精品解析：广西贺州市2025-2026学年高二下学期期末质量检测数学试题

2026年春季学期高二年级期末质量检测试卷 数学 时间：120分钟 试题满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.选择题务必用2B铅笔填涂，非选择题务必用0.5 mm的黑色签字笔书写，否则作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是虚数单位，是原点，则向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在复平面内，复数，对应的向量分别是，， 所以，， ，所以； 坐标对应的复数为. 3. 已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，得，， 点在回归直线上，故，解得， ， 故当时，． 4. 下列图象与函数图象最符合的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】讨论函数的性质选取对应的图象即可. 【详解】,所以为偶函数，故排除A. 讨论在时的图象性质. , 令. 根据的符号可知，在单调增，在单调减. 故排除B、C.故答案选D. 5. 已知各边长均为1，，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，则 6. 在研发一款超导量子芯片时，需要将5个功能单元（3个“量子逻辑门”和2个“经典控制单元”）排成一条线性序列进行布线.为保证量子相干性，要求2个“经典控制单元”不能相邻；同时，3个“量子逻辑门”中承担纠错功能的“主控门”不能排在整条线性序列的首位.则满足上述条件的布线方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【详解】若“主控门”不在首位，先排“主控门”，再排列其他4个功能单元，共有种； 若“主控门”不在首位，且2个“经典控制单元”相邻，先排列2个“经典控制单元”（捆绑）和剩下的2个功能单元，再将“主控门”进行插空，共有种， 则满足条件的布线方案共有种. 7. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到，利用三角形内角范围即得. 【详解】由以及正弦定理可得：， 因，代入整理得， 因,则得，又因，故. 故选：A. 8. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得. 【详解】 连接、， 由在以为直径的圆上，故， 、在椭圆上，故有，， 设，则， 则有，， 即可得，解得， 故，则， 故. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列是等差数列，已知，，是的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是公差为2的等差数列 D. 的最小项为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出公差，得到通项公式，并结合求和公式可得AB正确；求出，得到公差；D选项，二次函数单调性得到最值，得到D正确 【详解】A选项，∵ 为等差数列，，， ∴ 公差. ∴ ， ∴ ，故A正确. B选项，∵ 前项和， ∴ ，， ∴ ，故B正确. C选项，∵ ， ∴ 数列的公差为 ，不为，故C错误. D选项，∵ ，且为正整数， ∴ 当或时，取得最小值，即的最小项为或，故D正确. 10. 在直三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 存在点，使得平面 【答案】BCD 【解析】 【详解】如图： 对于选项A，因为平面,平面，所以平面，又因为平面，但不过，所以与是异面直线，故A错误； 对于选项B，因为底面，因为底面，所以； 又，且平面， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以侧面是正方形，所以． 因为，且平面， 所以平面，故B正确. 对于选项C，由选项下的证明得到，平面，因为平面 所以平面平面，故C正确. 对于选项D，当为线段的中点时，设， 则，所以，故四边形为平行四边形， 所以，而平面平面，所以平面，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 曲线的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有一条对称轴 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 对于选项A：因为，所以为奇函数，故A错误； 对于选项B：令，解得， 所以曲线的对称中心为，，故B选项正确； 对于选项C：因为， 即，即在内不是单调递减，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且在内有且仅有一条对称轴， 所以在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确； 故选：BD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为的展开式的通项公为， 由，得到，所以的系数为， 故答案为：. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 14. 若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立， 等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知，因此实数的最大值为4． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知公比大于1的等比数列满足：，． （1）求的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）方法1：根据等比数列性质计算出，从而求出公比，得到通项公式； 方法2：由等比数列性质得到关于首项和公比的方程组，求出解得，得到通项公式； （2）根据与的关系式得到，从而结合（1）知，（），得到结论. 【小问1详解】 方法1：设公比为， 因为是等比数列，所以， 又，解得或． 又，所以，所以，． 因此； 方法2：设公比为， 由等比数列性质得出， 解得或， 又，所以， 因此． 【小问2详解】 由（1）得，所以， 两式作差可得， 即，整理得，． 方程同除以得，，即（）． 所以数列是公差为的等差数列． 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面ABCD，，点分别在棱上，且，，点是线段上的任意一点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明详见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明平面平面来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 连接，由于，所以四边形是平行四边形， 所以，由于，所以. 由于平面，平面，所以平面. 由于平面，平面，所以平面. 由于，所以平面平面， 由于平面，所以平面. 【小问2详解】 由于平面平面，， 由此以为原点，建立以如图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，故可设， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 17. 在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可. （ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 18. 人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 40 20 40 20 假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响. （1）从该地区大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； （2）采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； （3）若某学生最喜爱视频创作，则他每天使用该软件超过1小时的概率为0.8；若最喜爱语言翻译，则超过1小时的概率为0.5；若最喜爱图像修复或智绘设计，则超过1小时的概率为0.6.现随机抽取一人，发现他每天使用该软件超过1小时，求他最喜爱视频创作的概率. 【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率，得到概率； （2）求出的可能取值和相应的概率，得到分布列，求出数学期望； （3）设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解 【小问1详解】 设从该地区的大学生中随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为， 用频率估计概率，则. 【小问2详解】 因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为， 所以的所有可能取值为0，1，2， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ， （或，则）； 【小问3详解】 定义以下事件：抽取学生喜爱的视频创作；：抽取学生喜爱的图像修复； ：抽取学生喜爱的语言翻译；：抽取学生喜爱的智绘设计； ：学生每日使用软件超过1小时. 由题意得 ，，，， ，，， 由 得 . 每天使用该软件超过1小时，他最喜爱视频创作的概率为 . 19. 已知 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，且满足，求的值； （3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，由极值点的定义可知方程有两个不等正根，再根据整理得，利用韦达定理代入即可求解； （3）令，利用导函数求的单调性证明在上恒成立即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为有两个极值点， 所以有两个大于0的变号零点， 所以方程有两个不等正根， 所以，解得， 又因为， 即有， 整理得， 代入， 可得，解得， 又因为，所以可得， 经检验，符合题意． 【小问3详解】 由(2)可知且，从而， 因为在上恒成立， 令， 则有在上恒成立，易得， 因为，所以， 令，对称轴， ①当时，， 所以在单调递增，从而恒成立， 所以在也恒成立， 所以在单调递增，从而恒成立． ②当时，， 所以有两个不等实根（不妨设）， 所以，且当时，，从而， 所以在上单调递减， 所以，与“在上恒成立”矛盾， 综上，的取值范围是． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 4、若参变分离不易求解，考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高二年级期末质量检测试卷 数学 时间：120分钟 试题满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.选择题务必用2B铅笔填涂，非选择题务必用0.5 mm的黑色签字笔书写，否则作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是虚数单位，是原点，则向量对应的复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量，具有线性相关关系，由样本数据（，2，3，4，5）得到关于的经验回归方程为，若，，则当时，的预测值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象与函数图象最符合的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知各边长均为1，，，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 在研发一款超导量子芯片时，需要将5个功能单元（3个“量子逻辑门”和2个“经典控制单元”）排成一条线性序列进行布线.为保证量子相干性，要求2个“经典控制单元”不能相邻；同时，3个“量子逻辑门”中承担纠错功能的“主控门”不能排在整条线性序列的首位.则满足上述条件的布线方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 7. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列是等差数列，已知，，是的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是公差为2的等差数列 D. 的最小项为或 10. 在直三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 存在点，使得平面 11. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 曲线的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上有一条对称轴 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为_________． 13. 已知正实数，满足，则的最小值为__________. 14. 若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知公比大于1的等比数列满足：，． （1）求的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列． 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面ABCD，，点分别在棱上，且，，点是线段上的任意一点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 18. 人工智能（简称AI）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的AI软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款AI软件的使用情况，从该地区随机抽取了120名大学生，统计他们最喜爱使用的AI软件功能（每人只能选一项），统计结果如下： 软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计 大学生人数 40 20 40 20 假设大学生对AI软件的喜爱倾向互不影响. （1）从该地区大学生中随机抽取1人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率； （2）采用分层抽样的方式先从120名大学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望； （3）若某学生最喜爱视频创作，则他每天使用该软件超过1小时的概率为0.8；若最喜爱语言翻译，则超过1小时的概率为0.5；若最喜爱图像修复或智绘设计，则超过1小时的概率为0.6.现随机抽取一人，发现他每天使用该软件超过1小时，求他最喜爱视频创作的概率. 19. 已知 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，且满足，求的值； （3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $