精品解析：陕西省咸阳市永寿县蒿店中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

绝密★启用前 2023—2024学年度第二学期期末学业水平评估 八年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的约分，把分子分母相同的部分约去即可． 【详解】解：， 故选：A 2. 提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、该标识图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该标识图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该标识图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该标识图是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，，，分别是边，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行线于三角形的第三边． 根据是的中位线，得到，即可得到． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列式子从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，这是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 5. 如图是一个不等式的解集，这个不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解每个选项中的不等式，再与数轴上表示的解集（）进行对比，找出符合的选项．本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：由图可得， 解得，故选项A不符合题意； 解得，故选项B符合题意； 解得，故选项C不符合题意； 解得，故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且．若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质得到边和角的关系，再通过全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等．本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 7. 已知，则的值为（ ） A. 36 B. 18 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，已知式子的值求代数式的值， 先对进行因式分解，再把代入求解即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B 8. 如图，在中，，，对角线与相交于点，，则的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 先在中运用勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，再直接由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，根据不等式的性质：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 直接利用不等式的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 10. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 11. 如图，一次函数和的图象交于点，观察图象可知，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握两个函数图象之间的关键． 根据点A在一次函数上可求解点a的值，然后利用函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象的下方所对应的x的取值范围即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴， 由图象可知，当时， 即一次函数的图象在一次函数的图象的下方时，， ∴当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 12. 已知关于的分式方程有增根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义（使分母为的根），将增根代入整式方程求解的值．本题主要考查分式方程的增根问题，熟练掌握增根的定义以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘，得 因为分式方程有增根， 所以，即． 把代入得 解得． 故答案为：． 13. 如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线、垂直的性质以及平行线的性质，得出线段相等关系，进而将的周长转化为的长度．本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，平分， ∴，， ∵， ∴（） ∴，． 的周长为 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】先寻找多项式各项的公因式，提取公因式后再看剩余部分是否还能继续分解，本题提取公因式后剩余部分可用平方差公式继续分解．本题主要考查了因式分解，具体涉及提取公因式法和平方差公式的应用，熟练掌握提取公因式法以及平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求解不等式组中的两个不等式，然后取它们解集的公共部分作为不等式组的解集．本题主要考查了一元一次不等式组的求解，熟练掌握一元一次不等式的解法（移项、合并同类项、系数化为）以及如何确定不等式组解集的公共部分是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将除法化为乘法，再进行加减计算． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，已知的对角线与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，．若，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到对边平行且对角线互相平分，进而证明三角形全等，得出线段相等，从而求出的长．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，． ∴ ． 在和中， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______； （2）画出将绕点顺时针旋转，得到的； （3）画出关于原点中心对称的． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得答案． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）根据中心对称的性质作图即可． 本题考查作图—旋转变换、作图—平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 19. 如图，已知线段，利用尺规求作一个底和高均为的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，等腰三角形定义，线段的垂直平分线的性质等知识点． 先作射线，在射线上截取，作线段的垂直平分线与交于点，以点为圆心，为半径画弧在射线上方与直线交于点，则即为所求． 由作图可得，垂直平分，则，，故即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 20. 如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 【答案】． 【解析】 【分析】先在直角三角形 中，利用含 角的直角三角形的性质求出 的长，再在直角三角形 中求出 的长，最后在直角三角形 中求出 的长．本题主要考查了含 角的直角三角形的性质（在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半），熟练掌握该性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 在 中，． ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 在 中，， ∴ ． 21. 夏至期间农作物生长旺盛，急需中耕除草．为支持农业现代化建设，提高农业生产效率，某公司计划购进甲、乙两种除草机．已知每台甲种除草机比每台乙种除草机贵30元，用1200元购进甲除草机的数量和用900元购进乙种除草机的数量相同．求甲、乙两种除草机的单价． 【答案】乙种除草机的单价为90元每台，甲种除草机的单价为120元每台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙种除草机的单价的单价为元每台，则甲种除草机的单价为元每台，根据“用1200元购进甲种除草机的数量和用900元购进乙种除草机的数量相同”建立方程求解． 【详解】解：设乙种除草机的单价的单价为元每台，则甲种除草机的单价为元每台， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 那么， 答：乙种除草机的单价的单价为90元每台，甲种除草机的单价为120元每台． 22. 如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形． （2）若BE平分∠ABC，AB＝5，求平行四边形ABCD的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵点E，点F分别是AD，BC的中点， ∴AE=DE=AD，BF=CF=BC， ∴DE=BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）平行四边形ABCD的周长为30． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质可得DE=BF，即可得结论； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可证AB=AE=5，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， 又∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AE=AB=5， ∴AD=2AE=10， ∴平行四边形ABCD的周长=2×（5+10）=30． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 23. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游． （1）分别写出甲、乙旅行社的收费（元）、（元）关于的函数关系式． （2）他们应该选择哪家旅行社更合算？ 【答案】（1），； （2）当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算． 【解析】 【分析】（）根据题意写出（元）、（元）关于的函数关系式即可； （）分、和三种情况计算即可求解； 本题考查了一次函数的实际应用，根据题意，正确得出函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得； 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算． 24. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 【答案】（1）；（2）证明见试题解析． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值； （2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD． 试题解析：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=4cm． 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm，∴AC=BC=CD+BD=（cm）． （2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ADC，∴AC=AE，又∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD． 考点：1．勾股定理；2．直角三角形全等的判定；3．角平分线的性质． 25. 我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； （2）已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）为等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【小问1详解】 解：①； ② 【小问2详解】 解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 26. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． （1）求证：； （2）若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理是解题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分及已知条件得出等腰三角形，再结合等腰三角形性质和角度关系证明； （2）①利用三角形中位线定理及平行四边形性质即可证明；②利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴．，， ∵，， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 ①证明：∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ②解：∵四边形是平行四边形， ∴．， ∵是的中位线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2023—2024学年度第二学期期末学业水平评估 八年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，分别是边，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个不等式的解集，这个不等式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且．若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 7. 已知，则的值为（ ） A. 36 B. 18 C. 9 D. 6 8. 如图，在中，，，对角线与相交于点，，则的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 10 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，根据不等式的性质：______．（填“”“”或“”） 10. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 11. 如图，一次函数和的图象交于点，观察图象可知，当时，的取值范围是______． 12. 已知关于的分式方程有增根，则______． 13. 如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为______． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 因式分解：． 15. 解不等式组： 16. 化简：． 17. 如图，已知的对角线与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，．若，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，坐标分别为，，． （1）在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______； （2）画出将绕点顺时针旋转，得到的； （3）画出关于原点中心对称的． 19. 如图，已知线段，利用尺规求作一个底和高均为的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图是一个直角三角形房梁的示意图，其中，，，，，垂足分别为，，那么的长是多少？ 21. 夏至期间农作物生长旺盛，急需中耕除草．为支持农业现代化建设，提高农业生产效率，某公司计划购进甲、乙两种除草机．已知每台甲种除草机比每台乙种除草机贵30元，用1200元购进甲除草机的数量和用900元购进乙种除草机的数量相同．求甲、乙两种除草机的单价． 22. 如图所示，在▱ABCD中，点E，点F分别是AD，BC的中点，连接BE，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形． （2）若BE平分∠ABC，AB＝5，求平行四边形ABCD的周长． 23. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游． （1）分别写出甲、乙旅行社的收费（元）、（元）关于的函数关系式． （2）他们应该选择哪家旅行社更合算？ 24. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 25. 我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． （1）仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； （2）已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 26. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． （1）求证：； （2）若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $