暑假专项提升--一次函数与方程（组）、不等式专项练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以一次函数为核心，通过“数”“形”结合系统构建与方程（组）、不等式的关联，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|单选3/填空4|待定系数法求解析式、k/b符号分析|一次函数概念→性质（增减性、象限）→图象特征| |方程（组）关系|单选4/填空3|交点坐标即方程（组）解|函数图象交点→方程解→方程组解的几何意义| |不等式关系|单选3/填空5|函数值比较对应自变量范围|函数图象位置→不等式解集→参数取值范围| |综合应用|解答7（如17/23题）|材料阅读迁移、图象翻折与平移|一次函数模型→方程/不等式综合→实际问题应用|

暑假专项提升--一次函数与方程（组）、不等式专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级下学期 一、单选题 1．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．图象必经过 B．图象经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 4．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 5．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论：①y随x的增大而减小；②该函数的图象经过一、三、四象限；③关于x的方程的解是；④该直线与直线平行．正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 0.5 … A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 6．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 7．如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（     ） A． B． C． D． 8．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 二、填空题 9．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 10．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 11．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 ______． 12．已知一次函数和，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于的值，则m的取值范围是______． 13．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：①；②；③关于的方程的解为；④当时，，其中正确的结论有_________个． 14．一次函数与的图象如图所示，下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④．其中正确的有______． 15．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为______，关于的不等式的解集为______； （2）关于，的二元一次方程组的解是_______ （3）不等式的解集为_______ 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．若函数|（为常数）与直线有交点、，现给出以下结论，其中正确结论的序号是_____________． ①的面积总为2； ②若函数（为常数）图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为； ③若，则的解集为； ④当，若正比例函数与（为常数）的图象只有一个公共点，则． 三、解答题 17．阅读材料： 在数轴上，表示一个点：在平面直角坐标系中，表示一条直线：以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式表示一个平面区域，即直线及其左侧的部分：如图2，不等式也表示一个平面区域，即直线及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： (1)图3阴影部分（含边界）表示的是______（填写不等式）表示的平面区域； (2)如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； (3)如图5，点A在x轴上，点B的坐标为，且，点P为内部一点（含边界），过点P分别作，，，垂足分别为C，D，E，若，则所有点P组成的平面区域的面积为______． 18．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 19．如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线：相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)直接写出方程组的解． 20．已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标； (3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围． 21．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 22．如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 23．【材料阅读】二元一次方程有无数组解，如：如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图1中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为___________； （2）已知关于的二元一次方程组无解，请在图2中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与轴的交点分别是，方程②图象与轴的交点分别是，计算的度数，并直接写出的值． 【拓展应用】 （3）图3中包含关于的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解及的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A C A B A 1．A 由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 2．C 观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 3．C 解： A．当时， ，图象不经过，错误． D．函数中，，y随x的增大而减小，错误． B．，，图象经过第一、二、四象限，错误． C．令，得，∵y随x的增大而减小，∴当时，，正确． 4．A 本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 5．C 本题考查待定系数法，一次函数的性质和图象，根据给定数据求出一次函数解析式，再逐一判断各结论是否正确． ∵ 当 时，；当 时，， ∴ ， 解得：， ∴ 函数解析式为， 对于结论①：∵ ，∴ y随x的增大而增大，故①错误， 对于结论②：∵ ，∴ 图象经过第一、三、四象限，故②正确， 对于结论③：方程 ，解得：，故③正确， 对于结论④：直线 与直线，k值相等，故平行，故④正确． ∴ 正确的是②③④， 故选：C． 6．A 由一次函数图象的平移规律可知一次函数 的图象与轴的交点坐标为，进而根据图象解答即可求解． 解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 7．B 首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断． 解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 8．A 本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 9． 根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 10． 本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 11． 把点的坐标代入直线的解析式，求出点的坐标，因为直线与直线相交于点，所以方程组的解为． 解：把点的坐标代入直线的解析式， 可得：， 点的坐标为， 关于，的方程组的解为． 12． 根据题意画出函数图象，分别求出当直线过点时、点时，m的值，即可得解． 解：如图， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， 对于，当时，， 当直线过点时，， 解得：， ∴m的取值范围是． 13．3 利用一次函数的图像与性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ，． 故②正确． ∵一次函数与轴的交点在轴的下方， ． 故①正确． ∵当时，， ∴关于的方程的解为． 故③正确． ∵当时， 一次函数在一次函数的上方， ∴当时，． 故④错误． 综上所述，其中正确的结论有3个． 14．①②③④ 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ∴函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故②正确； ③由图象可知：两直线交点横坐标为，则，整理得；故③正确； ④由可得，， ∵， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 15． ， ； ； ． 本题考查一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可知一次函数与轴的交点为，由此进行分析即可； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为，由此进行分析即可； （3）由（2）知函数和的图象的交点为，由此进行分析即可得出不等式的解集． 解：（1）由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，， 即关于的方程的解为， 当时，， 即关于的不等式的解集为， 故答案为：，； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为， 当时，代入，得，解得， 关于，的二元一次方程组的解是； 故答案为：； （3）由（2）知函数和的图象的交点为， 不等式的解集为． 故答案为：． 16．①②③ 本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线平行问题，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．求得、的坐标，即可得出，利用三角形面积公式求得△的面积即可判断①；根据满足，即可求出的取值范围，可以判断②；求得直线与函数的交点为，，，根据图象即可判断③；求得直线与直线平行，与直线平行时的的值，根据图象即可求得正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点时的的取值，可以判断④． 解：①把代入为常数）得，， 解得或， ，，，， ， ，故①正确； ②当时，，； 当时，即， 的取值范围为．故②正确； ③由，解得， 由，解得， 直线与函数的交点为，，， 则的解集为，故③正确； ④时，直线与直线平行，时，直线与直线平行， 正比例函数与为常数）的图象只有一个公共点，则或．故④错误． 故答案为：①②③． 17．(1) (2) (3) （1）求出经过，的直线为，可得图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线解析式为，直线解析式为，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 满足条件的在内（包括边界），再求出，列方程求得，用三角形面积公式可得答案． （1）解：设经过，的直线为， ， 解得， 经过，的直线为， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是表示的平面区域； （2）解：设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得， 直线解析式为， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）解：如图，作的平分线交于，的平分线交于，的平分线交于，，，交于，过点作分别交于点， 则可得， 题中需要， 满足条件的在内（包括边界），即图中阴影部分， 在中，， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得（负数舍去）， ． ， ，， 设，则， ， ， 解得， ． 即所有点P组成的平面区域的面积为． 18．(1)， (2) (3) （1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． （1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 19．(1)；； (2) （1）令可得坐标，把点代入直线可得点，然后利用待定系数法得出函数解析式即可； （2）根据题意及图象可直接进行求解． （1）解：由直线得，当时， 解得， ， 将点代入直线中得，即， ， 把代入直线得，解得， 直线的解析式为； （2）解：由已知可知方程组的解为直线与直线：交点M的横纵坐标、纵坐标， 故方程组的解为． 20．(1) (2)和 (3) （1）利用待定系数法，即可得到一次函数的表达式； （2）首先求出翻折后点右边的图象的表达式为，然后分两种情况，分别和直线联立求解； （3）根据题意画出图象，然后结合图象求解即可． （1）解：将，代入得， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵ ∴当时， 解得 ∴与x轴的交点坐标为 点关于x轴对称的点的坐标为 设翻折后点右边的图象的表达式为 将，代入得， 解得 ∴ 如图， ∴当时，联立和得， 解得； 当时，联立和得， 解得； ∴新图象与的交点坐标为和； （3）解：如图，由（2）可得新图象与的交点坐标为和， ∵，， ∴由图象可得，当直线l和线段有交点时， ∴． 21．(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， （1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． （1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 22．(1) (2) (3) （1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）根据函数图象即可直接得出答案； （3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答． （1）解：∵直线：经过 ， ∴， 解得， ， 将代入直线，得：， 解得， ，； （2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 设点E坐标为， 令，解得， ∴， 令 ，解得， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积为6，且 ， ∴点E在第二象限， ∴ ∴ ． ∴， 则 ， ∴点E坐标为， 设直线平移后的解析式为，则 ， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 23．（1）；（2）图象见详解，，；（3）， 本题考查了二元一次方程的图象，解二元一次方程组，求图象的交点坐标，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． （1）描点画图，解二元一次方程组即可； （2）由二元一次方程组无解，使得两条直线平行，由此可列方程求出k值，再由平行线的性质及直角三角形的两个锐互余可求出； （3）首先判断方程的图象过定点，再判断图象经过第一、三、四象限，求出点也在图象上即可求出m的值． 解：（1）如图，当时，；当，， 过两点即为方程的图象； 解方程组，两式相加得， 将代入，得， 方程组的解为； 故答案为：； （2）方程组无解， 两直线平行， 方程①化为， 方程②化为， 由， ， 方程①，当时，；当时，， ，直线为方程①的图象，如图2， 方程②，当时，；当时，， ，直线为方程②的图象，如图2， ， 在中，， ； （3）方程变形得，， 当时，， 方程的图象过， 方程的图象经过第一、三、四象限， 把代入得，，， 点在上， ， 解，得． 把代入得，， 解得， 二元一次方程组的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $