精品解析：甘肃平凉市静宁县部分校2025～2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将试卷和答题卡上各项目填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的公比，若，，则公比（ ） A. B. C. D. 4. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 5. 某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.85135 D. 0.84135 6. 已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，取得最小值 D. 10. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（ ） 胸径 树高 A. 树高与胸径正相关 B. 胸径每增加，树高一定增加 C. D. 当胸径时，树高的残差为 11. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12. 若抛物线的焦点坐标为，则________． 13. 某项比赛期间需要安排名志愿者完成项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有________种． 14. 如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 50 女生 合计 30 （1）补全列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？ 附：，其中． α 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 17. 四棱锥中，底面为正方形，，平面，点为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则软件分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为． （ⅰ）当时，求的分布列与数学期望； （ⅱ）当为何值时，的值最大？ 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将试卷和答题卡上各项目填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程，求出斜率，再由，求出倾斜角. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以. 故选：C 2. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的导数除法运算法则，代入、及其导函数化简计算即可得到结果. 【详解】. 3. 已知等比数列的公比，若，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，可得，解得， 又因为，所以. 4. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 5. 某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（ ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.85135 D. 0.84135 【答案】D 【解析】 【分析】应用正态分布概率计算求解. 【详解】由题意可知，身高Y近似服从正态分布 ，所以， 身高至少要有160厘米才算达标，即求， 因为，所以， 根据正态分布的对称性 . 6. 已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 7. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【详解】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 8. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数，结合恒成立问题求出最大值即可. 【详解】显然定义域,因为, 因为函数在区间上单调递减，即内恒有, 即变形可得,， 设,求导 , 所以在上单调递增，因此,要使在内恒成立， 只需,即. 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9. 已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时，取得最小值 D. 【答案】BC 【解析】 【详解】，， ，，故A错误，B正确； 等差数列的前项小于零，第5项开始大于零， 故当时，取得最小值，C正确； ，故D错误． 10. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（ ） 胸径 树高 A. 树高与胸径正相关 B. 胸径每增加，树高一定增加 C. D. 当胸径时，树高的残差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用回归直线性质判断A，B，计算样本中心求参数判断C，计算预测判断D. 【详解】对于A：经验回归方程斜率为正，树高与胸径正相关，A正确； 对于B：胸径每增加1cm，树高是平均增加1.32m，并非一定增加，不符合回归分析的统计意义，B错误； 对于C：计算得样本均值，回归直线过样本中心点， 代入回归方程得， 所以，解得，C正确； 对于D：时预测值，残差为，D正确， 11. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 的极小值为1 D. 在上的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D. 【详解】函数，，令，则，，故A错误； 函数，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确； 函数，则或，所以函数的单调递增区间为或， 所以函数的极小值为，故C正确； 由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增， 所以函数的极大值为，又， 故在上的最大值为3，故D正确. 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分． 12. 若抛物线的焦点坐标为，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得，，得. 13. 某项比赛期间需要安排名志愿者完成项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有________种． 【答案】36 【解析】 【详解】先将工作按照分好，再分给名志愿者，共有种安排方式. 14. 如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度. 【详解】因为二面角的大小为，， . ,即两点间的距离为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 50 女生 合计 30 （1）补全列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？ 附：，其中． α 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1） 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 （2）可以认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关【解析】 【小问1详解】 由题可知共选择学生100人，由表可知选择女生合计， 剪纸的男生为人，则选择剪纸的女生为人， 则选择书法的女生为人，则选择书法的学生为人， 则补充后的表如下所示： 性别 选择的课程 合计 书法 剪纸 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 【小问2详解】 零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关． 根据列联表中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关． 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值. 【小问1详解】 由题意可得解得，， 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 联立得． 由题可得， 解得，． 17. 四棱锥中，底面为正方形，，平面，点为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面为正方形，平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，即可证明； （2）求出平面的法向量，由线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为， ，则，令，则， 则，直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则软件分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为． （ⅰ）当时，求的分布列与数学期望； （ⅱ）当为何值时，的值最大？ 【答案】（1）0.75． （2）（i） 0 1 2 3 数学期望． （ⅱ）或4 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解； （2）（ⅰ）根据二项分布概率公式求分布列和数学期望；（ⅱ）根据二项分布概率公式可知，判断数列的单调性，即可求最值. 【小问1详解】 记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件， 由题意可知：，，，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率为0.75． 【小问2详解】 由（1）可知：， （i）当时，的可能取值为，，，， 依题意，，，，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． （ⅱ）， 令，则， 令，解得，可知当时，；令，解得，可知当时，； 令，解得，可知当时，； 于是． 所以当或4时，最大，即或4时，的值最大． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 【答案】（1） （2）单调增区间为，单调减区间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求，再求导得，进而得切线方程； （2）先求导，利用导数研究单调性即可求解； （3）结合（2）易得，即是的一个的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以， 所以切线方程为：； 【小问2详解】 所以， 当时，由， 所以单调增区间为，单调减区间为； 【小问3详解】 当时，， 由（2）有单调增区间为，单调减区间为， 又，所以是的一个零点，不妨设， 要证，只需证， 又因为，且在上单调递减， 从而只需证即可， 又， 令， 所以，所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $