云南德宏州芒市第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高一数学期末卷以真实情境为载体，如跑步里程统计、人工智能测试分析等，融合向量、概率、立体几何等核心知识，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量共线、复数虚部、分层抽样、面面关系|第7题折线图分析体现数据意识，第8题组合体体积考查空间观念| |填空题|3题15分|投影向量、正三棱柱外接球、解三角形|第13题外接球计算融合几何直观与运算能力| |解答题|5题77分|概率应用、解三角形、立体几何证明与计算|第18题统计案例分析结合分层抽样与概率，第19题菱形与外接球综合考查逻辑推理|

芒市第一中学2026年春季学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，若，则 A．-9 B．9 C．-4 D．4 2．已知复数，则的虚部为( ) A． B． C． D． 3．袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 4．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于( ) A．80 B．100 C．192 D．200 5．已知是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．在中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知，则( ) A． B． C． D． 7．小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是( ) A．月跑步里程出现波动性 B．月跑步里程最大值出现在10月 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 8．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．＂沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风＂，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节．已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9,11,14,11,10,7,8（单位：），则( ) A．这组数据的极差为7 B．这组数据的众数等于中位数 C．这组数据的下四分位数为8 D．这组数据的方差为 10．已知事件A,B满足，则下列说法正确的是( ) A．若与互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 11．正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体EABCDF的棱长为5,M为棱FC上一点，且，则( ) A．平面平面FBA B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线AE与BM所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12．若平面向量，则在上的投影向量为．（用表示） 13．正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为。 14．如图，测量河对岸塔楼的高度AB时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，在点测得塔顶的仰角，则塔高AB为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两人组成＂星对＂参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为，在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响。 （1）求乙每轮投中的概率； （2）求＂星对＂在两轮活动中投中3个球的概率． 16．（15分）在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 17．（15分）如图，在正三棱柱中，点是BC的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 18． （17分）随着时代和科技的进步，人工智能在学习生活中越来越重要．为此北京市第十四中学高一年级数学组特命制了一套与人工智能的专题训练卷（满分为100分），并对整个高一年级的学生进行了测试。现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）。 （1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数。中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； （2）若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率． 19．（17分）已知菱形ABCD的边长为，平面ABCD外一点在平面ABCD上的射影是AC与BD的交点是等边三角形． （1）求证：平面PBD； （2）求直线PC与平面ABCD所成角的大小； （3）求点到平面PBC的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $