第十九章 实数 章末检测 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 沪教版五四制八年级数学上册第十九章实数章末检测，全面覆盖实数概念、运算及应用，梯度设计适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|无理数识别、算术平方根、实数与数轴|结合数轴墨迹覆盖问题（第3题），发展几何直观| |填空题|6/18|实数大小比较、相反数、数轴化简|引入新定义“共同体区间”（第19题），提升创新意识| |解答题|8/72|实数计算、立方根应用、几何拼图|设计魔方棱长计算（第18题）与拼图面积问题（第23题），强化应用意识与空间观念|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 · 第十九章实数章末检测 · 考试时间：120分钟        满分：120分 · 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分；填空题共6小题，满分18分，每小题3分；解答题共8小题，满分72分，每题9分。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各数中表示负无理数的是（    ） A．-3.14 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、无理数、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】根据负无理数的定义求解即可． 【详解】A.-3.14是负有理数，故A不符合题意； B.，因此是负有理数，故B不符合题意； C.，因此是正有理数，故C不符合题意； D.是负无理数，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义及实数的分类，熟练掌握无理数的定义，无限不循环小数为无理数，是解题的关键． 2．一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（    ） A．a＋8 B．a－4 C．a2－8 D．a2＋8 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义即可求解. 【详解】∵一个数的算术平方根是a， ∴这个数为a2，比这个数大8数是a2＋8 故选D. 【点睛】此题主要考查算术平方根的定义，解题的关键是熟知算术平方根的定义. 3．若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果． 【详解】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3， ，，，， 四个数，，，，只有被墨迹覆盖． 4．有下列四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】实数的混合运算 【详解】解：①判断“两个无理数的和一定是无理数” 取和，二者都是无理数，，0是有理数，因此①错误； ②判断“两个无理数的积一定是无理数” 取和，二者都是无理数，，2是有理数，因此②错误； ③判断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数” 设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得，两个有理数的差仍为有理数，与是无理数矛盾，因此和一定是无理数，③正确； ④判断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数” 取有理数0和无理数，，0是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有1个. 5．下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、不等式的解集、实数的大小比较 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根 【分析】根据，则，结合已知条件，即可得出答案． 【详解】解：， ， 则． 故选：D． 【点睛】此题考查了立方根的性质，结合题意观察小数点的移动规律，发现被开方数的小数点移动3位，其立方根就相应移动1位． 7．关于“”，下列说法不正确的是（　　） A．它的小数部分是 B．它表示19的平方根 C．它可以表示面积为19的正方形的边长 D．若（为整数），则 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、求算术平方根的整数部分和小数部分、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了无理数的定义以及无理数的估算，无理数的估算关键是确定无理数的整数部分．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 分别根据无理数的定义，正方形面积公式以及无理数的估算方法判断即可． 【详解】解：， A．它的小数部分是，说法正确，故选项A不合题意； B．它表示19的算数平方根，故选项 B 不正确，符合题意； C．它可以表示面积为 19 的正方形的边长，说法正确，故选项C不合题意； D．∵，∴，故选项D 说法正确，不合题意； 故选：B． 8．一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、无理数的大小估算、立方根概念理解 【分析】估算的值即可． 【详解】解：∵正方体的水晶砖，体积为， ∴它的棱长是， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根的估算，找到两个连续整数的立方，一个大于80，一个小于80是解题关键． 9．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、程序设计与实数运算、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 10．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】十字相乘法、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 二、填空题 11．若，则__________． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零时，每项必须为零，从而求出a和b的值，代入代数式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：1． 12．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为_____．（用“＜”连接） 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、实数的大小比较、绝对值非负性 【分析】本题考查了实数的大小比较、算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据平方、算术平方根和绝对值的非负性，三个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a，b，c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． 14．实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：___________． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 15．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 16．已知表示不超过的最大整数，若，，，，则_______． 【答案】0 【知识点】不等式的性质、新定义下的实数运算、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】先根据平方根的定义求出正与负的表达式，再估算和的取值范围，根据题目定义的取整规则得到和的值，最后计算二者的和． 【详解】解：，， ． ， ， 根据不超过的最大整数定义可得． 又，， ． ， ， 不等式两边同乘得， 根据不超过的最大整数定义可得， 则． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，熟练计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再合并即可； （2）先计算乘法和绝对值，再计算加法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 18．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【知识点】实数与数轴、立方根的实际应用、算术平方根的实际应用 【分析】（1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为，则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：∵魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， ∵正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， ， ∵点A与重合， 点D在数轴上表示的数为． 19．定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为 ； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、无理数的大小估算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，求出，进而得到，两式相减，得，求出m的算术平方根为，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“共同体区间”是． 20．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2) 证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； (3)， 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 21．根据下表回答问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 3375 3442.951 3511.808 3581.577 3652.264 3723.875 3796.416 3869.893 (1)234.09的平方根是________，3869.893的立方根是________； (2)________，________，________； (3)设的整数部分为，求的平方根． 【答案】(1)，15.7； (2)154，1.56， (3) 【知识点】求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的立方根，算术平方根和平方根，熟知立方根，算术平方根和平方根的定义是解题的关键。 （1））对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根， 若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可； （2）被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么开平方的结果的小数点向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开平方的结果的小数点向右移动一位，据此结合表格的数据求解即可； （3）根据得到，据此确定a的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴234.09的平方根是； ∵， ∴3869.893的立方根是15.7； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根为． 22．【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【知识运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对_______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、利用算术平方根的非负性解题、新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了新定义运算，涉及立方根和算术平方根的概念理解，理解新定义是解题的关键． （）根据新定义运算解答即可求解； （）先得到，，再根据新定义即可求解； （）根据新定义，分两种情况解答即可求解； 【详解】（1）解：，， ∴数对的开方对称数对，； （2）解：∵，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”， ∴， ∵数对的一个开方对称数对是， ∴，； （3）解：若，， 则，， ∴； 若，， 则，， ∴； 的值为或． 23．阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，； （2）1，13，； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； 故答案为：2，； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； 故答案为：1，13，； （3）略 24．本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a即x＝a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 运算 求一个数a的平方根的运算叫做开平方．开平方和平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算叫做开立方．开立方和立方互为逆运算． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数a的平方根可以表示为“±”． 一个数a的立方根可以表示为“”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： （1）探索定义：填写下表： x4 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： （2）探究性质 ①1的四次方根是　 　； ②16的四次方根是　 　； ③的四次方根是　 　； ④12的四次方根是　 　； ⑤0的四次方根是　 　； ⑥﹣625　 　（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：　 　． （3）拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：　 　． 【答案】（1）见解析；（2）①1；②2；③；④；⑤0；⑥没有；一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根．（3）类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）计算即可求解； （2）根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根． （3）用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【详解】解：（1）填写表格如下： x4 1 16 81 x 1 2 3 （2）①1的四次方根是：1； ②16的四次方根是：2； ③的四次方根是：； ④12的四次方根是：； ⑤0的四次方根是：0； ⑥﹣625没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：一个正数有两个四次方根，且互为相反数；0的四次方根是0，负数没有四次方根． （3）拓展应用： 在探索过程中，用到了：类比思想；分类讨论思想；由特殊到一般的思想． 【点睛】本题主要考查了平方根、立方根、方根的意义、特征，解题的关键是熟练掌握方根的意义．依据意义正确的计算是重要的环节． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 第十九章实数章末检测 考试时间：120分钟 满分：120分 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分；填空题共6小题，满分 18分，每小题3分；解答题共8小题，满分72分，每题9分。 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.下列各数中表示负无理数的是() c.FVic 9 A.-3.14 B.-125 D.2 2.一个数的算术平方根是a,则比这个数大8数是() A.a+8 B.a-4 C.d-8 D.d+8 3.若将四个数5，厅.52 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数 是() 201234 A. -V5 E.V万 D √20 4.有下列四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数： ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数： ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数. 上述推断中，正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列实数中，满足不等式x>3的是() A.(-3)月 B.2 C.π D 27 试卷第1页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 5.25≈1.738525≈8.067 -0.000525≈ 6.已知 则 () A.-17.38 B.-0.01738 C.-806.7 D.-0.08067 7.关于。。，下列说法不正确的是《) A.它的小数部分是V9-4 B.它表示19的平方根 C.它可以表示面积为19的正方形的边长 D.若1<9<n+1(”为整数)，则”=4 8.一个正方体的水晶砖，体积为80cm3,它的棱长大约在() A.4cm-5cm之间B.6cm-7cm之间C.7cm-8cm之间D.8cm-9cm之间 9.小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么 输出的结果是 64 2,当输入无的值是4时，输出的值是() 否 输入x 取立方根 是有理数 是 取算术平方根 是否为无理数 输出y B.2 D. 10.观察下列算式：4=1x2x3×4+1=5.4=V2x3×4x5+1=11 a3=V3×4×5×6+1=19 ,它有一定的规律性，把第”个算式的结果记为，则 111 1 +…十 a+1'a2+1a3+1a202+1的值是() 1 1011 2023 B.2022 C.2024 D.2024 试卷第2页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 二、填空题 11.若a+21+6-3=0a+b)s= ,则 12.已知实数a,b,c满足（口-7+5-b+-⑧=0，则a,b,c的大小关系为 (用“<”连接) 13.已知和3-2 的值互为相反数，且3x-21的平方根是它本身，则x+y的平方 根为 14.实数a,b,c在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： V6-c}-2c-a-v(a-b}- c a0 15,已知+3-x=3,且5+与-29 互为相反数，则y的值为一· 16,已知可表示不超过“的最大整数，若2=8，广=2，x>0,<0,则+儿 三、解答题 17.计算： )9-(←3+ @5(2-2+2 18.如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8. 试卷第3页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 ,D A -4-3-2-101234 ① ② (1)求出这个魔方的棱长： (2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长： (3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与表示-2的点重合，那么点D在数轴 上表示的数为 19,定义：若无理数厅的被开方数(T为正整数)满足心<T<(+少《其中n为正整 数)，则称无理数厅的“共同体区间”为红，n+).例如：因为P<3<2,所以V5的 “共同体区间”为2) 请回答下列问题： 0)26 的“共同体区间”为_： (2)若无理数Va的“共同体区间”为 ,3),求a+6的“共同体区间”： (3)实数x,y,m满足关系式： V2x+3y-m+V3x+4y-2m=Vx+y-2024+V2024-x-y 求m的算术平方根的“共同体区间”. 20.根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积 仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若x+八m=0, ，其中， 为有理数， √m 是无理数，则x=0,y=0 证明： :x+yWm=0.x为有理数， ∴yWm 是有理数. 试卷第4页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 y m 为有理数， 是无理数， ∴.y=0 ..x+0/m=0 x=0 0)活+2v=-同)，其中x,y为有理数，则x=y=: ②法+瓜=a+瓜，其中X,y,“,力为有理数，而 是无理数，求证：x=a y=b (3)已知 1 的整数部分为，小数部分为，，为有理数，，6，，》满足 17y+V17y+17y-217x)=2a17+bW17 求x,少的值. 21.根据下表回答问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 3375 3442.951 3511.808 3581.577 3652.264 3723.875 3796.416 3869.893 (1)234.09的平方根是 3869.893的立方根是 (2)V23716= √2.4336= 33723875= )设23 的整数部分为“，求135a的平方根。 2.【定义】用a)表示-个数对，其中“为任意数，b≥0.记近=m,6=n,将数 (a,b) 对mm和m称为数对a的一对“开方对称数对”.例如：数对825 和 的开方对称 数对为2-5)和（5,2) 【知识运用】 试卷第5页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先乡笔 27,1.69) (1)直接写出数对 的开方对称数对 3 (2)若数对(：，)的一个开方对称数对是 求x,y的值： ③)若数对a,)的一个开方对称数对是 -4,-5) 求a+b的值. 23.阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】(1)如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个 直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为 大正方形的边长为 ☑☒☑☑☒ 图1 图2 【知识迁移】(2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正 方形.如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三 角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为 :大正方形ABCD的面积为 一，边长为 【拓展延伸】(3)小明想用一块面积为1600cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面 积为1300cm的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4.请通过计算说明是否可行. 24.本学期《实数》中，我们学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 般地，如果一个数x的平方等于 般地，如果一个数x的立方等于 定义 a,即x=a,那么这个数x就叫做a a即x=a,那么这个数x就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）· 的立方根（也叫做三次方根）· 求一个数a的平方根的运算叫做开 求一个数a的立方根的运算叫做开 运算 平方.开平方和平方互为逆运算. 立方.开立方和立方互为逆运算， 性质 个正数有两个平方根，它们互为 正数的立方根是正数；0的立方根 试卷第6页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 臣免光乡罗 相反数：0的平方根是0；负数没有 是0；负数的立方根是负数 平方根. 一个数a的立方根可以表示为“ 表示方法 正数a的平方根可以表示为“士V后 lan 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根类比探索： (1)探索定义：填写下表： x 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： (2)探究性质 ①1的四次方根是一： ②16的四次方根是 81 ③16的四次方根是一： ④12的四次方根是一： ⑤0的四次方根是 ⑥-625（填“有”或“没有”）四次方根. 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： (3)拓展应用：在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： x 1 16 81 ±1 ±2 ±3 试卷第7页，共20页