精品解析：浙江台州市天台县2025-2026学年第二学期七年级期末质量评估数学试题卷

天台县2025学年第二学期七年级期末质量评估数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！ 请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义时分母不为，只需列式子求解即可． 【详解】解：∵分式有意义，分母不能等于， ∴， ∴． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A错误； B、根据幂的乘方法则可得，故B错误； C、根据同底数幂除法法则可得，故C错误； D、根据同底数幂乘法法则可得，计算正确，故D正确． 3. 要对大批量生产的商品进行检验，下列做法比较合适的是（ ） A. 把所有商品逐一进行检验 B. 从中抽取1件进行检验 C. 从中挑选几件进行检验 D. 从中随机抽取一定数量的商品进行检验 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性．抽样调查是实际中经常用采用的调查方式，如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体情况．否则，抽样调查的结果会偏离总体的情况． 采取抽样调查时，应能够保证被抽中的调查样本在总体中的合理、均匀分布，调查出现倾向性偏差的可能性是极小的，样本对总体的代表性很强． 【详解】解：A．把所有商品逐件进行检验，调查对象过多，故A不合适； B．从中抽取1件进行检验，数量太少，不具有代表性，故B不合适； C．从中挑选几件进行检验，数量太少，不具有代表性，故C不合适； D．从中按抽样规则抽取一定数量的商品进行检验，具有代表性，故本选项正确． 故选D． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质和分式乘方运算，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，故选项变形错误； B、分式有意义，则，即，可得，故选项变形正确； C、，故选项变形错误； D、是最简分式，，故选项变形错误． 6. 当光线从空气斜射进入透明介质时，传播路径会发生偏折，这一现象称为“光的折射”．如图所示，将一块平行玻璃砖的上下两个表面抽象为两条平行直线（即），一束光线从空气斜射至玻璃上表面，入射点为，过作法线，折射光线为为入射光线的延长线．已知，则折射光线与下表面所成锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直线上，点左右两边各取一点，由可得，根据已知条件可求，再利用对顶角相等的性质得，通过角度和计算出，接着依据平行线的性质，即可求出角的度数． 【详解】解：如图， ， ． ， ． ． ， ． ， ． 7. “圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等量关系“通常圭长比表长多5尺”和“测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺”列出两个方程即可解答． 【详解】解：设表长为尺，圭长为尺， ∵通常圭长比表长多5尺， ∴； ∵某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺． ∴． 综上，． 8. 如图，将一条两边互相平行的纸带按如图所示折叠，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知折叠前后的对应角相等，根据平行线的性质，得到，结合平角的定义即可得出与的数量关系． 【详解】解：如图 由平行可知，， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴． 9. 汽油的价格是不断变化的（如图），但由国家统一调控，在今年的月日与日油价均有下调（如图）．小丁与小李在月日与日都给各自的汽车加油．已知小丁每次加升的油，小李每次加元的油，则（ ） A. 小丁的加油方式更划算 B. 小李的加油方式更划算 C. 两人的加油方式一样划算 D. 因为油价下降幅度未知，所以无法比较 【答案】B 【解析】 【分析】先设两次油价分别为，分别根据两人固定加油升数、固定加油金额的方式，求出小丁、小李各自的平均油价代数式，再用作差法将两个平均油价相减，通分化简得到完全平方形式，结合已知条件判断差值大于，得出小丁平均油价更高，小李加油方式更划算． 【详解】解：设月日油价为元/升，月日油价为元/升，由于油价连续下调，因此， 小丁每次加升，两次总花费为，总油量为升，因此平均油价：​ 小李每次加元，两次总花费为元，总油量为，因此平均油价： 由于， 因此，且分母， 可得 ，即， 即小李的加油方式更划算． 10. 如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（ ） A. 长方形的面积 B. 长方形的周长 C. 的值 D. 重叠部分周长 【答案】D 【解析】 【详解】解：设重叠部分的长和宽分别为、， 由题意得，， 又长方形与重叠部分面积之差为， ， 整理得， ， ， ，即重叠部分周长为，为定值，即D选项符合题意， 长方形的面积为， 、非定值， 非定值， 长方形的面积非定值，即A选项不符合题意； 长方形的周长为， 长方形的周长非定值，即B选项不符合题意； 由于，故、有多种取值的可能，如：，，；，，；故的值非定值，即C选项不符合题意． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 如图，，若分别平分与交于点，则__________． 【答案】##度 【解析】 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵分别平分与交于点， ∴，， ∴． 13. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式同分母的减法运算，分母不变，分子直接相减，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：1． 14. 如图，将沿方向平移得到交于点．若的面积为的面积为，则四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移前后图形面积相等得出面积，再用面积减去面积求出四边形的面积． 【详解】解：∵平移不改变图形的面积， ∴， ∵， ∴． 15. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图，杨辉三角给出展开式的系数规律（按的降幂排列），则将展开后的式子中，含项的系数为__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】由得出将展开后的式子中，含项是展开后的第二项，再结合展开式的系数规律，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴将展开后的式子中，含项是展开后的第二项， ∵展开后的第二项系数是，展开后的第二项系数是，展开后的第二项系数是，展开后的第二项系数是，…， ∴将展开后的式子中，含项的系数为． 16. 《九章算术》中有段话用现代语言表述如下：用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余钱；用卖头羊、头猪的钱来买头牛，还差钱．根据这段话可推得，用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余__________钱． 【答案】 【解析】 【分析】设每头牛的价钱是钱，每头羊的价钱是钱，每头猪的价钱是钱．得出，，设，得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：设每头牛的价钱是钱，每头羊的价钱是钱，每头猪的价钱是钱． 依题意， 由①得， 由②得， 设 ∴ 解得：， ∴（钱） 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的乘方运算法则、零指数幂和负整数指数幂的运算性质，分别计算出原式中每一项的结果，再将各项结果进行加减运算即可得到最终答案． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可解答． 【详解】解：解方程组：． 由①，得， 由③＋②，得， 解得， 把代入①得，， 方程组的解是． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式， ， 当时，原式． 20. 以下是小明同学解方程的过程． 解：方程两边同时乘以，得 ① 解得② 检验：当时，③ 所以是原方程的解④ （1）小明的解法从第__________步开始出现错误． （2）写出正确的解方程过程． 【答案】（1）① （2） 正确的解方程过程： 方程两边同乘，得， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解 【解析】 【分析】（1）先观察小明的解题步骤，发现他在方程两边同乘最简公分母时，漏乘了常数项，所以错误从第①步开始； （2）先把分母统一变形，再在方程两边同乘最简公分母消去分母，接着按整式方程的解法步骤求解，最后代入原分母检验，确认分母不为后，得到方程的解． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以，得 小明同学在解方程的过程中，方程两边同时乘以时，右边的常数项漏乘， 因此从第①步开始出错； 【小问2详解】 略 21. 为认真贯彻落实“健康第一”教育理念，提高学生的体质健康和运动技能水平，上级部门对各校运动技能进行抽测．以下是某学校七年级学生1分钟跳绳抽测结果，将成绩分为以下五组：A：125≤，B：，C：，D：，E：，整理并绘制成绩分布直方图和扇形图如下： （1）本次共抽取了__________名学生进行抽测，并补全频数分布直方图； （2）若全年级共有500名学生，请估计跳绳个数在170以上的人数； （3）国家体育健康体质测试标准中规定，跳绳个数在185及以上的，该项测试即得满分10分．请你结合以上统计图，对该学校学生提出一个合理的锻炼建议． 【答案】（1），补全频数分布直方图如图所示： （2）名 （3）加强日常跳绳练习，尤其是基础较弱的同学，可以分组训练，逐步提升耐力和速度 【解析】 【分析】（1）利用B组人数除以所占比例即可得出总人数，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以跳绳个数在170以上的人数所占的比例即可得出结果； （3）根据统计结果提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：（名）， 即本次共抽取了名学生进行抽测， C组的人数为（名）； 【小问2详解】 解：（名）， 故估计跳绳个数在170以上的人数为名； 【小问3详解】 解：从统计结果看，满分的学生仅占，建议为：加强日常跳绳练习，尤其是基础较弱的同学，可以分组训练，逐步提升耐力和速度． 22. 一个宽为，长为的长方形，宽与长之比为．现将宽与长分别增加得到新的长方形，其宽与长之比变为． （1）当时，比较与的大小； （2）请判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由如下： ， ， ， ； 【解析】 【分析】（1）把分别代入与，即可求解； （2）求出与的差，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 23. 【综合实践活动】已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，试探究这两个角之间的数量关系． （1）任务一：如图，．请判断与的数量关系，并说明理由； （2）任务二：如图，，．请判断与的数量关系，并说明理由； （3）任务三：的边平行于的一边，其余两边所在直线相交所成的锐角等于．若，则__________． 【答案】（1）解：， 理由如下：， ， ， （2）解：． 理由如下：， ， ， ， （3）或 【解析】 【分析】（）利用平行线性质证两角等于同一个中间角，得出两角相等； （）借平行线得到角相等与同旁内角互补，推导出两角和为； （）分两种图形情况，先结合已知角度通过角的和差算出的两个不同度数，再利用平行线同位角相等得到与相等，最终求出为或． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，得图，图，，， 图：∵，， ∴， ∵， ∴，即； 图：∵，， ∴， ∵， ∴，即． 24. 【阅读理解】利用待定系数法进行因式分解与解方程． 因式分解：． 设， 则， 由系数对应关系可得：，根据观察可得整数解：或， 所以． 用上述方法可解方程：，即，因此方程的解为或，能说明的因式为和． 【模仿学习】 （1）因式分解：； （2）已知含有因式，请将进行因式分解； 【创新应用】 （3）已知关于的方程有三个整数解，且其中一个解为，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3）或或或15 【解析】 【分析】（1）设，再由系数对应关系计算即可得出结果； （2）设，再由系数对应关系计算即可得出结果； （3）设，再由系数对应关系计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设，则， 由系数对应关系可得， ∴或， ∴． 【小问2详解】 解：设，则 由系数对应关系知， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：∵有三个整数解，且其中一个解为， ∴设，则， ∴， ∵， ∴或或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴或或或15． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天台县2025学年第二学期七年级期末质量评估数学试题卷 亲爱的考生： 欢迎参加考试！ 请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效． 3．答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题． 4．本次考试不得使用计算器． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若分式有意义，则的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 要对大批量生产的商品进行检验，下列做法比较合适的是（ ） A. 把所有商品逐一进行检验 B. 从中抽取1件进行检验 C. 从中挑选几件进行检验 D. 从中随机抽取一定数量的商品进行检验 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 当光线从空气斜射进入透明介质时，传播路径会发生偏折，这一现象称为“光的折射”．如图所示，将一块平行玻璃砖的上下两个表面抽象为两条平行直线（即），一束光线从空气斜射至玻璃上表面，入射点为，过作法线，折射光线为为入射光线的延长线．已知，则折射光线与下表面所成锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. “圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一条两边互相平行的纸带按如图所示折叠，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 汽油的价格是不断变化的（如图），但由国家统一调控，在今年的月日与日油价均有下调（如图）．小丁与小李在月日与日都给各自的汽车加油．已知小丁每次加升的油，小李每次加元的油，则（ ） A. 小丁的加油方式更划算 B. 小李的加油方式更划算 C. 两人的加油方式一样划算 D. 因为油价下降幅度未知，所以无法比较 10. 如图，将图1中两个边长分别为，的正方形按如图2所示放置在长方形内（正方形两邻边与长方形两邻边重合）．若，长方形与重叠部分面积之差为，则下列各个量为定值的是（ ） A. 长方形的面积 B. 长方形的周长 C. 的值 D. 重叠部分周长 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 如图，，若分别平分与交于点，则__________． 13. 计算：________． 14. 如图，将沿方向平移得到交于点．若的面积为的面积为，则四边形的面积为__________． 15. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．如图，杨辉三角给出展开式的系数规律（按的降幂排列），则将展开后的式子中，含项的系数为__________． 16. 《九章算术》中有段话用现代语言表述如下：用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余钱；用卖头羊、头猪的钱来买头牛，还差钱．根据这段话可推得，用卖头牛、头羊的钱来买头猪，还余__________钱． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22~23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 以下是小明同学解方程的过程． 解：方程两边同时乘以，得 ① 解得② 检验：当时，③ 所以是原方程的解④ （1）小明的解法从第__________步开始出现错误． （2）写出正确的解方程过程． 21. 为认真贯彻落实“健康第一”教育理念，提高学生的体质健康和运动技能水平，上级部门对各校运动技能进行抽测．以下是某学校七年级学生1分钟跳绳抽测结果，将成绩分为以下五组：A：125≤，B：，C：，D：，E：，整理并绘制成绩分布直方图和扇形图如下： （1）本次共抽取了__________名学生进行抽测，并补全频数分布直方图； （2）若全年级共有500名学生，请估计跳绳个数在170以上的人数； （3）国家体育健康体质测试标准中规定，跳绳个数在185及以上的，该项测试即得满分10分．请你结合以上统计图，对该学校学生提出一个合理的锻炼建议． 22. 一个宽为，长为的长方形，宽与长之比为．现将宽与长分别增加得到新的长方形，其宽与长之比变为． （1）当时，比较与的大小； （2）请判断与的大小，并说明理由． 23. 【综合实践活动】已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，试探究这两个角之间的数量关系． （1）任务一：如图，．请判断与的数量关系，并说明理由； （2）任务二：如图，，．请判断与的数量关系，并说明理由； （3）任务三：的边平行于的一边，其余两边所在直线相交所成的锐角等于．若，则__________． 24. 【阅读理解】利用待定系数法进行因式分解与解方程． 因式分解：． 设， 则， 由系数对应关系可得：，根据观察可得整数解：或， 所以． 用上述方法可解方程：，即，因此方程的解为或，能说明的因式为和． 【模仿学习】 （1）因式分解：； （2）已知含有因式，请将进行因式分解； 【创新应用】 （3）已知关于的方程有三个整数解，且其中一个解为，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $