精品解析：云南曲靖市陆良县2025-2026学年高二下学期期末检测数学试题

高二数学期末检测卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. 的实部为1 B. C. 的虚部为 D. 为纯虚数 【答案】B 【解析】 【详解】的实部为，故A错误；，故B正确，D错误； 的虚部为，故C错误； 2. 样本数据为，，，，，，，，，的第55百分位数为（ ） A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算步骤即可得 【详解】样本共10个已按从小到大排序的数据，即，  ，向上取整为，即第55百分位数是排序后的第6个数据， 为，因此第55百分位数为 3. 若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设该数列的首项为，由题意知，. 因为，所以. 4. 设为圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】指数函数在上为减函数，所以，即， 也即，所以. 对数函数在上单调递减，因为，所以， 即，所以. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，利用平方法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 于是由，或， 所以不等式的解集为. 7. “函数存在零点”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性和零点，可得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意可知：的定义域为，且. 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0或时，趋近于， 若函数有零点，等价于，即， 显然是的真子集， 所以“函数存在零点”是“”的必要不充分条件. 8. 如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理证明翻折后平面，则即为所求点到平面的距离. 【详解】如图， 翻折前，，， 翻折后，，，则为二面角的平面角，即. 因为平面，且，所以平面， 又，所以平面. 因为平面，所以. 因为，， 所以由余弦定理得， 则，所以， 又平面，，所以平面， 故翻折后点到平面的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. B. 与均为奇函数 C. 在内存在极值点 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，可以直接求出，再判断的符号；对于B，根据奇函数的定义判断即可；对于C，对求导，即可判断极值点存在问题；对于D，求函数的对称轴判断即可. 【详解】对于A，，所以，选项A错误； 对于B，与定义域均为，， ,所以，与均为奇函数，选项B正确； 对于C，对求导可得，， 当时，,值域为， 当时，单调递增，， 所以存在，使得，在上，；在上，，所以为极小值点，故选项C正确； 对于D，令，得 ，的图象的对称轴为直线，故选项D错误. 10. 在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 11. 过点的直线l与抛物线交于两点，O为坐标原点，射线、射线与直线分别交于点、点N，则（ ） A. B. 点的横坐标之积与直线的斜率有关 C. 与的面积相等 D. 当直线的斜率为2且时， 【答案】AC 【解析】 【详解】 如图所示，不妨设， 可知直线斜率必定存在，设直线为， 联立方程组可得，消去得， 可知在时，， 则， 直线为，当时，解得，即点， 直线为，当时，解得，即点， 则， 可知， 因为，所以， 所以，所以A正确； 可知，与斜率无关，所以B错误； 可知，， 因为，所以， 所以，选项C正确； 当时，可知， 因为， 所以，即， 化简得，因为，即， 所以，因为，所以，解得，所以D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 13. 除以7的余数为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用二项式定理化简，即可求解. 【详解】 ， 因为都是7的整数倍， 所以除以7的余数为1. 14. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由可得到的关系，从而求出的离心率. 【详解】设，由可得 , 所以，，即，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，几何体为正四棱柱，E为的中点，F为上一点，且平面 ． （1）证明：平面． （2）设正四棱柱、三棱锥的体积分别为，，求的值． 【答案】（1）证明： 因为是正四棱柱，所以侧棱底面， 又底面，因此. 又底面是正方形，故. 因为，且平面， 所以平面 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合图形证明即可； （2）结合题意根据棱柱体积公式求解，转换底面并结合三棱锥体积公式求解，再求两者的比值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设底面正方形边长为，正四棱柱的高为，则正四棱柱体积. 因为平面，平面， 且平面平面， 所以. 又是中点，在中，为中位线， 因此是中点，得. ，的面积，底面， 故到平面的距离为， 故， 所以体积比：. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 的周长为 【解析】 【小问1详解】 由，得，即． 因为，所以，故，解得． 【小问2详解】 由正弦定理及得， 在中，，所以，， 得，又，故，从而． 已知，由正弦定理得，则， , 周长. 17. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． （1）求的标准方程； （2）若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 【答案】（1） （2）设，．由题可知直线与的斜率互为相反数， 当，代入椭圆方程得， 又在第一象限，故． 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 于是直线的方程为，直线的方程为 代入，的坐标并作差，得．① 由，得． 由韦达定理，得，即，② 同理可得．③ 将①②③代入，得， 故直线的斜率为定值 【解析】 【分析】（1）通过焦距确定，通过椭圆定义求得，进而可求解； （2）设，．直线的斜率为，得到直线的斜率为，通过点在直线上作差，及直线方程和椭圆方程联立，进而可求解. 【小问1详解】 由题可知，即， ， 所以，即， 则， 故的标准方程为． 【小问2详解】 略 18. （1）证明：． （2）已知函数． （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即． （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导分析单调性得到函数最小值为，进而证得不等式； （2）（i）求出函数在处的函数值与导数值，利用切线方程点斜式直接写出切线；（ii）构造并求导，分和讨论符号，分析的单调性进而得到的单调性，结合的题意筛选出的取值范围. 【详解】（1）略 （2）解：（i）因为， ，， 所以曲线在点处的切线方程为． （ii）令，则，． 当时，， 所以是减函数，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意． 当时，． 当时，，因为函数在上单调递减，所以， 所以，． 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意． 当时，，存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，所以在上单调递增． 因为，所以当时，，不符合题意． 综上，的取值范围为． 19. 某系统有两个智能体：甲（快速响应型）和乙（精确分析型）．每次任务由当前激活的智能体执行，规则如下：若当前智能体执行成功，则下次任务仍由该智能体执行；若失败，则下次换另一智能体执行．甲、乙每次执行成功的概率分别为0.7，0.6，第一次执行任务的智能体由抽签等可能性地决定．每次执行成功与否相互独立． （1）求第二次执行任务的智能体是乙的概率． （2）求第次执行任务的智能体是甲的概率． （3）定义随机变量Z为前n次任务中，甲成功段的个数，若连续m次成功，则这m次称为一个长度为m的成功段（单次成功视为一个长度为1的成功段），例如，当时，这10次依次为甲成功、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功，第次为一个长度为3的成功段，第次为一个长度为2的成功段，第10次为一个长度为1的成功段，则，求． 附：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则． 【答案】（1）0.45 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）设为第i次执行任务的智能体是甲的概率，可得，利用构造法求出的通项公式； （3）设事件为第k次开始一个甲成功段，设可得，利用求解即可. 【小问1详解】 设事件A为第二次执行任务的智能体是乙， 则． 【小问2详解】 设为第i次执行任务的智能体是甲的概率， 则， 即 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即． 【小问3详解】 一个甲成功段的开始需要满足：本次是甲成功，且上一次不是甲成功（若为第1次，则无条件直接开始）． 设事件为第k次开始一个甲成功段，设则， ． 当时，． 又，所以， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末检测卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. 的实部为1 B. C. 的虚部为 D. 为纯虚数 2. 样本数据为，，，，，，，，，的第55百分位数为（ ） A. 9.5 B. 10 C. 10.5 D. 11 3. 若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 20 4. 设为圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 9 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. “函数存在零点”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 如图，四边形与均为矩形，，，将矩形沿边翻折，使得二面角为60°，则翻折后点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则（ ） A. B. 与均为奇函数 C. 在内存在极值点 D. 的图象关于直线对称 10. 在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 过点的直线l与抛物线交于两点，O为坐标原点，射线、射线与直线分别交于点、点N，则（ ） A. B. 点的横坐标之积与直线的斜率有关 C. 与的面积相等 D. 当直线的斜率为2且时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为__________． 13. 除以7的余数为__________． 14. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，且，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，几何体为正四棱柱，E为的中点，F为上一点，且平面 ． （1）证明：平面． （2）设正四棱柱、三棱锥的体积分别为，，求的值． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，且，求的周长． 17. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点．当时，，． （1）求的标准方程； （2）若在第一象限，，是上的两点，若直线，关于直线对称，证明：直线的斜率为定值． 18. （1）证明：． （2）已知函数． （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若，求的取值范围． 19. 某系统有两个智能体：甲（快速响应型）和乙（精确分析型）．每次任务由当前激活的智能体执行，规则如下：若当前智能体执行成功，则下次任务仍由该智能体执行；若失败，则下次换另一智能体执行．甲、乙每次执行成功的概率分别为0.7，0.6，第一次执行任务的智能体由抽签等可能性地决定．每次执行成功与否相互独立． （1）求第二次执行任务的智能体是乙的概率． （2）求第次执行任务的智能体是甲的概率． （3）定义随机变量Z为前n次任务中，甲成功段的个数，若连续m次成功，则这m次称为一个长度为m的成功段（单次成功视为一个长度为1的成功段），例如，当时，这10次依次为甲成功、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功、甲成功、甲失败、乙失败、甲成功，第次为一个长度为3的成功段，第次为一个长度为2的成功段，第10次为一个长度为1的成功段，则，求． 附：若随机变量服从两点分布，且，，2，…，n，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $