暑假专项提升--二元一次方程（组）的应用（应用题）专项练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组建模应用，通过14道分层例题构建"问题情境-等量关系-方程建模-求解验证"完整方法链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|5题（如1、5、6题）|直接设元+找等量关系|从概念建立到基本解法应用| |变式拓展|5题（如2、3、4题）|间接设元+分类讨论|从静态建模到动态过程分析| |综合创新|4题（如7、8、14题）|跨情境迁移+优化决策|从单一应用到多维度综合探究|

暑假专项提升--二元一次方程（组）的应用（应用题）专项练 2025-2026学年初中数学人教版（2024）七年级下学期 1．“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 2．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 3．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 4．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 5．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 6．为推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 7．请阅读下列材料，并解答相应的问题： “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等． (1)表三阶幻方中间的数字是______； (2)表是一个三阶幻方，那么的值是多少？请写出解题过程． (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图所示的“幻圆”幻方中，将，，，0，3，5，7，9分别填入图中的圈内，使横、竖，以及内、外圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，求图中的值． 8．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 9．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 10．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 11．某中学举办足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 12． 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 13．剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 14．根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 参考答案 1．(1)型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元 (2)共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆 （1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意可得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）设购买型汽车辆，型汽车辆，根据总费用为万元，结合（1）中所求进价，得出关于、的二元一次方程，根据、都是正整数，求出方程的正整数解即可得答案． （1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， ∵辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元， ∴， 解得：， ∴型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型汽车辆，型汽车辆， ∵公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买）， ∴， 整理得，， ∵、都是正整数， ∴或或， ∴共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆． 2．(1)万元 (2)三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元；理由见解析 （1）设三楼每户分摊费用为万元，每升高一层每户增加万元，再根据“七楼每户费用是三楼的倍”和“户总自筹资金万元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）先明确保持原分配核心原则，即七楼每户费用是三楼的倍、每升高一层每户增加万元，再根据剩余户的楼层分布和总自筹资金万元不变的条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组求出新的三楼每户分摊费用和每层增加额的近似值，最后得出分摊方案并说明理由即可． （1）解：设三楼每户的费用为万元，则七楼每户的费用是万元，可列方程组为 ， 解得； 答：老张这户应自筹资金万元． （2）解：保持原分配核心原则，按总自筹资金万元重新计算，可列方程组： ， 解得， 即分摊方案为：三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元； 理由：该方案延续了原有的“楼层越高，受益越多，付费越高”的公平分摊原则，且总自筹资金仍为万元，完全符合题目要求． 3．(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 （1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． （1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 4．(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． （1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 5． 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 6．(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． （1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． （1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 7．(1)5 (2) (3)或 （1）根据幻方的定义列方程求解即可； （2）根据幻方的定义可知表2中第三行第一个数为，第三行第二个数为，第二行第三个数为，设最中间的数为a，第三行第三个数为b，根据幻方的定义列方程组求解即可； （3）根据幻方的定义求出，进而可知可以为或，分别代入计算即可． （1）解：∵“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等， ∴， 解得：； （2）解：由题意可知，表2中第三行第一个数为， 第三行第二个数为， 第二行第三个数为， 设最中间的数为a，第三行第三个数为b， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，解得：． ， 又∵横、竖以及内、外两圈上的个数字之和都相等，且这个数总和为， ∴横、竖以及内、外两圈上的个数字之和为， ∴， ∴在“幻圆”中填上部分数，如图所示： ∴可以为或． 当时，， 当时，， 的值为或． 8．(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． （）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． （1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 9．小花岁时将为奶奶贺白寿 本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 10．(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． （1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 11．(1)A类足球单价为85元，B类足球单价为80元 (2)选择乙供应商更便宜 （1）根据两种购买方案的花费条件，设A、B类足球单价为未知数，列二元一次方程组，利用消元法求解单价； （2）分别按照甲、乙供应商的优惠规则，计算购买指定数量足球的总费用，通过比较费用大小确定更优惠的供应商． （1）解：设A类足球的单价为x元，B类足球的单价为y元 根据题意得，， 解得， 答：A类足球单价为85元，B类足球单价为80元； （2）解：∵买5个A类足球送1个B类足球，购买30个A类足球， ∴可赠送B类足球的数量为（个） ∴需要购买B类足球的数量为（个） 甲供应商的总费用为（元） 乙供应商的总费用为（元）， ∵， ∴选择乙供应商更便宜． 12． (1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 （1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． （1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 13．(1)最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； (2)一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元． （1）设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵，根据题意列出二元一次方程组，可求得1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵；再设需要甲彩纸张，乙彩纸张，根据题意列出二元一次方程，求解即可； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张．根据题意列式计算即可求解． （1）解：设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸张，乙彩纸张， 由题意得， 整理得，需满足是3的倍数，， ∴，；，；，；，； 促销规则：买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸，所以实际需要购买的乙彩纸数量为 (若)，否则只需买甲彩纸； 方案1：，， 费用：元； 方案2：，， 费用：元； 方案3：，， 费用：元(因为，赠送的乙彩纸足够) ， 方案4：，， 费用：元； 所以最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）解：设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1.窗花： (同第一问) ， 2.纸雕：， 3.总费用： 4.余料最少： 即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：， 整理得， 当时，不满足； 当时，满足； 此时，总费用， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 14．(1) (2)千瓦时． (3) ①解：设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②14.6 （1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． （1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①略 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 学科网（北京）股份有限公司 $