1.1.1　空间向量及其线性运算分层练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过A组基础训练与B组拔高提升分层设计，构建从空间向量概念辨析到线性运算综合应用的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础训练|空间向量概念、线性运算、共线共面判定|以多选题（如向量共面概念辨析）、简单几何体向量运算题为主，夯实基础| |B组拔高提升|空间向量综合应用、四点共面证明、复杂几何体向量表示|通过空间四边形中点向量关系多选题、三点共线证明题，提升逻辑推理能力|

1.1.1　空间向量及其线性运算 A 组 基础训练 1.(多选题)下列说法不正确的是(　　) A.空间中的任意两个向量共面 B.向量a,b,c共面即它们所在的直线在同一个平面内 C.直线的方向向量是唯一确定的 D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使 a=λb 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果不为向量的是(　　) A.()+ B.()+ C.()- D.()+ 3.设空间四点O,A,B,P满足=m+n(m,n∈R),其中m+n=1,则(　　) A.点P一定在直线AB上 B.点P一定不在直线AB上 C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上 D.的方向一定相同 4.已知点M在平面ABC内,点O在平面ABC外,若=x,则x的值为(　　) A.1 B.0 C.3 D. 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1的中点,F是AE的三等分点,且AF=EF,则=(　　) A. B. C. D. 6.如图,已知四面体ABCD,E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,则=　　　　　.  7.已知A,B,C三点不在同一条直线上,点P与点A,B,C共面,对于空间任意一点O,若点P满足+λ(λ∈R),则λ=　　　　　;若点P满足+t(t∈R),则t=　　　　　.  8.已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值. (1)+x+y; (2)=x+y. 9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1求证:点C1在平面AEF内. B组 拔高提升 1.(多选题)空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边的中点,则下列各式中成立的是(　　) A.=0 B.=0 C.=2 D. 2.(多选题)给出下列说法,其中正确的是(　　) A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有=0 B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面 C.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面 D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面 3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,设=a,=b,=c,那么等于(　　) A.a+c+2b B.c-a+2b C.2a+c-b D.2a+b-c 4.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么点M必在(　　) A.平面BAD1内 B.平面BA1D内 C.平面BA1D1内 D.平面AB1C1内 5.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若=x(x,y,z∈R),则x+y+z=　　　　　.  6.设e1,e2是空间中不共线的向量,已知=2e1+ke2(k∈R),=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k为　　　　　.  7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N在AC上,且AN∶NC=2∶1,E为BM的中点.求证:A1,E,N三点共线. 8.对于空间某一点O,空间四个点A,B,C,D(无三点共线)分别对应着向量a=,b=,c=,d=.求证:A,B,C,D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α,β,γ,δ,使αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0. 1.1.1　空间向量及其线性运算 A 组 基础训练 1.BCD 2.C 3.A 因为m+n=1,所以m=1-n, 所以=(1-n)+n-n+n, 所以=n(),即=n. 因为≠0,所以共线, 又有公共点A,所以点A,P,B共线,即点P一定在直线AB上.故选A. 4.D ∵=x,且点M在平面ABC内,∴x+=1,∴x=. 故选D. 5.D 由题意可知,)=)=. 6. ∵E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,∴, ∴. 7.　1 由题意可知,+λ=1,解得λ=. 因为+t+t=-+t,所以-1+1+t=1,解得t=1. 8. :(1)∵+x+y, ∴=x+y,即=x+y. 又=-=-, ∴x=-,y=-. (2)∵=x+y, ∴=x+y,即=x+y. 又=2-2=2=2-2,∴x=2,y=-2. 9. ∵, ∴. 由向量共面的充要条件可知,共面, 又过同一点A,所以点C1在平面AEF内. B组 拔高提升 1.BCD 易知四边形EFGH为平行四边形,所以,故A不成立. =0,故B成立. =2,故C成立. ,故D成立. 2.AC 显然A中说法正确;因为任意两个向量都是共面的,故B中说法错误;C中说法正确;当=x+y+z,x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面,故D中说法错误.故选AC. 3.B 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,=2=2b-a,=c-a+2b,故选B. 4.C 因为+7+6-4+6-4+6-4+6()-4()=11-6-4,且11-6-4=1,所以M,A1,B,D1四点共面.故选C. 5.6 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,因为, 又=x,所以=x, 所以(1-x)=0. 又不共面, 所以解得所以x+y+z=6. 6.-8 由已知得,=e1-4e2, 因为A,B,D三点共线, 所以=λ(λ∈R),即2e1+ke2=λe1-4λe2, 所以所以k=-8. 7. 连接A1N,AM,A1B,A1M,A1E(图略). 设=a,=b,=c,则(a+b)-c, )=[()+()] =a+b-c=, 所以. 又有公共点A1, 故A1,E,N三点共线. 8. (充分性)∵α+β+γ+δ=0, ∴δ=-(α+β+γ), ∴αa+βb+γc+δd=αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0,即α(a-d)+β(b-d)+γ(c-d)=0. ∵a-d=,b-d=,c-d=, ∴α+β+γ=0. 又α,β,γ是不全为零的实数,不妨设γ≠0,则=-. ∴共面,即A,B,C,D四点共面. (必要性)∵A,B,C,D四点共面,且A,B,C三点不共线,∴不共线, 因而存在实数x,y,使=x+y,即d-a=x(b-a)+y(c-a), ∴(x+y-1)a-xb-yc+d=0. 令α=x+y-1,β=-x,γ=-y,δ=1, 则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0. 学科网（北京）股份有限公司 $