精品解析：云南省曲靖市陆良县2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

陆良县2024—2025学年下学期高二期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据5，7，1，10，12的平均数为（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 7.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数的定义运算求解. 【详解】样本数据5，7，1，10，12的平均数为 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得集合，再确定集合，然后由交集定义计算. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：B. 3. 已知曲线，则C为（ ） A. 一条抛物线和两条互相平行的直线 B. 一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 C. 一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 D. 两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4 【答案】C 【解析】 【分析】方程的两个因式中至少有一个必须为零，通过分析每个方程是否有实数解，结合抛物线方程的标准形式，即可得出选项. 【详解】因为，且， 所以，即， 因此C为一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 4. 已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对球体体积公式求导，结合瞬时变化率的定义求时的瞬时变化率. 【详解】因为，所以，故时，的瞬时变化率为. 故选：B 5. 从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件确定大于1且小于50的整数个数和质数个数，即可解出. 【详解】大于1且小于50的整数共有48个， 其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个， 因此所求概率为. 故选：C. 6. 若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 7. 设随机变量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的性质得，由作差法、对数的性质比较大小，即可得. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A 8. 在中，，角A的平分线与交于点D.已知，，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，根据勾股定理得.在和中，利用余弦定理得等式，结合化简，从而根据三角形面积公式计算得答案； 【详解】 在中，， . 在中，. 在中，， 所以，则. 故的面积 . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. z的共轭复数为 B. C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数除法法则将复数化简，结合复数共轭复数的定义，模的计算，纯虚数的定义，复数的几何意义依次判断选项即可. 【详解】，则，z的共轭复数为， z在复平面内对应的点位于第二象限，为纯虚数，所以选项ACD正确； 故选:ACD 10. 下列判断正确的是（ ） A. B. C. 若两个单位向量，满足，则 D. 存在两个单位向量，，满足 【答案】BC 【解析】 【分析】应用和差角正余弦公式及二倍角正弦公式整理化简判断A、B；应用向量数量积的运算律及夹角公式判断C、D； 【详解】，A错误. ，B正确. 若两个单位向量，满足，则， 则，所以，，C正确. 若两个单位向量，满足，则， 所以，所以不存在两个单位向量，，满足，D错误. 故选：BC 11. 已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（ ） A. B. 的长轴长为4 C. 的最小值为 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算求得，然后由求得判断A，将点B的坐标代入椭圆方程，结合列式求解判断B，根据焦半径的性质判断C，结合椭圆的定义利用三点共线最短求解判断D. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以，解得，A正确． 因为点在上，所以解得则的长轴长为，B正确． 最小值为，C错误． 因为， 当且仅当共线时等号成立，所以的最大值为，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式计算的结果； 【详解】根据题意 这个圆锥的表面积为 故答案为：. 13. 在的展开式中，含项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理，的通项为，把分成和两部分，分别求其项的系数再求和即可. 【详解】根据二项式定理，的通项为. 原式可分成和两部分： 对于，求项（即）： ，因此项的系数是6. 同理，对于，求项（即）： ，因此项的系数是24. 将两部分的项系数相加：. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上恰有5个零点，则a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设函数，作出在区间上的大致图象可得答案. 【详解】设函数，作出在区间上的大致图象， 如图所示.令，得，由图可知，当时， 直线与在区间上的图象恰有5个不同的交点， 即在区间上恰有5个零点. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． （1）求小亦省内、省外景点都选择的概率； （2）设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出随机变量X的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，最后代入期望公式求解即可. 【小问1详解】 记小亦选择Y个省外景点，则， 即小亦省内、省外景点都选择的概率为． 【小问2详解】 X的可能取值为4000，8000，12000， 则， 所以X的分布列如下表所示： X 4000 8000 12000 P 所以． 16. 在数列中，，且 （1）证明：为定值. （2）求数列的前n项和. （3）若，，求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由题设及等差数列的定义可得，即可证； （2）由（1）得，应用裂项相消法求和； （3）根据已知得，结合等比数列的定义写出通项公式. 【小问1详解】 因为，， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，故为定值1； 【小问2详解】 由（1）知，所以， 故； 【小问3详解】 由（2）知， 因为，所以 所以， 而，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． （1）证明：底面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2）点在中点，理由见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得和，再利用线面垂直的判定即可证明； （2）由题知点在中点，先证平面，得到，又，即可证平面，即点在中点；由底面，点为中点，得到即可求得四面体体积； （3）以为原点建立空间直接坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用二面角与平面法向量的关系即可求解. 【小问1详解】 证明：，， ，即， 又，，为正三角形，所以， ，即， 又平面， 所以底面 【小问2详解】 点在中点，理由如下， 底面，底面，， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为中点，，所以， 又平面，所以平面， 故点在中点， ，，， 底面，， 所以四面体的体积为. 【小问3详解】 设中点为，连接，， ，即，， 底面，所以以为原点建立空间直接坐标系， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， ，， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【小问1详解】 因为，， 所以，故的标准方程为· 【小问2详解】 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 【小问3详解】 证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 19. 已知函数. （1）当时，证明：在R上单调递减. （2）若有两个极值点，，且，求m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）经过两次求导即可证明单调性； （2）有两个极值点，，即至少有两个实数根，通过讨论的正负，利用导数判断函数的单调性和极值得到的两根的范围，再利用即可得到，最后利用即可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 令，得. 令，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 在处取得极大值，即最大值， 且， ，，即，故在R上单调递减； 【小问2详解】 ，， 有两个极值点，，至少有两个实数根. 设，则， 当时，，则只有一个实数根，不合题意，舍去； 当时，，则在R上单调递增， 则至多只有一个实数根，不合题意，舍去； 当时，令，解得， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 在处取得极大值，且， 至少有两个实数根，至少有两个实数根， ，解得， ，，，，， 的两根中有一根在内，有一根在内. 若，则，这与矛盾，舍去. ，且， ，， 由，得恒成立， ， 由，得，解得， 由，， 令，，得， 则在上单调递增，，且， ，则， 又，且，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 陆良县2024—2025学年下学期高二期末考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据5，7，1，10，12的平均数为（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 7.5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知曲线，则C为（ ） A. 一条抛物线和两条互相平行的直线 B. 一条抛物线，且该抛物线焦点坐标为 C. 一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为 D. 两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4 4. 已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 5. 从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆相离，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7 设随机变量，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，角A的平分线与交于点D.已知，，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. z的共轭复数为 B. C. 为纯虚数 D. z在复平面内对应的点位于第二象限 10. 下列判断正确的是（ ） A. B. C. 若两个单位向量，满足，则 D. 存在两个单位向量，，满足 11. 已知为坐标原点，椭圆左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（ ） A. B. 的长轴长为4 C. 的最小值为 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的表面积为_____. 13. 在的展开式中，含项的系数是______． 14. 已知函数在区间上恰有5个零点，则a的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． （1）求小亦省内、省外景点都选择的概率； （2）设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 16. 数列中，，且 （1）证明：为定值. （2）求数列的前n项和. （3）若，，求数列的通项公式. 17. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． （1）证明：底面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． （3）求二面角正弦值． 18. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 19. 已知函数. （1）当时，证明：在R上单调递减. （2）若有两个极值点，，且，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$