精品解析：浙江省台州市黄岩区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

2025学年第二学期期末七年级教学质量监测 数 学 温馨提示： 1．全卷满分120分，考试时间100分钟，试卷共4页，三大题，24小题． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下图是元宝AI的标志，以下各图可以由该图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 机器人行业在赋能下，正从工业自动化向具身智能跨越，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其定位精度可达米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 了解我校某班学生对研学活动的满意度，采用全面调查方式 B. 审查某篇文章中的错别字数，采用抽样调查方式 C. 了解一批手机电池的使用寿命，采用全面调查方式 D. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 将关于x的方程去分母后可得（ ） A. B. C. D. 7. 某校举办师生茶话会．若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人没有座位．设参加茶话会的师生共人，共准备了张桌子，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当，时，各因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似的，对于多项式，当取时，用上述方法可以产生一个六位数密码为206614．已知为正整数，则的值为（ ） A. 20 B. 26 C. D. 10. 某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（ ） A. B. C. 40 D. 44 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：__________ 12. 若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为_________．（用含的代数式表示） 13. 将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是______． 14. 为促进乡镇融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路．如图，公路从地沿北偏东方向到地，再从地沿南偏东方向到地．已知公路，则的度数为______． 15. 已知，满足，，则_________． 16. 如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图：，于点，于点．则．请说明理由（补全解答过程）． 解：因为， 所以．（ ） 所以 ．（ ） 因为，， 所以 ， 所以 ， 所以． 20. 某校引入人工智能阅读辅助系统推进书香校园建设，该校想了解学生每周的课外阅读时间，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）求扇形统计图中“”组对应的圆心角度数． （3）请估计该校2000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． 21. 如图，点C在的一边上，过点C的直线平分． （1）若，求的度数； （2）求证：平分． 22. 某工厂计划采购若干机器人和智能车搬运货物，已知购进3台机器人和2台智能车需48万元，购进2台机器人和3台智能车需42万元． （1）求机器人和智能车的采购单价． （2）满载情况下，每台机器人比每台智能车单次多载，运送货物所需的机器人数量恰好与运送货物所需的智能车数量相同，求机器人和智能车的单次最高载货量． 23. 对于二元一次方程的解，若，则称为方程的“特征值”；若，则称为方程的“特征值”． （1）当时，求此时方程的“特征值”． （2）若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解． （3）若满足“特征值”为的两个解为和，且，求的值． 24. 请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． （3）如果，，请用含有和的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末七年级教学质量监测 数 学 温馨提示： 1．全卷满分120分，考试时间100分钟，试卷共4页，三大题，24小题． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下图是元宝AI的标志，以下各图可以由该图平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质可知，平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状即可解答． 【详解】解：可以由元宝AI的标志平移得到的是 ． 2. 机器人行业在赋能下，正从工业自动化向具身智能跨越，其中某款机器人在微音乐剧节目中展示了高精度、高流畅的协同动作，其定位精度可达米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中满足，为整数，对于小于1的正小数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：左起第一个非零数字为，前面共有个零，且原数是小于1的正数， ． 3. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ） A. 了解我校某班学生对研学活动的满意度，采用全面调查方式 B. 审查某篇文章中的错别字数，采用抽样调查方式 C. 了解一批手机电池的使用寿命，采用全面调查方式 D. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的选择，一般来说，调查范围小，精确度要求高，事关重大的调查适合用全面调查；具有破坏性，范围较大的调查适合用抽样调查，据此逐一判断选项即可． 【详解】解： 、调查范围为一个班学生，人数少，适合采用全面调查方式，本选项合适； 、审查文章错别字数要求精确度高，必须采用全面调查方式，本选项不合适； 、测试手机电池使用寿命具有破坏性，适合采用抽样调查方式，本选项不合适； 、旅客上飞机安检事关安全，要求高，必须采用全面调查方式，本选项不合适． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B：，∴B错误； 选项C：，计算正确，∴C正确； 选项D：，∴D错误． 5. 如图，下列能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，逐一分析选项即可 【详解】解：选项A：，不符合平行线判定的条件，无法推出，不符合题意； 选项B：，内错角的相等，，符合题意； 选项C：，根据同位角相等，两直线平行，证得，不符合题意； 选项D：，利用对顶角相等可得同旁内角互补，证得，不符合题意． 6. 将关于x的方程去分母后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，注意不要漏乘 ． 将分式方程两边乘以最简公分母，消去分母转化为整式方程．注意处理分母的符号及常数项的运算． 【详解】原方程为， 方程变为， 两边同乘最简公分母，得：， 得到， 故选：D． 7. 某校举办师生茶话会．若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人没有座位．设参加茶话会的师生共人，共准备了张桌子，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意分析第一种情况： ∵每桌坐12人时，空出一张桌子， ∴实际使用的桌子数为张，总人数等于每桌人数乘实际使用桌子数，可得． 第二种情况： ∵每桌坐10人时，还有10人没有座位， ∴已经就坐的人数为，总人数减去未就坐的10人等于已经就坐的人数，可得． 因此可列方程组． 8. 如图，将长方形纸片沿着折叠后得到图1，，将图1的图形再次沿着折叠得到图2，若折叠后，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 9. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当，时，各因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似的，对于多项式，当取时，用上述方法可以产生一个六位数密码为206614．已知为正整数，则的值为（ ） A. 20 B. 26 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对多项式因式分解，再结合已知密码和的值得到另外两个因式的值，通过方程组计算即可求出，然后再检验即可． 【详解】解：先对多项式因式分解： ， ∵ ，得到的六位数密码为， ∴ 对应密码前两位，剩余两个因式的值为和． ∴ 得方程组或， 两式相减得或， ∴或， 检验：当时，，解得，符合为正整数的条件； 当时，，解得，符合为正整数的条件. 综上，． 10. 某工厂生产一批产品，第批次的成本为万元，其中是原材料单价（万元/吨），从第2批次到第批次的累计成本为万元，则的值为（ ） A. B. C. 40 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】先展开第k批次成本的多项式，再根据累计成本的系数特征确定批次个数，求出p和m的值，最终计算． 【详解】解：， ∵展开后每个批次成本的一次项系数均为，题目给出累计成本的一次项系数为， ∴从第2批次开始共有个批次相加． ∵展开后每个批次的二次项系数都是， ∴累计二次项系数， ， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，利用多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据长方形面积公式，另一边长为： ． 13. 将容量为100的样本分成3个组，第一组的频数是30，第二组的频率是0.4，那么第三组的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】第一组的频数除以样本容量可得第一组的频率，再利用频率之和为求出第三组的频率． 【详解】解：第一组的频率为：， 第三组的频率为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率的计算方法是解题的关键． 14. 为促进乡镇融合发展，某乡镇要修建一条乡村公路．如图，公路从地沿北偏东方向到地，再从地沿南偏东方向到地．已知公路，则的度数为______． 【答案】85° 【解析】 【分析】根据方向角的定义得出，，，根据平行线的性质得出，即可求出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示，由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 已知，满足，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 【答案】36 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 延长交的延长线于点， ∵点为的中点， ∴， 则， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴小正方形的面积为． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解分式方程，熟练掌握解二元一次方程组和解分式方程的步骤是解题的关键．注意解分式方程一定要进行检验． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）按照解分式方程的步骤，先去分母，将分式方程化为整式方程，然后按照解整式方程的步骤求解，最后再进行检验即可得解． 【小问1详解】 解： 把①代入②中，得， 解得， 把代入①中，得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：由 得 两边同乘以得， 即 解得． 经检验：是原方程的解． 19. 如图：，于点，于点．则．请说明理由（补全解答过程）． 解：因为， 所以．（ ） 所以 ．（ ） 因为，， 所以 ， 所以 ， 所以． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；； 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定解题． 【详解】略 20. 某校引入人工智能阅读辅助系统推进书香校园建设，该校想了解学生每周的课外阅读时间，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）求扇形统计图中“”组对应的圆心角度数． （3）请估计该校2000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数． 【答案】（1） （2） （3）580人 【解析】 【分析】（1）根据“总数某部分的数量该部分的占比”，“某部分的数量总人数该部分在样本中的占比”求解； （2）根据“某部分圆心角的度数该部分在样本中的占比”求解； （3）根据“某部分的数量总人数该部分在样本中的占比”求解． 【小问1详解】 解：总人数=（人），（人）， 【小问2详解】 解：，， 答：扇形统计图中“”组对应的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校2000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数为580人． 21. 如图，点C在的一边上，过点C的直线平分． （1）若，求的度数； （2）求证：平分． 【答案】（1）115°；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）依据平行线的性质，即可得到∠BCM的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCM的度数，进而得出∠BCD 的度数； （2）依据CD平分∠ACM，CE⊥CD，利用等角的余角相等即可得到CE平分∠OCA； 【详解】解：（1）∵AB∥ON， ∴∠O=∠MCB， ∵∠O=50°， ∴∠MCB=50°， ∵∠ACM+∠MCB=180°， ∴∠ACM=180°-50°=130°， 又∵CD平分∠ACM， ∴∠DCM=65°， ∴∠BCD=∠DCM+∠MCB=65°+50°=115°； （2）证明：∵CE⊥CD， ∴∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠DCA=90°， 又∵∠MCO=180°， ∴∠ECO+∠DCM=90°， ∵∠DCA=∠DCM， ∴∠ACE=∠ECO， 即CE平分∠OCA． 【点睛】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 22. 某工厂计划采购若干机器人和智能车搬运货物，已知购进3台机器人和2台智能车需48万元，购进2台机器人和3台智能车需42万元． （1）求机器人和智能车的采购单价． （2）满载情况下，每台机器人比每台智能车单次多载，运送货物所需的机器人数量恰好与运送货物所需的智能车数量相同，求机器人和智能车的单次最高载货量． 【答案】（1）12万元；6万元； （2）机器人单次最高载货量为，智能车单次最高载货量为 【解析】 【分析】（1）设机器人每台万元，智能车每台万元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设智能车单次最高载货量为，则机器人单次最高载货量为，根据题意列出分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设机器人每台万元，智能车每台万元， 由题意得， 解得． 答：机器人每台12万元，智能车每台6万元． 【小问2详解】 解：设智能车单次最高载货量为，则机器人单次最高载货量为， 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：机器人单次最高载货量为，智能车单次最高载货量为． 23. 对于二元一次方程的解，若，则称为方程的“特征值”；若，则称为方程的“特征值”． （1）当时，求此时方程的“特征值”． （2）若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解． （3）若满足“特征值”为的两个解为和，且，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）因为已知，所以先代入二元一次方程求出对应的值，再计算的大小，根据特征值的定义判断特征值是还是； （2）首先分两种情况讨论：如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立；如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立，保留符合条件的解； （3）分两种情况讨论：如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合列方程求解，再验证此时是否满足；如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合与列方程求解，验证条件后保留符合的结果． 【小问1详解】 解：当时，，此时，∴特征值为1． 【小问2详解】 解：当时，，此时，不合题意，舍去． 当时，，此时，所以解为. 【小问3详解】 解：①若两个解都满足，则， 代入方程得， ， ， ， ， 检验：当时， ，与前提矛盾，舍去 ②若两个解都满足，则， ， ， ， 检验：当时，， ，符合题意 ③若一个解满足，另一个解满足， 则一个解的“特征值”为，即，此时， 另一个解的“特征值”为，即， ， ， ， ， 检验：当时，第一个解， ，符合；第二个解， ，符合题意， 综上所述，的值为或． 24. 请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． （1）①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． （3）如果，，请用含有和的式子表示． 【答案】（1）①和谐分式；②； （2）或或； （3） 【解析】 【分析】（1）将进行化简，再结合“和谐分式”的定义判断即可；②对进行化简即可； （2）设，仿照题意计算得出，，从而可得，再结合分式的值为整数，得出为整数，且，，令，则，从而可得为整数，解得或或，分情况计算即可得出结果； （3）求出，，从而可得，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①，其中为整式，分子为常数，符合和谐分式的定义，故分式是和谐分式； ②； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴，， 解得，， ∴， ∵分式的值为整数， ∴为整数，且，， 令，则， ∴为整数， 解得或或， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，满足条件的整数的值为或或； 【小问3详解】 解：， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $