第二十章二次根式章末检测卷 2026-2027学年沪教版(五四制)八年级数学上册

**基本信息** 沪教版五四制八年级数学上册二次根式单元卷，以文化传承（山西剪纸）与现实问题（高空抛物）为情境，覆盖定义、运算、应用等核心知识，梯度设计适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式定义（题1）、运算（题3）、新定义（题10根整数）|基础概念与创新探究结合，培养抽象能力| |填空题|6/18|比较大小（题11）、规律探究（题13分母有理化）|融入文化素材（题14剪纸面积），发展推理意识| |解答题|8/72|混合运算（题17）、实际应用（题21高空抛物速度）、综合探究（题24面积最值）|跨学科（物理公式）与逻辑推理，体现模型意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 · 第二十章二次根式章末检测卷 · 考试时间：120分钟        满分：120分 · 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分；填空题共6小题，满分18分，每小题3分；解答题共8小题，满分72分，每题9分。 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、，故一定是二次根式，符合题意； 故选D． 2．如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】二次根式的应用、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 【详解】∵正方形③的面积为2， ∴正方形③的边长是， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长， ∴正方形②的边长为， ∴正方形①的边长是， 故选：B． 3．下列运算与的结果相同的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．运用分配律和根式乘法规则计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：C． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根及立方根，熟练掌握算术平方根、平方根及立方根相关性质是解题关键． 根据平方根，算术平方根和立方根的法则分别计算，进而判断得出答案． 【详解】A．，原式计算错误，故此选不项符合题意； B．，无法化简，故此选项不合题意； C．，原式计算错误，故此选不项符合题意； D．，计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5．将一组数按以下方式进行排列： 第一行                     第二行                      第三行                           …… 若的位置记为，的位置记为，则表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了探索数字的规律，观察可知，每一行的元素个数等于行号，每个数对应连续的自然数的算术平方根．根据题意可知，表示第行第个数，前行共有个数，第行第个数对应的是第个数，所以表示的数是． 【详解】解：第一行有个数，这个数是， 第二行有个数，这个数分别是、， 第三行有个数，这个数分别是、、， ， 由题意可知，表示第行第个数， ， 第七行第四个元素对应自然数的第 个数， 表示的数是． 故选：B． 6．的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用平方差公式进行运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故选：C． 7．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、求不等式组的解集 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 8．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、不等式的解集、利用二次根式的性质化简 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴， ∴． 9．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 10．对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①的值为4；②若，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；③对110连续求根整数，第3次后结果为1；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．其中错误的说法有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】根据的定义，逐项进行计算即可． 【详解】解：①∵=2，=2， ∴ =2+2=4，因此①正确； ②若，则满足题意的m的整数值有3个，分别是1、2、3，因此②不正确； ③=10→=3→=l， ∴对110连续求根整数，第3次后结果为1，因此③正确； ④∵=15→=3→=l， 而=16→=4→=2→=1， ∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为l的所有正整数中，最大的是255． 因此④正确；综上所述，错误的结论是：②，共1个，故选：A． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，理解的定义是得出正确答案的关键． 二、填空题 11．比较大小：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．计算=______． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果． 【详解】解：对于第一项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 对于第二项，分子和分母同乘以分母的共轭式： 原表达式为第一项减第二项： ， 故答案为． 13．观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为___________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为， ∴长方形彩纸的面积为， ∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， ∴正方形彩纸的面积为． 故答案为： ． 15．化简_______． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论． 【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0， 则 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 16．观察下列各式：， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为____． 【答案】． 【知识点】复合二次根式的化简、数字类规律探索 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】 ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，计算绝对值，立方根，再计算加减即可； （3）先计算乘方，二次根式，绝对值，再计算加减即可； （4）先根据乘法公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 18．七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通过它们的差来判断，比如对和比较大小，那么，当时，则；当时，则；当时，则． (1)比较和的大小； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的大小比较、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】根据题意利用求差法比较即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ． （2） ， ， ． 19．化简求值：，其中． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式计算乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 20．观察下列一组等式，然后解答后面的问题∶ ， ， ， (1)观察以上规律，请写出第5个等式：_________________________． (2)观察以上规律，请写出第n个等式：_________________________(n为正整数)． (3)利用上面的规律，计算 【答案】(1) (2) (3)9 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中式子即可得到答案； （2）根据题中式子即可得到答案； （3）先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式：； （2）解：由题意可得：第n个等式：； （3）解：原式 ， ， ， ． 21．为进一步研究高空抛物的危害，小晨请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)已知小晨家所住楼层的高度是，若一个物品从小晨家坠落，该物品落地时的速度________；（结果保留根号） (2)小轩说他家所住楼层的高度是小晨家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小晨家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小晨家坠落的物品速度的2倍．小轩的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 小轩的说法不正确，见解析 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）根据小晨家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小轩家高度是小晨家2倍，算出小轩家高度，再代入速度公式，然后与小晨家物品落地速度相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：把，， 代入得：， ∴该楼层落地时的速度为； （2）解：不正确，理由如下： ∵小轩家高度是小晨家2倍， ∴， 将的值代入公式中得：v小轩， ∴， 即小轩家坠落的物品落地时的速度是小晨家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小轩的说法不正确． 22．阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】已知条件式，化简求值、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 23．某科技展览会上，室内展区有一块长方形闲置区域，如图所示，该区域的长，宽，在该区域中间放置一个边长为的正方形展台（阴影部分）．若除去放置展台的地方，其余区域全部铺上红毯，且所铺红毯的售价为每平方米10元，求购买红毯需要花费多少元?（结果保留根号） 【答案】购买红毯大约需要花费元 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出其余区域的面积，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意， （平方米）． ∴其余区域的面积为平方米， ∴（元）． 答：购买红毯需要花费元． 24．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，直接写出的最小值为 ； (2)当时，有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为，的面积为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)； (2)当时，的最大值为； (3)四边形面积最小值为． 【知识点】利用二次根式的性质化简、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）设，由的面积为，的面积为，根据等高三角形可得，，则有，所以四边形面积为，然后根据题例即可求解． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为， 故答案为：； （2）解：当时， ， 当即时，的最大值为； （3）解：设， ∵的面积为，的面积为， ∴根据等高三角形可得，， ∴， ∴， ∴四边形面积为， 同（）得，当时，四边形面积有最小值， ∴， ∴四边形面积最小值为． 试卷第2页，共19页 试卷第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册 第二十章二次根式章末检测卷 考试时间：120分钟 满分：120分 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分；填空题共6小题，满分 18分，每小题3分；解答题共8小题，满分72分，每题9分。 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.下列各式中一定是二次根式的是() A.-2 B.vr c.2-i D.vx+l 2.如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为 W2 2,阴影部分的面积为 则正方形①的边长为() ③ ① ② A.2v B.2+2V2 C.3 D.4+22 3.下列运算与25+6xv2 的结果相同的是（) A.45 B.6V3 c.23+2v6 D 4V5+26 4.下列计算正确的是() A.V16=±4 B.9=3 C.±v9=3 D.V-2y=2 5,将一组数按以下方式进行排列： 第一行 5 第二行 试卷第1页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 2 56 第三行 若2的位置记为21,5的位置记为，2），则？，4刊表示的数是() A.V②4 B 5 c32 D V28 6.而-1的整数部分为a,小数部分为b,(T+6+)的值为() A.ī+2 B.2 C.7 D.5+2m 7.如果xr-6=(x-6 ,那么() A.x≥0 B.x26 C.0≤x≤6 D.x为一切实数 8。若把√中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是(） A. B Vr 9.已知万=a,而=b,则49用“、b表 ”表示为() A始 B.To c. ab D.10 10,对于一个正实数m,我们定：用符号[]表示不大于m的最大整数，称[]为 m的根整数，如：[4]=2.[V]=3 如果我们对加连续求根整数，直到结果为1为止。 例如：对11连续求根整数2次， [可=3→[5]-1，这时候结果为1.现有如下四种说 法：@[5]+[6]的值为4，②若[-，则满足题忘的m的整数值有2个，分别是2 和3；③对110连续求根整数，第3次后结果为1；④只需进行3次连续求根整数运算后结 果为1的所有正整数中，最大的是255.其中错误的说法有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第2页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 二、填空题 1 11.比较大小：2+V5 2-3.(填“>”“<”或“=”) 4 12.计算4-而1-万= 13.观察下列计算： （5+-5-5+= 〔2g5js+-[5-y--jw5-2 t5a+-[-小H5-ra-ja+-3 … 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： 1 1 2+15+V2+4+5++ √2010+√2009 (V2010+1= 14.山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈.剪纸作为一种 镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受.张萌现用一张长方形彩纸和一张正方 4v3 cm 2v6cm 形彩纸各剪了一个图案，若长方形彩纸的长为 “,宽为 ,且长方形彩纸的面 积是正方形彩纸面积的V0 倍，则正方形彩纸的面积为 cm2 试卷第3页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 15.化简V4-V10+25+V4+V10+25= … 请利用你发现的规律，计算： ，11 1 1 三、解答题 17.计算： )i8-V2+5o 2v9-V5-2+8 8)(←°+(5+-2y-π-4： 4(5+1-(3+3)(3-3) 18.七年级数学下册课本中介绍“求差法比较大小”：两个数（或代数式）的大小可以通 过它们的差来判断，比如对a和b比较大小，那么，当a-b>0时，则a>b;当a-b<0时， 试卷第4页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危先乡笔 则a<b:当a-b=0时，则a=b. (1)比较x和2x-2的大小； (2)比 3-6与6-2 大小 19,化简求值.(+66-+(+5x-5),其中x=2026-22西 20.观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (2+1(2-1=1 (5+2)3-2)=1 (4+3)4-5)=1 (5+4)5-4)=1 (1)观察以上规律，请写出第5个等式： (2)观察以上规律，请写出第n个等式： (n为正整数). 1 1 1 3)利用上面的规律，计算2++3+2+√4+5++ V100+√99 21,为进一步研究高空抛物的危害，小晨请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度” (单位：mS)和高度h(单位：m)近似满足公式"V2g (不考虑风速的影响， g≈10m/s2 (1)已知小晨家所住楼层的高度是18m,若一个物品从小晨家坠落，该物品落地时的速度 ；(结果保留根号) (2)小轩说他家所住楼层的高度是小晨家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小晨家 坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小晨家坠落的物品速度的2倍，小轩的说法对 吗？请说明理由. 22.阅读下列材料，然后回答问题. 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我 试卷第5页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2,b=-3,求a2+b我们可以把a+b 和ab看成是一个整体，令x=a+b,y=ab,则a2+b=(a+b-2ab=-2y=4+6=10这 样，我们不用求出，b,就可以得到最后的结果。 3+V23-√2 3+2,5-V2 (1)计算：√3-√23+√2 √5-√2'√5+√2 √m+1-√m Q= b=m+1+m (2)m是正整数， m+1+m √m+1-Vm,且2a2+1829ab+2b2=2025,求m. (6)尼知*满足5+7-i9-了=2，求5++19- 的值. 23.某科技展览会上，室内展区有一块长方形闲置区域ABCD,如图所示，该区域的长 BC=92m,宽4B=亚m,在该区域中间放置一个边长为4-m 正方形展台 (阴影部分)·若除去放置展台的地方，其余区域全部铺上红毯，且所铺红毯的售价为每 平方米10元，求购买红毯需要花费多少元？（结果保留根号） 24.阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当a>0时 2 当a=石即a=1时，a+a的最小值为2 a 请利用以上结果解决下面的问题： 4 (1)当a>0时，直接写出a+a的最小值为： 试卷第6页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 ②)当a<0时，a+a有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，己知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若△AOD的面积为2， △BOC的面积为3，求四边形ABCD面积的最小值. A 试卷第7页，共19页