杆的高度为米． 25. 我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． （1）如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； （2）如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； （3）平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由，，得出； （2）作于，可证得，从而，，进而推出，进一步得出结论； （3）①在上截取，根据（2）得，从而，从而得出，，进而得出，从而； ②延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接，可证得，从而，设，根据得出，从而得出，，根据得出方程，求得，进而得出结果． 【小问1详解】 解：，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， 平分； 【小问3详解】 解：如图， 在上截取， 四边形是平行四边形， ， ， 等边三角形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ； 如图， 延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接， 可得，， ， ， ， 设， 由知，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$