第19章实数章节检测卷 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

**基本信息** 沪教版五四制八年级数学上册第19章实数单元检测卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合数学眼光、思维与语言，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|算术平方根、立方根、无理数分类|结合数轴表示、程序运算情境| |填空题|6/18|实数性质、整数部分与小数部分|设计新定义“开方对称数对”| |解答题|8/72|实数运算、类比探究、实际应用|融合魔方棱长计算、环境保护宣传栏设计等综合题，通过拼图问题发展空间观念|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 2026-2027沪教版五四制八年级数学上册 第19章实数章节检测卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡和 试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的) 1.下列实数中满足不等式x>3的是() A.(2) B.π C.v2 D.27 2.一个自然数的算术平方根为m ”,则与它相邻的下一个自然数的平方根是() A.m+1 B.±Vm+1 C.m2+1 D.±Vm+1 3.下列四个选项中，负无理数的是() A-V2 B.-1 C.0 D.3 1,V2,V3 4.将 三个数按图中方式排列，若规定a,) 表示第a排第b列的数，则 82)与 试卷第1页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 (10,10) 表示的两个数的积是() 1 5,2 5,2,1 1,5,√2,1 … A v6 B V3 c② D.1 5.已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是-45.6，x的平方根是±1.23，y的立方根是 456,则x和y分别是() A.x=-a b 0003y=1006 B.x=1000a,y=1000 c.x=78oy=-106 D.x=100y=10006 a 6.若将四个数5，万.店2 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数 是() -2-1012345 A.-V5 BV今 c vis D.V20 7.对千实数0，b,定义max{a,的含义：当≥b时，maxa,}=a当a<b时， max{a,}=b.例如：max0,-l=0.已知max{i5,a=vi店.max{i5,}=b 且a和 b为两个连续整数，则a+b=() A.7 B.8 C.9 D.10 8.如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆 柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为54cm，由此可估计该正方体铁块的棱 长位于哪两个相邻的整数之间() 试卷第2页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 铁块 A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 9.观察下列算式：4=V1x2x3×4+1=5.4,=V2x3x4x5+1=1 a3=V3×4×5×6+1=19 9,,它有一定的规律性，把第”个算式的结果记为。，则 111 1 十 a1+1a2+1a3+1 a202+1的值是() 1 A.月 B.2022 c 2023 D.2024 10.小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那 2 64 么输出的结果是，当输入“的值是时，输出的值是() 否 是有理数 输入x 取立方根 取算术平方根 是否为无理数 是 输出y 2 A B2 D迈 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1.若a-2+b+=0.则a+b 12.已知30+ 的木甲方根是5，如-2办一-2的立方粮是，C是四- 的整数部分，则 a+2b+3c的平方根是一 试卷第3页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 x-1=x-1 13.己知 ,则-x的值是 14.实数4，b在数轴上的位置如图所示，化简Va--Va+)-b-的结果是 6 3102方 15.若a2=4,b3=27,且ab<0,则a+b=一 16,如果是个实数，我们把不超过x的最大整数记为冈，把的小数部分记为网， 即树=x-问.如：42]=442=0242=-542y=08,求：【-2]- 3x+7 满足7 的整数x的值有_个；己知5x-3=6,则x= 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17.计算： )4++8 2(2j+--5 18.如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8. A -2 0 图① 图② (1)求出这个魔方的棱长： (2)图①中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长： (3)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与1重合，那么点D在数轴上表示的数 试卷第4页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 为 19.根据下表，解答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 22 228.0 231.0 234.0 237.1 240.2 243.3 246.4 249.6 252.8 25 5 4 9 6 5 6 4 1 6 保护环境 从我做起 1V243.36= √24964= -√0.023104= ； v②56 平方根是 :与237.16 接近的整数是； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传 栏，已知该长方形宜传栏的长是宽的1.5倍，其面积为351dm2,根据表格中提供的数据， 求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值.（结果均精确到0.ldm) 20.我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个 无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果ax+b=0,其中a、b为 有理数，x为无理数，那么a=0,且b=0,运用上述知识解决下列问题： (1)如果(a+2)V2-b+3=0 其中a、b为有理数，那么a= ,b= 2如果2办-a-(a+6-4小5=5，其中a、b为有理数，求a+2b的算术平方根： (3)若ab都是有理数，且a+2b+(b+5)小7=V7+17 试求a+b的立方根. (a,b) 21.我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记： m=3an=-bb>0),将 (m,n)(n,m) (a,b) 和 称为数对的一对“开方对称数对”. 例：数对（⑧，25）的开方对称数对为(2，-5)和(-5,2) 试卷第5页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 (1)数对(27,20)的开方对称数对为 和 3 /6. (2)若数对(x,6)的一个开方对称数对是 则x= (3)若数对(a,b)的一个开方对称数对是(-4，-5)，求a+b的值. 22.阅读下面的文字，解答问题： 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部 地写型米，于是小明用5-1来表示反小数都分，所铜应小明的末示方法吗： 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分， 差就是小数部分.又例如：因为三万<5 即2< 7<3,所以 的整数部分为2， 小数部分为 -2 请解答： )如果v3 的小数部分为a, V3 的整数部分为b,求a-b-V5 的值： 9 (2)已知：10+ =2x十y,其中x是整数，且0<y<1,求3x-y的值. 23.阅读与探究 本学期我们在第六章《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分 内容. 平方根 立方根 般地，如果一个数的平方等于a,那 般地，如果一个数的立方等于a,那 定 么这个数叫做a的平方根或二次方根. 么这个数叫做a的立方根或三次方根. 义 这就是说，如果x2=a,那么x叫做a 这就是说，如果x3=a,那么x叫做a 的平方根。 的立方根。 运 求一个数a的平方根的运算，叫做开平 求一个数a的立方根的运算，叫做开立 试卷第6页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 算 方.开平方与平方互为逆运算. 方.开立方与立方互为逆运算 特 正数有两个平方根，他们互为相反数： 正数的立方根是正数，0的立方根是 征 0的平方根是0：负数没有平方根. 0:负数的立方根是负数. 表 不 正数”的平方根可以用。±v后 ”表示， 二个数“的立方根可以用“V“”表 方 读作“正负根号a”. 示，读作“三次根号a”. 法 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根. (1)探究定义：填写下表。 16 ±1 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： (2)探究性质：①81的四次方根是 ：0的四次方根是 (填 “有”或“没有”)四次方根。 ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： (3)在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个： (4)拓展应用 0256 (将结果直接填到横线上) 5 8 ②比较大小： (填“>”、“=”或“<”) 24.阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】(1)如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个 直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为 大正方形的边长为」 试卷第7页，共22页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 ☒☑☑☒ 图1 图2 【知识迁移】(2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正 方形.如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三 角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形EFGH的边长为 :大正方形ABCD的面积为 ,边长为 【拓展延伸】(3)小明想用一块面积为l600cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面 积为1300cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4.请通过计算说明是否可行. 试卷第8页，共22页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027沪教版五四制八年级数学上册 · 第19章实数章节检测卷 · 注意事项： · 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． · 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． · 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． · 4．测试范围：沪教版（五四制）新教材八年级数学上册第19章实数． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列实数中满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的大小比较 【分析】本题考查了立方根，不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．一个自然数的算术平方根为，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】根据算术平方根的定义得这个自然数为m，则与这个自然数相邻的后续自然数为m+1，由此即可得到其平方根． 【详解】解：一个自然数的算术平方根是， 这个自然数为m， 与这个自然数相邻的后续自然数， 其平方根为． 故选A． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的计算，准确理解算术平方根和平方根的定义是解题关键． 3．下列四个选项中，负无理数的是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A： 是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此也是无理数．负号表明其为负数，故是负无理数． 选项B： 是整数，属于有理数，不符合无理数的条件． 选项C： 是整数，属于有理数，且非负数． 选项D： 是正整数，属于有理数，且非负数． 综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件， 故选A． 4．将三个数按图中方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（    ） … A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】通过观察发现规律，每三个数为一个循环组依次循环，第排有个数，根据此规律求解即可． 【详解】， 表示的数是1， 表示的数是， 同理， 表示的数是1， ． 故选B． 【点睛】本题考查了实数的计算，数字类型的找规律，找到规律是解题的关键． 5．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 6．若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果． 【详解】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3， ，，，， 四个数，，，，只有被墨迹覆盖． 7．对于实数，，定义的含义：当时，；当时，．例如：．已知，，且和为两个连续整数，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，求得a和b的值是解题的关键．根据的定义确定a和b的范围，结合连续整数的条件求解． 【详解】解：， ． ， 为小于或等于3的整数． ， ． ， 为大于或等于4的整数． 和为连续整数，且，， 唯一满足条件的连续整数为，． ， 故选：A． 8．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【知识点】立方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，无理数的估算，根据题意可得铁块的体积为，则铁块的棱长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：由排水法可知，排出的水的体积即为铁块的体积， ∴铁块的体积为， ∴铁块的棱长为， ∵， ∴， ∴铁块的棱长在3和4之间， 故选：B． 9．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与实数运算相关的规律题、十字相乘法 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 10．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，则_____． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出a和b的值，再计算代数式的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 12．已知的算术平方根是，的立方根是3，c是的整数部分，则的平方根是___． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 故答案为;． 13．已知，则的值是________． 【答案】0或2/2或0 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 14．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 【答案】2 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】先根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，再根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴上的位置即可得出： ，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系是解题关键． 15．若，，且，则___． 【答案】1． 【知识点】平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】根据题意可得，，再根据可得、异号，进而可确定、的值，然后可得的值． 【详解】，， ，， ， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】此题考查平方根和立方根，有理数的加法，解题关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 16．如果x是一个实数，我们把不超过x的最大整数记为，把x的小数部分记为，即．如：，求：______；满足的整数x的值有______个；已知，则______． 【答案】 1 3 / 【知识点】无理数整数部分的有关计算、新定义下的实数运算、不等式的性质、一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据无理数的估算得到，然后根据的定义求解即可求出； 根据得到，然后解不等式组求解即可；首先得到，然后将变形为，然后根据得到，然后由为整数得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴整数x的值有7，8，9，共3个； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵把x的小数部分记为， ∴， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，3，． 【点睛】此题考查了新定义实数问题，无理数的估算，不等式的性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先乘方，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2 (2)面积为2，边长为 (3) 【知识点】立方根的实际应用、实数与数轴 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）设这个魔方的棱长为，则， 解得：， ∴这个魔方的棱长为2． （2）∵魔方的棱长为2， ∴每个小立方体的棱长都是1， ∴每个小正方形面积为1，魔方的一面四个小正方形的面积为4， ， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为． （3）∵点与1重合，正方形的边长为，点在点右侧， ∴点表示的数为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 19．根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 【答案】(1)15.6；158；； (2)；15； (3)这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、算术平方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】（1）根据表中数据结合算术平方根的特点求解即可； （2）求解，，再进一步求解即可； （3）设长方形宣传栏的宽是，则长是，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由表格可知，， ； ， ∴, ； ， ∴， ． （2）解：∵， 的平方根是； ∵， ∴与最接近的整数是； （3）解：设长方形宣传栏的宽是，则长是， ∴， ∴， 结合表中数据可得：， ∴， ∴这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 20．我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么，且，运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么_______， _______； (2)如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根； (3)若a、b都是有理数，且，试求的立方根． 【答案】(1)；； (2)的算术平方根3； (3)的立方根为1或． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、与实数运算相关的规律题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据已知可得，，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，进而可得：，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答； （3）根据已知可得，从而可得，，进而可得，，然后分两种情况进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，其中a、b为有理数， ∴，， ，， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵a、b为有理数， ∴， 解得：， ， 的算术平方根是3； （3）解：， ， ， ， ∵a、b都是有理数， ，， ，， ∴当，时，，的立方根为1； 当，时，，的立方根为； ∴综上所述：的立方根为1或． 【点睛】本题考查了立方根，实数的运算，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21．我们规定用表示一个数对，给出如下定义：记：，，将和称为数对的一对“开方对称数对”． 例：数对的开方对称数对为和 (1)数对的开方对称数对为________和________； (2)若数对的一个开方对称数对是，则________； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、已知一个数的立方根，求这个数、新定义下的实数运算 【分析】（）根据新定义运算解答即可求解； （）根据新定义即可求解； （）根据新定义，分两种情况解答即可求解； 本题考查了新定义运算，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴数对的开方对称数对为和， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）解：若，， 则，， ∴； 若，， 则，， ∴； 的值为或． 22．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2． 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a－b－的值； (2)已知：10＋＝2x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求3x－y的值． 【答案】(1)-10 (2) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】（1）根据材料提供的无理数的小数部分表示方法，求出无理数的整数部分和小数部分，再进行计算即可． （2）先求出的整数部分为2，小数部分为，则可得，，代入求值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是5，即b=5， ∴的小数部分a=-5， ∴ ， 即结果为-10； （2）∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 则， ∵在中，x为整数，0＜y＜1， ∴，， ∴，， ∴， 即值为：． 【点睛】本题主要考查了无理数的计算，利用和分别得出和的整数部分和小数部分是解答本题的关键． 23．阅读与探究 本学期我们在第六章《实数》中，学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么叫做的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 特征 正数有两个平方根，他们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数，0的立方根是0；负数的立方根是负数． 表示方法 正数的平方根可以用“”表示，读作“正负根号”． 一个数的立方根可以用“” 表示，读作“三次根号”． 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：填写下表． 1 16 类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：_________________________． (2)探究性质：①81的四次方根是_________；0的四次方根是_________；_______（填“有”或“没有”）四次方根． ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________________________________________． (3)在探索过程中，你用到了哪些数学思想？请写出两个：______________________________． (4)拓展应用 ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：________（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】(1)；一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说,如果x4=a,那么x叫做a的四次方根 (2)①；0；没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根 (3)类比思想、分类讨论思想（答案不唯一，只要合理即可） (4)①；②＜ 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解、实数的大小比较、归纳与类比 【分析】（1）求出16的四次方根即可，类比平方根和立方根的定义说出四次方根的定义即可； （2）①根据四次方程的定义求出即可；②根据①中的结果得出四次方根的性质即可；③根据立方根、平方根、四次方根的定义和性质的出答案即可； （3）①根据四次方根的性质求出即可；②求出=2，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵x4=16， ∴ 一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. 故答案为：±2，一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根.这就是说，如果x4=a，那么x叫做a的四次方根. （2）①81的四次方根是±±3，0的四次方根是0，-4没有四次方根； ②四次方根的性质是：正数有两个四次方根，他们互为相反数，0的四次方根为0，负数没有四次方根. 故答案为：①±3，0，没有；②正数有两个四次方根，他们互为相反数；0的四次方根为0；负数没有四次方根． （3）类比思想、分类讨论思想（答案不唯一）； （4）① ②=2 故答案为：±4，＜． 【点睛】本题考查了立方根、平方根、四次方根的定义、性质和应用，实数的大小比较，数学知识，实数的运算等知识点，能运用类比思想说出四次方根的定义和性质是解此题的关键． 24．阅读下面的文字，解答问题： 【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________． 【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________，边长为________． 【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】（1）2，； （2）1，13，； （3）不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为； 故答案为：2，； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为； 故答案为：1，13，； （3）略 试卷第2页，共22页 试卷第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $