暑假优化综合试题 （第七至十二章 ）2025-2026学年数学人教版七年级下学期

**基本信息** 暑假综合练习卷，覆盖七年级下册第七至十二章，以校园坐标、五线谱平行线等生活情境及古代数学问题为载体，梯度设计基础题与探究题，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|平移、统计图表选择、坐标系应用|第2题结合校园功能室坐标，培养空间观念| |填空题|6|中点坐标、不等式正整数解、扇形统计图分析|第16题通过扇形图判断人数，发展数据意识| |解答题|8|几何证明、统计计算、动态几何探究|第25题探究平行线间角关系及角平分线应用，提升推理能力；第10题古代耠子耧问题，渗透模型意识|

暑假优化综合试题 （第七至十二章 ） 2025-2026学年初中数学人教版（2024）七年级下学期 一、单选题 1．下列各组图形中，能将其中一个图形通过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，这是某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（     ） A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 3．下列信息中，最适合用折线统计图表示的是（     ） A．庆阳市个区县的人口数 B．七（2）班个学生的体重 C．紫金菜市场种蔬菜的价格 D．张爷爷连续天定时测得的血压 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（     ）． A． B． C． D． 6．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 7．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 8．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？“其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．4的算术平方根是_____． 12．如图，直线与相交于点，，，则的度数为________． 13．在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 14．不等式的所有正整数解之和为________． 15．关于，的方程组的解满足，则________． 16．某学校七年级三班有名学生，现对学生最喜欢的球类运动进行了调查，根据调查的结果制作了扇形统计图如图所示． 根据扇形统计图中提供的信息，给出以下结论： ①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人． 其中正确的结论有______（填序号）． 三、解答题 17．（1）计算： （2）解方程组： 18．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，求k的值． 19．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为 ． 20．如图，将三角形先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到三角形． (1)画出三角形，并写出，，的坐标 (2)求三角形的面积． 21．如图，已知，． 求证：． 证明： 已知， ， ． 同位角相等，两直线平行． 两直线平行，同位角相等． 已知， 等量代换． ． ． 22．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 23．如图所示，是直线上的点，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 24．为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间（单位：），把统计数据分为四组，，，．其中落在组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图： 请根据以上信息，回答下列问题： (1)被调查的学生共有 ___________人； (2)补全频数分布直方图； (3)求扇形统计图中组所对应的扇形圆心角度数； (4)若本校七年级共有400人，请估计阅读时间的学生共有多少人？ 25．如图1，已知直线∥，点A、B分别在直线CD、直线EF上，P为两平行线间一点． (1)猜想，，之间有什么数量关系？并说明理由． 应用 (2)利用（1）的结论解答： ①如图2，、分别平分、，请你直接写出与的数量关系，不需要说明理由； ②如图3，、分别平分、，若，求的大小（用含的代数式表示）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D C A D A C 1．B 解：根据平移的性质可知，图形的形状和大小不发生改变， A、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意； B、图形的形状和大小均没发生改变，故该选项符合题意； C、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意； D、图形的形状发生了变化，故该选项不符合题意． 2．C 根据该功能室的坐标可判断该功能室在第二象限，据此可得答案． 解：∵该功能室坐标为， ∴该功能室在第二象限， ∴该功能室是生物实验室． 3．D 根据折线统计图的核心作用是展示数据随时间或顺序的变化趋势，据此分析判断各选项的统计需求即可． 解：A选项需要对比8个区县的人口数量，B选项需要对比46名学生的体重，C选项需要对比15种蔬菜的价格，三个选项都只需要比较不同类别的具体数量，适合用条形统计图． D选项需要展示连续7天血压的变化情况，符合折线统计图的使用场景． 4．B 解：， 移项得， 合并同类项得． 在数轴上表示为：． 5．D 本题考查算术平方根的计算、同类二次根式的合并、绝对值的化简、立方根的计算，根据相关定义和运算法则逐一判断选项即可． 选项A：表示的算术平方根，结果为非负数， ∵，∴选项A计算错误； 选项B：合并同类二次根式，系数相减，根式不变， ∵，∴选项B计算错误； 选项C：根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身， ∵，即，∴，∴选项C计算错误； 选项D：根据立方根的定义， ∵，，∴选项D计算正确． 6．C 若消去未知数，则运算后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件． 解：，得： ， 整理得：， 消去了未知数， 的系数为， 即． 7．A 先观察数轴，确定点M所在的整数区间，明确点M对应的数值范围．对每个选项中的算术平方根，利用“若（为正整数），则”将各算术平方根的范围与点M的数值范围比对，找到符合条件的选项． 从数轴可知，点在和之间，即 ， 对不等式三边平方得：． 逐一分析选项： 选项A：，因为 ，所以 ，符合点M的范围； 选项B：，因为 ，所以 ，不符合； 选项C：，因为 ，所以 ，不符合； 选项D：，因为 ，所以 ，不符合． 因此答案选A． 8．D 本题考查了不等式的性质，根据已知条件，逐一分析各选项是否成立． 选项A：当时，满足，但，故A不一定成立． 选项B：∵，∴，故B错误． 选项C：∵，∴，，故C错误． 选项D∵，∴，故D正确． 故选D． 9．A 本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：A． 10．C 根据题意列出方程组即可． 解：设耠子有个，耧有个， ∵耠子和耧共有个， ∴， ∵共有100条腿， ∴， ∴方程组为． 11． 解：的算术平方根是． 12． 解：直线与相交于点，， ， ， ， ． 13． 利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 14． 先求解该一元一次不等式，得到解集后找出解集中的所有正整数，再计算所有正整数解的和即可． 解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 为正整数， 的取值为，， 所有正整数解之和为． 15． 将方程组两式相加可得，化简得，结合列出关于a的方程求解即可． 解：， 得，， 整理得，， ， ， 解得，． 16．①②③④ 本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．利用各部分占总体的百分比，分别求出各部分的具体数量，即可作出判断． ①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人； 故答案为：①②③④ 17．（1）；（2） 此题考查了实数的混合运算，算术平方根，化简绝对值和零指数幂，解二元一次方程组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，化简绝对值和零指数幂，然后计算加减即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可． （1）解： ； （2）解： 由②得， 代入①得， 解得， 把代入③，得， ∴方程组的解为． 18． 先将方程组的解用k表示，根据方程的解的定义得到关于k的方程，解之即可． 解：由方程组得：， ∵ 此方程组的解也是方程2x+3y＝6的解 ∴ 2×7k+3×（﹣2k）＝6，即8k=6， 解得：， 故k的值为． 19．（1）x≥-1； （2）x＞-2； （3）在数轴上表示不等式的解集为： ； （4）x≥-1 （1）去分母、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解； （2）去括号、移项、系数化为1，即可求解； （3）把（1）和（2）求得的解集在数轴上表示出来； （4）两个解集的公共部分就是不等式组的解集． 解：（1）不等式两边都乘以6，得  6+3+15x≥4x-2 移项，得  15x-4x≥-2-6-3 合并同类项，得  11x≥-11, 系数化为1，得  x≥-1 故答案为：x≥-1 （2）去括号，得  -3x-6＜2x+4 移项，得  -3x-2x＜4+6 合并同类项，得  -5x＜10 系数化为1，得  x＞-2 故答案为：x＞-2 （3）略 （4）原不等式组的解集为：x≥-1． 故答案为：x≥-1． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 20．(1)，，， (2) （1）先根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；根据平面直角坐标系可知，，的坐标； （2）利用割补法求解即可． （1）略； （2）解：． 21．对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 本题考查了平行线的性质与判定；根据平行线的性质定理与判定定理完成填空，即可求解． 证明： 已知，（对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 22．(1)， (2) 本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． （1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解； （2）将求解得代入进行求值，再求解平方根． （1）解:根据题意得，， 解得， 的立方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 23．(1) (2) （）由邻补角的性质得，进而根据角平分线的定义即可求解； （）由垂直的定义得，再根据角的和差关系即可求解； 本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（）知， ∴． 24．(1)40 (2)频数分布直方图如图所示： (3) (4)160人 （1）利用“A组的数据个数除以该组数据所占百分比”，即可获得答案； （2）首先确定落在B组的数据和D组的数据个数，然后补全频数分布直方图即可； （3）利用“C组数据占比”，即可获得答案； （4）利用“七年级总人数乘以抽样调查中阅读时间的学生占比”，即可获得答案． （1）解：由图可知，A组的人数为8人，占被调查的学生的， ∴被调查的学生共有（人）； （2）解：根据题意，可知B组的数据共计16个， 则D组的数据个数为； （3）解：扇形统计图中组所对应的扇形圆心角度数为． （4）解：（人）， ∴估计七年级阅读时间的学生共有160人． 25．(1)；理由见解析 (2)① ；② （1）过P作，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理证明，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证； （2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解． （1）解：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由如下： 过P作，如图， ∴∠APM=∠DAP， ∵， ∴， ∴∠MPB=∠FBP， ∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP． 即∠APB=∠DAP+∠FBP； （2）①结论：∠P=2∠P1； 理由： 由（1）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1， ∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1， ∴∠P=2∠P1． 故答案为：∠P=2∠P1； ②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2， ∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP， ∴∠CAP2=∠CAP，∠EBP2=∠EBP， ∴∠AP2B=∠CAP+∠EBP =（180°-∠DAP）+（180°-∠FBP） =180°-（∠DAP+∠FBP） =180°- ∠APB =． 本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线． 学科网（北京）股份有限公司 $