专题03 二元一次方程（组）中整体思想的应用（高效培优专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题3 二元一次方程（组）中整体思维的应用 类型一：不解方程（组）求式子的值 类型二：利用整体代入法求方程组的解 类型三：整体换元法求未知数的值 类型一：不解方程（组）求式子的值 1．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则6a﹣4b+2025的值为　 　 ． 2．已知是二元一次方程ax﹣by＝﹣2的一个解，则20a﹣4b+4的值为 　 ． 3．如果是方程x﹣3y＝﹣3的一组解，那么代数式2022﹣2a+6b＝　 　 ． 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为　 　 ． 5．已知方程组的解满足x+y＝2，则k的算术平方根为（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2 6．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 　 　 ． 7．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝0，则a的值为 　 　 ． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 类型二：利用整体代入法求方程组的解 9．阅读材料在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③； 把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①，得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组． 10．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组则x﹣y＝　 　 ，x+y＝　 　 ； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值． 类型三：整体换元法求未知数的值 12．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y， 原方程组可化为， 解得，． ∴原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 13．阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝　 　 ，2a﹣b＝　 　 ； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 二元一次方程（组）中整体思维的应用 类型一：不解方程（组）求式子的值 类型二：利用整体代入法求方程组的解 类型三：整体换元法求未知数的值 类型一：不解方程（组）求式子的值 1．若是二元一次方程ax+by＝﹣1的一个解，则6a﹣4b+2025的值为　2023　 ． 【答案】2023． 【解答】解：由条件可得：3a﹣2b＝﹣1， ∴6a﹣4b+2025＝2（3a﹣2b）+2025＝2×（﹣1）+2025＝2023， 故答案为：2023． 2．已知是二元一次方程ax﹣by＝﹣2的一个解，则20a﹣4b+4的值为　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：把代入二元一次方程ax﹣by＝﹣2得10a﹣2b＝﹣2， ∴20a﹣4b+4＝2（10a﹣2b）+4＝2×（﹣2）+4＝0， 故答案为：0． 3．如果是方程x﹣3y＝﹣3的一组解，那么代数式2022﹣2a+6b＝　2028　 ． 【答案】2028． 【解答】解：∵是方程x﹣3y＝﹣3的一组解， ∴a﹣3b＝﹣3， ∴2a﹣6b＝2（a﹣3b）＝﹣6， ∴2022﹣2a+6b＝2022﹣（﹣6）＝2028． 故答案为：2028． 4．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：根据题意可知，二元一次方程组的解也是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， 把代入3x+4y＝k+2，得3×3+4×（﹣2）＝k+2， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 5．已知方程组的解满足x+y＝2，则k的算术平方根为（　　） A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2 【答案】D 【解答】解：， ①+②得：3（x+y）＝k+2， 解得：x+y， 代入x+y＝2中得：k+2＝6， 解得：k＝4， 则4的算术平方根为2， 故选：D． 6．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝2，则k的值为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：， ①×5得，5x﹣5y＝5k﹣15③， ②+③，得x， 将x代入①，得y， ∵x+y＝2， ∴2， 解得k＝1， 故答案为：1． 7．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝0，则a的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：， ①+②，得13x+13y＝2+2a， ∴x+y， ∵x+y＝0， ∴， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组为， ①﹣②，得： 2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， ∵x﹣y＝4， ∴m+3＝4， ∴m＝1． 故选：B． 类型二：利用整体代入法求方程组的解 9．阅读材料在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③； 把方程①代入③得2×3+y＝5，∴y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①，得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组． 【答案】． 【解答】解：中将②变形，得2（4x﹣3y）﹣y＝18③， 将①代入③得，2×6﹣y＝18， ∴y＝﹣6， 将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3， ∴方程组的解为． 10．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组则x﹣y＝　﹣1　 ，x+y＝　5　 ； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ 【答案】（1）﹣1，5； （2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 【解答】解：（1）， ①﹣②得x﹣y＝﹣1， ①+②得3x+3y＝15， ∴x+y＝5， 故答案为：﹣1，5； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 根据题意，得：， ①×2﹣②，得：x+y+z＝6， ∴5x+5y+5z＝5×6＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． 11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③ 把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4， ∴方程组的解为． 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组； （2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将方程②变形：3x+6x﹣4y＝19即3x+2（3x﹣2y）＝19③ 把方程①代入③得：3x+10＝19，∴x＝3 把x＝3代入①得y＝2， ∴方程组的解为． （2）①+2×②得到，7x2+28y2＝119， ∴x2+4y2＝17， 由①得到3（x2+4y2）﹣2xy＝47， ∴51﹣2xy＝47 ∴xy＝2． 类型三：整体换元法求未知数的值 12．阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y， 原方程组可化为， 解得，． ∴原方程组的解为． 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n， 原方程可化为，即， ②﹣①得，n＝﹣1， 把n＝﹣1代入②得，， ∴， ∴， 解得． 13．阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的x+y和x﹣y分别看作一个整体，设x+y＝A，x﹣y＝B，原方程组可变形为，解得，即，再解这个方程组得．这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组，中，a+b＝　﹣1　 ，2a﹣b＝　10　 ； （2）用材料中的方法解二元一次方程组． 【答案】（1）﹣1；10；（2）． 【解答】解：（1）设a+b＝x，2a﹣b＝y， 原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 故答案为：﹣1；10； （2）， 设x+y＝m，x﹣y＝n， 原方程组可化为， 解得， 即， 解得， ∴原方程组的解为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $