3.1.1 函数的概念讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

3.1.1 函数的概念 知识点1：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 知识点2：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 知识点3：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点4：求函数的定义域与函数值 1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． 知识点5：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 考点一　区间的定义及其运算 考点二　函数关系的判断 考点三　求具体函数的定义域 考点四　求抽象函数的定义域 考点五　求复合函数的定义域 考点六　求函数值或已知函数值求自变量或参数 考点七　判断两个函数是否相等 考点八　常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 考点九　复杂(根式型、分式型等)函数的值域 考点一　区间的定义及其运算 1．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集和交集的定义运算. 【详解】由题意可知，或，又， 则. 故选：A 2．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得，再分、两种情况讨论即可. 【详解】因集合中的元素恰有2个整数， 则其区间长度应满足，得， 当时，此时，则，得； 当时，此时，符合题意； 则的取值范围为. 4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，全集为． (1)求解出集合并用区间表示； (2)求阴影部分表示的集合． 【答案】(1), (2)阴影部分表示为 【分析】（1）分别求解分式不等式和绝对值不等式得到集合； （2）由图可得阴影部分表示，利用集合的补集和交集定义运算即得. 【详解】（1）由，解得，即； 又由，可得. （2）由图知阴影部分表示的集合为， 由（1）可得，故. 5．（25-26高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再用区间表示. 【详解】方程的两根分别为和， 所以不等式，得， 解集用区间表示为. 故选：A 6．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）不等式的解集用区间表示为__________. 【答案】 【分析】移项，将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】由得，即， 即，得， 故不等式的解集为. 故答案为： 考点二　函数关系的判断 7．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 8．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 9．（25-26高一上·广西玉林·期末）（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD 10．（25-26高一上·全国·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 考点三　求具体函数的定义域 11．（25-26高一上·全国·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 12．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得. 13．（25-26高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为_____________ 【答案】 【分析】根据根式与分式有意义列不等式组求解即可. 【详解】函数要有意义则：， 所以函数的定义域为. 14．（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 考点四　求抽象函数的定义域 15．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 16．（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 17．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 18．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 19．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 20．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【分析】利用抽象函数的定义域的求法计算即可. 【详解】由得， 对于函数，需使，解得． 故答案为： 考点五　求复合函数的定义域 21．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 22．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 23．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 24．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 25．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复合函数定义域相关知识可得答案. 【详解】因定义域为：，则的定义域满足：， 解得：，即定义域为：. 故选：D 26．（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围； （2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域； （3）将代入已知的定义域区间，解出的范围. 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 考点六　求函数值或已知函数值求自变量或参数 27．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 28．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 29．（25-26高一上·湖北·期末）若函数，则_____． 【答案】0 【分析】代入计算函数值即可求解. 【详解】函数， 则. 故答案为：0. 30．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代值计算可得的值； （2）利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）解方程可得出的值. 【详解】（1）因为，所以. （2）不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为. （3）由可得，即，解得或，合乎题意. 31．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）将代入即可得出答案 【详解】（1）； （2） 32．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 考点七　判断两个函数是否相等 33．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 34．（25-26高一下·山东青岛·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 35．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 36．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 考点八　常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 37．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 38．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 【答案】 【分析】由二次函数的性质得出值域. 【详解】由，开口向上，对称轴为， 当时，，当时，， 则的值域为. 故答案为：. 39．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 40．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解； （2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为. （2）由函数，因为，可得， 所以函数的值域为． 考点九　复杂(根式型、分式型等)函数的值域 41．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 42．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 43．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 44．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 45．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 46．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 1．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 所以，. 2．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 4．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 6．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 7．（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 8．（25-26高一上·山东淄博·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用复合函数求定义域的方法可得选项A正确；利用二次函数的性质可得选项B错误；利用分离常数法化简函数解析式可得选项C错误；利用换元法，结合二次函数性质求值域可得选项D正确. 【详解】A.∵的定义域为， ∴，解得， ∴的定义域为，选项A正确. B. ∵，对称轴为直线， ∴， ∴函数在上的值域为，选项B错误. C. ∵ , ∴，即函数的值域为，选项C错误. D.令，则， ∴， ∴当时，，即函数值域为，选项D正确. 故选：AD. 9．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 10．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】由解析式展开求解即可. 【详解】依题意得， 即，解得． 故答案为： 11．（25-26高一上·全国·期中）已知函数，且，则实数____________． 【答案】或4或 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 12．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 13．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 14．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 15．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，；当且时，. 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 16．（25-26高一上·云南怒江·期末）已知函数 (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）分段作出函数图象即可； （2）利用分段函数求函数值即可； 【详解】（1）作出函数的图象如图所示： （2） 17．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解； （3）根据分式函数的特点，因定义域为R，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为：. （2）设，则，且， 所以，， 结合函数的图象可得原函数的值域为. （3）因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 18．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 函数的概念 知识点1：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 知识点2：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 知识点3：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点4：求函数的定义域与函数值 1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． 知识点5：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 考点一　区间的定义及其运算 考点二　函数关系的判断 考点三　求具体函数的定义域 考点四　求抽象函数的定义域 考点五　求复合函数的定义域 考点六　求函数值或已知函数值求自变量或参数 考点七　判断两个函数是否相等 考点八　常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 考点九　复杂(根式型、分式型等)函数的值域 考点一　区间的定义及其运算 1．（25-26高一上·湖北荆州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 3．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知集合，全集为． (1)求解出集合并用区间表示； (2)求阴影部分表示的集合． 5．（25-26高一上·四川成都·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）不等式的解集用区间表示为__________. 考点二　函数关系的判断 7．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 8．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广西玉林·期末）（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·期中）下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 考点三　求具体函数的定义域 11．（25-26高一上·全国·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 12．（25-26高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为_____________ 14．（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 考点四　求抽象函数的定义域 15．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 16．（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 18．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 19．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 考点五　求复合函数的定义域 21．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 24．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 25．（25-26高一上·重庆九龙坡·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 考点六　求函数值或已知函数值求自变量或参数 27．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 28．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 29．（25-26高一上·湖北·期末）若函数，则_____． 30．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 31．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 32．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 考点七　判断两个函数是否相等 33．（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 34．（25-26高一下·山东青岛·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 35．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 36．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点八　常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 37．（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 38．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知，则的值域为________． 39．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 40．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 考点九　复杂(根式型、分式型等)函数的值域 41．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 42．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 43．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 44．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 45．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）函数的值域是______. 46．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 1．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 3．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 6．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东淄博·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数在上的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 9．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 10．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 11．（25-26高一上·全国·期中）已知函数，且，则实数____________． 12．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 13．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 14．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 15．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 16．（25-26高一上·云南怒江·期末）已知函数 (1)在所给坐标系中，画出的图象. (2)求，的值. 17．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)； (2) (3) 18．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $