精品解析：云南玉溪市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025—2026学年下学期期末考试试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，则；命题：，则．下列说法正确的是（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 5. 设，是两个相互独立的随机事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是周期为6的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 把函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于点对称 11. （多选题）如图，在棱长为3的正方体中，是的中点，点在四边形的内部和边上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时，平面 B. 当点与点重合时，直线与所成角为 C. 若二面角的平面角，则点的轨迹长度为3 D. 若点满足，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 13. 当前全球粮食供需形势复杂，保障粮食安全是我国重要战略任务．如图，储粮筒仓由两个全等的圆台和一个圆柱拼接而成，上下进出料口（即圆台上底面）预留孔洞用于安装闸门，不计入仓体用料，其余侧面均需用料．已知圆柱底面周长为米，高为12米，圆台下底面半径与圆柱底面半径相等，上底面半径为2米，高为3米，则建造粮仓仓体所需材料总面积为__________平方米．（结果保留） 14. 在中，，，若是的中点，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知成绩在的频数是30． （1）求图中，的值； （2）该校计划给成绩排名前25%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数； （3）学校计划从竞赛成绩在和两组学生中，按比例分层抽样抽取5人进行访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求至少有1人成绩在的概率． 16. 某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，平面底面． （1）证明：； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 函数的部分图象如图所示，点的坐标为． （1）求函数的解析式； （2）讨论函数在的单调性； （3）在中，角，，所对的边分别为，，，为上一点，为（锐角）的角平分线，，，且，求的面积． 19. 对于函数，若存在实数，使得为上的偶函数，则称是位差值为的“位差偶函数”． （1）判断函数和是否是位差偶函数，并说明理由； （2）若是位差值为的位差偶函数，求的值； （3）若对于，不是位差值为的位差偶函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期末考试试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得或，所以， 又，所以. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：. 3. 已知命题：，则；命题：，则．下列说法正确的是（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，此时对任意，均有，不满足， 因此命题为假命题，故为真命题. 已知，对因式分解可得：. 由得，，因此，即，故命题为真命题，为假命题. 综上，和都是真命题. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为：  ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得：   因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 5. 设，是两个相互独立的随机事件，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，相互独立，所以， 所以. 6. 已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如下图，因为三棱锥中，，，， ，可以将三棱锥补成正方体， 三棱锥的外接球就是边长为2的正方体的外接球， 该三棱锥的外接球的半径为， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 7. 已知是周期为6的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及给定区间的解析式，先确定目标区间内的正负，再分和两类求解不等式的解集. 【详解】当时，令，解得，即有， 若，则，故， 若，则，故； 由为偶函数，即， 若，则，故； 由周期为，故， 若，则，故， ； 若，则且或且， 故不等式的解集为. 8. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜坐标系定义将向量，表示为基底向量，的线性组合，利用向量加法求出，再结合向量数量积运算公式求其模长. 【详解】由题意可得，，则， 则. 二、选择题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，为的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由共轭复数的定义、复数乘法运算、复数模的计算，逐项判断. 【详解】由，得，A错误，B正确； ，C错误； ，D正确. 10. 把函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】 【详解】由平移规则得,  ， 正弦函数的对称轴满足，对应函数值为， 对称中心满足，对应函数值为. 选项A，代入得，，不是对称轴. 选项B，代入得，为最小值，是对称轴. 选项C，代入得，，故是对称中心. 选项D，代入得，，不是对称中心. 11. （多选题）如图，在棱长为3的正方体中，是的中点，点在四边形的内部和边上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 当为的中点时，平面 B. 当点与点重合时，直线与所成角为 C. 若二面角的平面角，则点的轨迹长度为3 D. 若点满足，则三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据线面平行的判定判断；对于选项B，求出与所成角判断；对于选项C，判断点的轨迹，然后求解；对于选项D，说明三棱锥的底面积不变，点到平面的距离不变，即可判断. 【详解】对于选项A，取的中点，连，则，因为平面， 平面，所以平面. 又是的中点，所以，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故选项A正确； 对于选项B，当点与点重合时，连接，则， 则（或补角）为异面直线与所成角，因为， 所以为等边三角形，所以，故选项B错误； 对于选项C，连接，因为底面，所以， 所以为二面角的平面角，且， 因为点在四边形内部及边界，且二面角的平面角， 所以点在边上，所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为3，故选项C正确； 对于选项D，连，可以证明平面， 因为点满足，所以点在垂直平分的平面内，记该平面为， 则平面平面，又点在平面内，所以点在平面与平面的交线上，设平面平面， 则平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等， 又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在区间上单调递减，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合幂函数在上的单调递减性质筛选出符合条件的. 【详解】  根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有：  ， 整理得一元二次方程，因式分解得，解得或； 幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即， 当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 综上，实数. 13. 当前全球粮食供需形势复杂，保障粮食安全是我国重要战略任务．如图，储粮筒仓由两个全等的圆台和一个圆柱拼接而成，上下进出料口（即圆台上底面）预留孔洞用于安装闸门，不计入仓体用料，其余侧面均需用料．已知圆柱底面周长为米，高为12米，圆台下底面半径与圆柱底面半径相等，上底面半径为2米，高为3米，则建造粮仓仓体所需材料总面积为__________平方米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】求出圆柱底面半径，从而得到圆柱侧面积，圆台侧面积，相加可得答案 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆台的下底面半径为，则，解得， 圆柱的侧面积为， 圆台的母线长为，故圆台的侧面积为， 所以建造粮仓仓体所需材料总面积为. 14. 在中，，，若是的中点，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由题意结合向量数量积运算律可得为等边三角形，再计算后可解. 【详解】因为表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 所以可化为，即， 因为， 取边的中点为， 则，所以， 即，所以， 所以为等边三角形， 若是的中点，则，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知成绩在的频数是30． （1）求图中，的值； （2）该校计划给成绩排名前25%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数； （3）学校计划从竞赛成绩在和两组学生中，按比例分层抽样抽取5人进行访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求至少有1人成绩在的概率． 【答案】（1） （2）82.5 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率、频数与样本容量的关系求出，再根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出； （2）根据前25%的含义，确定获奖分数线所在的区间，利用面积比例列方程求解； （3）利用分层抽样确定两组抽取的人数，利用古典概型概率公式或对立事件概率公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，样本容量为100，成绩在的频数是30， 所以成绩在的频率为，由频率分布直方图可知，组距为10，所以 由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，得 ，解得. 【小问2详解】 成绩排名前25%的学生，即成绩位于第75百分位数及以上的学生. 由（1）可知，因为成绩在的频率为，成绩在的频率为， 而，所以获奖学生的最低分数在内. 设获奖学生的最低分数为，则，解得. 所以估计获奖学生的最低分数为分. 【小问3详解】 成绩在和两组的频率分别为和，比例为 按分层抽样抽取5人，则成绩在组抽取人，记为； 成绩在组抽取人，记为. 从这5人中随机抽取2人，样本空间，共10个样本点. 设事件为“至少有1人成绩在”， 则事件的对立事件为“2人成绩都在”， 包含的样本点只有，共1个. 所以，故 16. 某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择： ①，②，其中，均为常数． （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？ 【答案】（1）选择模型②更合适，解析式为； （2）预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限 【解析】 【分析】（1）根据增长速度可得更合适，代入数据计算出，得到解析式； （2）令得，可得结论 【小问1详解】 下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人， 随着下课时间的增长，人数也在增长，且增长速度减慢， 故对数型函数模型更合适， 将数据代入可得，解得， 故解析式为； 【小问2详解】 中，令得， 预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，平面底面． （1）证明：； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接， 因为，为的中点，所以，平面， 平面底面，平面底面， 所以底面，又底面，则， 因为底面为菱形，则，又， 所以，平面， 所以平面，平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明平面，即可得证； （2）连接，则为直线与平面所成角，求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 连接，由于底面，则为直线与平面所成角， 因为，则， 由余弦定理，， 在中，， 所以. 18. 函数的部分图象如图所示，点的坐标为． （1）求函数的解析式； （2）讨论函数在的单调性； （3）在中，角，，所对的边分别为，，，为上一点，为（锐角）的角平分线，，，且，求的面积． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式可化简得到，再由为函数减区间上的零点，求得的值； （2）当时，，根据正弦函数的单调性求解； （3）由，可得，再由角平分线性质得，利用余弦定理求得，最后根据三角形面积公式求解. 【小问1详解】 ， 因为函数过点的坐标为，则为函数减区间上的零点， 所以，则，又， 又因为，则， 所以当时，，则； 【小问2详解】 因为函数， 当时，， 令，得，此时函数单调递增， 令，得，此时函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由于，即， 又，所以， 因为为（锐角）的角平分线，， 则，，所以，则， 根据余弦定理， 所以， 则. 19. 对于函数，若存在实数，使得为上的偶函数，则称是位差值为的“位差偶函数”． （1）判断函数和是否是位差偶函数，并说明理由； （2）若是位差值为的位差偶函数，求的值； （3）若对于，不是位差值为的位差偶函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，是 ，理由如下： 由，为奇函数． 故不存在使为位差偶函数； 又，设. 此时， 假设存在，为偶函数，则恒成立，即恒成立，得， 故存在使为位差偶函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义结合偶函数定义判断即可； （2）根据新定义、偶函数的性质，正弦函数的诱导公式得解； （3）根据新定义及指数的运算性质、偶函数的定义求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是位差值为的位差偶函数， 可得为上的偶函数． 因为偶函数． 则，解得； 【小问3详解】 ． 由题意不存在使得对恒成立， 此时， 即对任意的均不恒成立， 故在无解． 又，故．故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $