甘肃酒泉市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

酒泉市普通高中2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第4章、选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史．现有一算盘，取其两档（如图1），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图2算盘表示整数51）．若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ） A．6 B．8 C．10 D．15 4．若，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A．回归直线必经过样本点， B．这组数据的样本中心点未必在回归直线上 C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元 D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元 6．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 7．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积中最大的是（ ） A． B． C． D． 8．若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，每人只去一个公司，则下列说法正确的是（ ） A．共有24种分配方法 B．每个公司都有分配到人，有24种分配方法 C．恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法 D．每个公司都有分配到人，且公司A只要女生，有12种分配方法 10．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量服从两点分布，，则 B．若随机变量的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，，则 11．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（ ） A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在展开式中，含的项的系数是__________．（用数字表示） 13．某校有20名同学报名参加全市数学竞赛选拔赛，其中来自高一的有8人，来自高二的有8人，来自高三的有4人．高一、高二、高三学生能通过选拔进入比赛的概率分别为0.4，0.7，0.9，则从报名的学生中任选一名能通过选拔进入比赛的概率是__________． 14．如图，平行六面体中，，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 16．（本小题满分15分） 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2名参加学校举办的文艺汇演活动． （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 17．（本小题满分15分） 如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18．（本小题满分17分） 已知函数（其中为常数）． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由． 19．（本小题满分17分） 直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2025年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6或6以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5或不足5的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”． （1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关； 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 附： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中，． （2）某投资公司在2026年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择： 方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为：，，； 方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为：，，． 针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由． 酒泉市普通高中2025~2026学年度第二学期期末考试·高二数学试卷 参考答案、提示及评分细则 1．D 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．C 9．BCD 10．AD 11．BC 12．20 13．0.62 14． 15．解：（1）因为， 2分 因为在处取得极值，所以，解得，经检验符合题意， 所以 4分 （2）由（1）得，， 令，解得或 8分 当变化时，和的变化情况如下表所示： 1 2 0 负 0 正 3 递减 极小值 递增 3 11分 所以当时，函数的最大值为3，最小值为 13分 16．解：（1）记4名男生为，，，，2名女生为，，从6名成员中挑选2名成员，有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况， 记“男生甲被选中”为事件，不妨假设男生甲为，事件所包含的基本事件数为，，，，，共有5种，故， 5分 或 5分 （2）记“女生乙被选中”为事件，不妨假设女生乙为，则事件包含的基本事件为，只有1种，所以， 7分 或， 7分 又由（1）知，所以在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率为. 10分 （3）记“挑选的2人一男一女”为事件，则事件包含的基本事件有8种， 所以， 12分 或， 12分 记“女生乙被选中”为事件，则， 13分 或， 13分 则在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为 15分 17．（1）解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为棱的中点，所以 1分 因为为侧面内的一点，且，所以可设，. 因为，所以. 所以 2分 所以. 又因为，，，平面，且， 所以平面. 所以为平面的法向量 3分 因为，且平面， 所以平面. 5分 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面. 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面 5分 （2）说明：若第（1）问用解法二，则第（2）问需要先建立空间直角坐标系，若第（1）问用解法一，则第（2）问可直接利用第一问的向量坐标，从求平面法向量开始即可. 以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为棱的中点，所以. 因为为侧面内的一点，且，所以可设，. 因为，所以. 所以，所以 6分 在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量， 7分 又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为 10分 （3）因为，. 设平面的法向量为， 则，令可得 11分 所以. 所以点到平面的距离为. 15分 18．解：（1）当时，可得，可得， 所以且， 2分 所以切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为 5分 （2）由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 1 0 极小值 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 10分 （3）当时，，令，解得，（舍去）， 所以函数在上有一个零点； 13分 当时，与在区间的情况如下表： 1 0 0 极大值 极小值 所以函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数的极大值为，所以函数在上没有零点； 14分 又由且函数在上单调递增，且当时，， 所以函数在上只有一个零点 16分 综上可得，当时，在上有一个零点 17分 19．解：（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人， 1分 由图1知，样本中的年轻人有人， 2分 补充完整的列联表如下， 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 100 20 120 不经常使用直播销售用户 60 20 80 合计 160 40 200 4分 现提出统计假设：是否经常使用网络直播销售与年龄无关. 根据列联表数据求得：， 6分 由于， 故有85%的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关. 8分 （2）方案一：设获利万元，则的所有可能取值为300，，0， 9分 ， 10分 11分 方案二：设获利万元，则的所有可能取值为，，0， 12分 ， 13分 ， 14分 因为，， 15分 从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多， 从稳定性方面看方案一更稳妥，故从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉市普通高中2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册第4章、选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 2．已知，则 A． B． C． D． 3．算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史．现有一算盘，取其两档（如图1），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图2算盘表示整数51）．若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为 A．6 B．8 C．10 D．15 4．若，，则等于 A． B． C． D． 5．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 6 销售额（万元） 19 25 34 38 44 根据上表可得回归直线方程为，则下列说法正确的是 A．回归直线必经过样本点，． B．这组数据的样本中心点未必在回归直线上 C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元 D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元 6．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 7．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积中最大的是 A． B． C． D． 8．若，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，每人只去一个公司，则下列说法正确的是 A．共有24种分配方法 B．每个公司都有分配到人，有24种分配方法 C．恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法 D．每个公司都有分配到人，且公司A只要女生，有12种分配方法 10．下列结论正确的是 A．若随机变量服从两点分布，，则 B．若随机变量的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，，则 11．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则 A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在展开式中，含的项的系数是__________．（用数字表示） 13．某校有20名同学报名参加全市数学竞赛选拔赛，其中来自高一的有8人，来自高二的有8人，来自高三的有4人．高一、高二、高三学生能通过选拔进入比赛的概率分别为0.4，0.7，0.9，则从报名的学生中任选一名能通过选拔进入比赛的概率是__________． 14．如图，平行六面体中，，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 16．（本小题满分15分） 某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2名参加学校举办的文艺汇演活动． （1）求男生甲被选中的概率； （2）在已知男生甲被选中的条件下，求女生乙被选中的概率； （3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 17．（本小题满分15分） 如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18．（本小题满分17分） 已知函数（其中为常数）． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由． 19．（本小题满分17分） 直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示，2025年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6或6以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5或不足5的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”． （1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为是否经常使用网络直播销售与年龄有关； 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 附： 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中，． （2）某投资公司在2026年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择： 方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为：，，； 方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为：，，． 针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $