精品解析：陕西省咸阳市永寿县2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学（北师大版） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 代数式是分式，分式有意义的条件为分母不为0， ∴ ， ∴ 解得． 2. 下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，据此依次对各个运动图标进行分析即可作出判断． 【详解】解：A．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该运动图标是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该运动图标不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，结合已知条件求出的度数，再利用平行四边形对角相等的性质求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、∵， ∴， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变． 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和、外角的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴等腰三角形有、两个． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把代入求出，再根据图象解答即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴． 由图象可知，关于的不等式的解集为． 7. 如图，在中，点D是边的中点，平外，于E，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定条件（如 ）证明三角形全等，进而得出线段关系，再利用中位线定理计算线段长度是解题的关键．通过延长交于点，利用角平分线和垂直条件证明三角形全等，得到线段相等关系，再结合中位线定理求出的长． 【详解】解：延长交于点． 平分， ； 又， ； 且（公共边）， ． ，（全等三角形对应边相等）． ∵，， ． 是中点，是中点， 是的中位线（三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段 ）． 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半， ． 综上，的长为， 故选： ． 8. 如图，在平行四边形中，于点，平分交于点，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长到点使得，通过证明，得到对应边、对应角相等，继而得到，继而得到，继而通过等量代换得到． 【详解】解：如图，延长到点使得， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角与多边形内角和定理、平面镶嵌，先求出第三块正多边形木板的内角，再根据多边形内角和列方程解方程即可． 【详解】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为， ∴第三块正多边形木板的内角为， 设第三块正多边形木板的边数为, 解得， 即第三块木板的边数应是， 故答案为： 11. 不等式的最小整数解是________． 【答案】 【解析】 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集内找出最小整数即可． 【详解】解： ， 因此不等式解集中的最小整数解是． 12. 王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到．当点A，C，D在同一条直线上时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得的长，再由旋转的性质可得：，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴． 14. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长到点H，使，连接，可求，进一步证是等边三角形，，为定角，由中位线定理，；当时，最小，此时，，勾股定理求得，中，． 【详解】如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，此时，， ，解得， 中， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查中位线的性质，垂线段最短，三角形内角和定理，等腰三角形性质，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造中位线，寻求线段间的数量关系是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式： ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． 因此，原不等式组的解集为 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 等号两边同时乘以，可得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，在上方求作一个以为底边的等腰，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图， 由垂直平分线的性质得到， ∴是以为底边的等腰三角形， ∵ ∴点D到的距离等于点A到的距离 ∴． 【解析】 【分析】利用尺规作出和的垂直平分线交于点D即可． 【详解】略 19. 先化简，再从，2，0中选一个适当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过一次平移后得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． （1）请在图中画出； （2）的距离为________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据点B和点的坐标可得平移方式，根据平移方式可得点，的坐标，据此作图即可； （2）利用两点间的距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵将经过一次平移后得到，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，，即，； 画图见答案； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 21. 为落实劳动教育，学校规划打造校园劳动实践菜园．如图是劳动实践菜园的平面示意图，四边形是平行四边形，已知步道，现打算沿再修一条步道，两条步道的交点处设置一个凉亭（凉亭大小忽略不计），经测得，，求步道的长． 【答案】步道的长为 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到，根据特殊角的直角三角形的性质以及勾股定理得到，进而根据勾股定理得到，． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 答：步道BD的长为． 22. 如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2）证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； 【小问2详解】 略． 23. 随着科技的飞速发展，人工智能（）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． （1）每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）最多购买A型机器人15台． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，根据每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台A型机器人每天搬运货物吨数，再将其代入中，即可求出每台B型机器人每天搬运货物吨数； （2）设购买m台A型机器人，则购买台B型机器人，根据每天搬运的货物不低于2345吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； 【小问2详解】 解：设购买m台A型机器人，则购买台B型机器人， 根据题意得：， 解得：， ∵m是正整数， 的最大值为15． 答：最多购买A种型号的机器人15台． 24. 如图，在四边形中，，E为边上一点，连接，，交于点O，且，过点E作，，垂足分别为F，G，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ． ，， ， ． 四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由推出内错角，结合已知、对顶角，用证明，得到一组对边，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形为平行四边形． （2）由平行四边形性质得，结合算出，利用证明得到平分；再根据三角形内角和求出、，在中求出与，由得，最后将与相加得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是平行四边形， ． ，， ． ． ，， ． ． ， ，． ，． ． ． ． 25. 为助力乡村农业发展，某公司计划集体采购乡村特色农副产品，其中杂粮礼包的价格为40元/包，果蔬礼包的价格为30元/包．农户为感谢该公司，特给出以下两种优惠方案： 方案一：杂粮礼包每包打九折，果蔬礼包每包打六折； 方案二：杂粮礼包和果蔬礼包均打八折． 若该公司计划购买这两种礼包共100包，且两种礼包都要购买．设购买杂粮礼包x包，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． （1）求，与x之间的函数表达式； （2）请你分析该公司如何选择购买方案使得所付的费用较少． 【答案】（1）， （2）当时，方案一所付的费用较少；当时，两种方案所付的费用一样；当时，方案二所付的费用较少 【解析】 【分析】（1）根据两种方案分别列函数表达式即可； （2）分三种情况作答即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：当时，，解得． 当时，，解得． 当时，，解得． 综上所述，当时，方案一所付的费用较少；当时，两种方案所付的费用一样；当时，方案二所付的费用较少． 26. 【问题提出】 如图①，在中，和的平分线与交于点E，且点在边上． （1）与之间存在的数量关系为________； （2）若是的中点，连接，交于点，，求的长； 【问题解决】 （3）如图②，平行四边形为生态研究所的湿地研究基地，湿地边界与形成的夹角，点是边界上的观测点，且，将线段绕观测点逆时针旋转得到线段，连接，沿铺设监测线路，现计划在边上设置一个观测点，监测线路与交于点，点即为集成传感器的位置，沿铺设电线．根据规划要求，为的中点，且．为了解规划的可实施性，请根据以上信息，探究边界，与电线之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行，结合角平分线证等腰三角形，得、，再结合平行四边形对边相等得，即可得； （2）取中点，利用中位线定理证且，由平行四边形得，结合得，再证，得，由是中点得，进而得出； （3）延长到使，证四边形是平行四边形，再证得，结合，得出． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接，则， 是的中点， 是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，在延长线上截取，连接，， ， 为的中点， ． 四边形是平行四边形． ． ，是由旋转得到的， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即边界，与电线之间的数量关系为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（北师大版） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列体育运动图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点在边上，连接，若点在边的垂直平分线上，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k，b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D是边的中点，平外，于E，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，在平行四边形中，于点，平分交于点，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：________． 10. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________． 11. 不等式的最小整数解是________． 12. 王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油_____升．（写出化简后的结果） 13. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到．当点A，C，D在同一条直线上时，的长为________． 14. 如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 16. 解不等式组： 17. 解方程：． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，在上方求作一个以为底边的等腰，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 先化简，再从，2，0中选一个适当的数作为x的值代入求值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过一次平移后得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． （1）请在图中画出； （2）的距离为________． 21. 为落实劳动教育，学校规划打造校园劳动实践菜园．如图是劳动实践菜园的平面示意图，四边形是平行四边形，已知步道，现打算沿再修一条步道，两条步道的交点处设置一个凉亭（凉亭大小忽略不计），经测得，，求步道的长． 22. 如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 23. 随着科技的飞速发展，人工智能（）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． （1）每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 24. 如图，在四边形中，，E为边上一点，连接，，交于点O，且，过点E作，，垂足分别为F，G，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 25. 为助力乡村农业发展，某公司计划集体采购乡村特色农副产品，其中杂粮礼包的价格为40元/包，果蔬礼包的价格为30元/包．农户为感谢该公司，特给出以下两种优惠方案： 方案一：杂粮礼包每包打九折，果蔬礼包每包打六折； 方案二：杂粮礼包和果蔬礼包均打八折． 若该公司计划购买这两种礼包共100包，且两种礼包都要购买．设购买杂粮礼包x包，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元． （1）求，与x之间的函数表达式； （2）请你分析该公司如何选择购买方案使得所付的费用较少． 26. 【问题提出】 如图①，在中，和的平分线与交于点E，且点在边上． （1）与之间存在的数量关系为________； （2）若是的中点，连接，交于点，，求的长； 【问题解决】 （3）如图②，平行四边形为生态研究所的湿地研究基地，湿地边界与形成的夹角，点是边界上的观测点，且，将线段绕观测点逆时针旋转得到线段，连接，沿铺设监测线路，现计划在边上设置一个观测点，监测线路与交于点，点即为集成传感器的位置，沿铺设电线．根据规划要求，为的中点，且．为了解规划的可实施性，请根据以上信息，探究边界，与电线之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $