精品解析：广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿鸣中学2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷

2027届高二下期末检测数学卷 （考试时间：120分钟 试卷分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知集合， ， 则. 2. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部. 【详解】由已知，解得，故，其虚部为， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 4. 若向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果． 【详解】在方向上的投影向量为． 故选：C 5. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设出公差，借助等差数列及其前项和的基本量与等比中项的性质计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 即，由，，成等比数列，则， 即，化简得， 由，则，即有，解得， 故. 6. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，即， 则曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 则，解得. 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 8. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，令，则，原函数等价于，分离参数，设，则当时，单调递减；当时，单调递增；根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果. 【详解】令，得到， 即，令，则， 设，则， 令，得到， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得最小值，故方程仅有唯一解， 因此，原函数等价于， 变形得到，设，则 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此，在处取得极小值（也是最小值），， 因为时，，当时，， 函数在上有两个不同的零点， 转化为直线与的图像有两个不同交点，则. 故实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A：离散型随机变量所有可能取值的概率之和为1，本题中的取值只有0,1,2， 因此，故选项A正确； 选项B：将代入分布列公式求和得，解得，故选项B正确； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误. 10. 函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间恰有一个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，结合的取值范围可求的值，判断B的真假；在此基础上，再根据可求的值，判断A的真假；求函数在区间上的零点，判断C的真假；将函数进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D的真假. 【详解】因为，又，所以，故B错误； 因为， 由图可知，，所以，故A正确； 所以，当时，，所以方程在上只有即一个解，即函数在区间恰有一个零点，故C正确； 将图象向左移个单位后可得，为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的最小值为-9 D. 若以实轴为直径的圆与相切，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可. 【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误； 对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得， ，， ，，，因为直线与双曲线右支交于一点， 所以，解得，故B正确； 对于C选项，设，，，所以， 由在双曲线上可得，代入可得，， 当时，取得最小值，可得，故C正确； 对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切， 由点到直线的距离公式，，联立求解坐标， 将代入双曲线方程，可得，解得，， 所以，， ，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项为，， 令，解得， 则的系数为. 13. 2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【解析】 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 14. 已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，且，，，，则球O的体积为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】利用勾股定理证明，然后由直角三角形的性质判断球心位置，然后可得体积. 【详解】因为，，，， 所以， 所以， 由直角三角形的性质可知，的中点到的距离相等，即为球心， 所以球的半径为，所以球的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的角平分线的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角； （2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度. 【小问1详解】 由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . 【小问2详解】 根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ， 解得 . 16. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 【答案】（1） （2）X的分布列为 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均值的求法求解即可； （2）以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中所占的比例，即得到随机从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率，利用服从二项分布，可得其分布列及数学期望； （3）利用全概率公式可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图，这组数据的平均值为 . 【小问2详解】 以频率估计概率，根据频率分布直方图， 得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为； 易知， 所以， ， ， . 所以X的分布列为 X的数学期望是. 【小问3详解】 已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%， 且三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为， 所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人， 这名学生是“滇超达人”的概率为. 17. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，列出方程即可求出的通项公式，利用即可求出的通项公式； （2）利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 解得，，所以． 由已知，① 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以． 【小问2详解】 数列． 则 所以 故 所以． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. 【小问3详解】 如图，取中点为，连接， 在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（1） （2） （3）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 只需证明 设， 则 所以在单调递增，于是. 又因为，当时，，由此可得 ， 所以原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式即可求出切线方程; （2）利用和在上的单调性分析的单调性，结合端点导数值的正负确定的零点，进而划分原函数的增减区间，最终比较端点函数值得出最小值； （3）通过变量替换将双变量不等式转化为单变量函数问题，再构造新函数，利用导数分析其单调性来证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得， 因为在上单调递减，在上也单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为，； 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 从而函数的最小值在或上取到， 又因为，而， 所以在区间上的最小值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二下期末检测数学卷 （考试时间：120分钟 试卷分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设公差不为的等差数列的前项和为，，若，，成等比数列，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6. 已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 8. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间恰有一个零点 D. 将图象向左移个单位后关于轴对称 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（ ） A. 的离心率为 B. C. 的最小值为-9 D. 若以实轴为直径的圆与相切，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，的系数为___________． 13. 2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 14. 已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，且，，，，则球O的体积为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的角平分线的长度. 16. 为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望； （3）某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校参赛学生在活动中获得“滇超达人”的比例分别为，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率. 17. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）函数，当时，求证：对任意的，且，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $