2.3等腰三角形的性质定理 同步练习 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础性质应用到综合探究，适配新授课巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等腰三角形性质（三线合一、垂直平分线）|选择1-5、填空11-13直接应用性质，强化抽象能力| |中档|性质与全等、轴对称综合|选择6-8、填空14-15、解答16结合多知识点，培养推理意识| |拔高|动态几何与新定义应用|选择9-10、综合17-18涉及分类讨论，发展创新意识|

2.3等腰三角形的性质定理 同步练习 一、选择题 1．如图，已知 中， ， ，点 为 的中点，点 在线段 上以 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上以相同速度由点 向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当 与 全等时，点 运动的时间是（　　） A． B． C． D． 或 2．如图，等腰中，，，点D是底边的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E、F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案： 方案Ⅰ 方案Ⅱ 如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P； ②选择，，． 如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E； ②连接，． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）． A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 4．如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　） A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40° B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值 C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20° D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值 6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．7.5 B．8.5 C．10.5 D．13.5 7．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③AG⊥EF；④∠EBC＝∠C．其中正确结论有（　　） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，过点A作AD⊥AO交CO的延长线于点D，若∠ACD＝α，则∠BDC度数为（　　） A．45°﹣α B． C．90°﹣2α D． 9．如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点Р是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP=OB，下面的结论：①∠APO-∠OBD=30° ；②△BPO是正三角形；③AB-AP=AO；④ ，其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　 　． 12．如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为　 　． 13．在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则　 　． 14．小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：　 　 15．如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，　 　°. 三、解答题 16．根据以下素材，探索完成任务. 三角形背景下角的关系探索 素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD. 素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论. 素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法. 问题解决 任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧. 任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系. 任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由. 任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系. 四、综合题 17．概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）理解概念：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　（填“是”或者“不是”）等角三角形． （2）概念应用：如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．求证：CD为△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数． 18．已知为等腰三角形，，直线过点C（不经过点），过点A作于点D，过点B作于点E． （1）如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由； （2）如图2，若点位于直线的两侧， ①（1）的结论是否还能成立，请说明理由； ②设与交于点F，当时，判断与是否相等，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点D为AB的中点， ∴BD=AB=5cm. 设点P、Q的运动时间为t秒，则BP=CQ=3tcm， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵△BDP与△CPQ全等， ∴BD=PC，BP=CQ， ∴5=8-3t， 解得t=1. 当BD=CQ，BP=PC时，5=3t且3t=8-3t，此时无解， ∴t=1. 故答案为：A. 【分析】根据中点的概念可得BD=AB=5cm，设点P、Q的运动时间为t秒，则BP=CQ=3tcm，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由全等三角形的性质可得BD=PC，BP=CQ；或BD=CQ，BP=PC，求解即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：连接PA， 由作法知EF是AC的垂直平分线， ∴AP=CP， ∴PC+PD=PA+PD， 线段的最小就是PA+PD， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴BD=CD=， ∵AB=AC， ∴， 在Rt△ABD中，由勾股定理得： AD=， ∴（PC+PD）最小=（PA+PD）最小=AD=8． 故答案为：B． 【分析】根据线段垂直平分线的性质先求出AP=CP，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴（垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， 同理，得， ∴， ∴都是等腰三角形． 连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形． ∵， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是顶角为的等腰三角形， 故答案为：C. 【分析】连接，先证出和是顶角为的等腰三角形，再求出，可得，利用等角对等边的性质可得，即可得到是顶角为的等腰三角形。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上， ∴AC垂直平分BB′， ∴AB＝AB′， ∴∠BAC＝∠B′AC， ∵AB＝AD， ∴AD＝AB′， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠B'AE， ∴∠CAE＝∠BAD＝α， 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°， ∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°−α， ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−α−90°＝90°−α， ∴∠ACB＝∠ACB′＝90°−α， 故答案为：D. 【分析】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数. 5．【答案】A 【解析】【解答】解： 如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ， ， 平分 ， 由图形的对称性可知： ， ， ， ， ， 当点F位于点 处时， ， ． 故答案为：A． 【分析】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD ∵EF垂直平分线段AC ∴CM=AM ∴CM+MD=AM+MD≥AD 即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长 ∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD ∴△CMD的周长的最小值为AD+CD ∵D为BC的中点，AB=AC ∴ ，AD⊥BC ∴ ∴AD=12 ∴AD+CD=12+1.5=13.5 即△CDM周长的最小值为13.5 故答案为：D. 【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C＋∠ABC＝90°， ∠BAD＋∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝∠C，故①正确； ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE＋∠AEF＝90°， ∠CBE＋∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， 又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等）， ∴∠AEF＝∠AFE，故②正确； ∵∠ABE＝∠CBE， ∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故④错误； ∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AG平分∠DAC， ∴AG⊥EF，故③正确． 综上所述，正确的结论是①②③． 故答案为：C． 【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD=∠C，则可判断 ① ；再根据等角的余角相等可以求出∠AEF=∠AFE，则可判断②；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF，则可判断③； ∠EBC＝∠C 不一定相等，则可判断 ④ . 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵CO平分∠ACB， ∴∠BCO=∠ACD＝α， ∵AB＝AC， ∴∠ABC=∠ACB=2α， ∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O， ∴BO平分∠ABC， ∴∠CBO=∠ABO= ， ∵ ， ∴ ， ∵AD⊥AO， ∴∠OAD=90°， ∴∠BAD=90°-∠OAB= ， ∴∠BAD=∠ABC， ∴BC∥AD， ∴∠BCD=∠ADC= ， ∴AC=AD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB= ， ∴ . 故答案为：C. 【分析】由角平分线的概念可得∠BCO=∠ACD＝α，∠CBO=∠ABO=α，由等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=2α，结合内角和定理得∠AOB=90°+α，∠OAB=90°-2α，由余角的性质得∠BAD=2α，则∠BAD=∠ABC，由平行线的性质得∠BCD=∠ADC=α，则可推出AB=AD，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABD=∠ADB=90°-α，然后根据∠BDC=∠ADB-∠ADC进行计算. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：如图：分情况讨论： ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个. 故共有3个点， 故答案为：B. 【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，据此分别求解即可. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC， ∴BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°. ∵OP=OB， ∴OP=OC， ∴∠OPC=∠OCP， ∴∠OPC=∠OCD+∠ACB=∠OCD+30°，即∠APO-∠OBD=30°，故①正确. 在△PBC中，∵∠CBP+∠BPC+∠BCP=180°，∠BCP=30°， ∴∠CBP+∠BPC=180°-30°=150°. ∵∠BPC=∠APO+∠OPB， ∴∠CBP+∠APO+∠OPB=150°. 由①知：∠APO=30°+∠BOD， ∴∠CBP+∠OBD+30°+∠OPB=150°. ∵∠CBP+∠OBD=∠OBP， ∴∠OBP+∠OPB=150°-30°=120°. ∵OB=OP， ∴∠OBP=∠OPB=120°÷2=60°. ∵在△BPO中，∠OBP=∠OPB=60°， ∴∠BOP=60°， ∴△BPO为等边三角形，故②正确. 在AB上截取AE=AP， ∵∠BAC=120°， ∴∠PAE=60°. ∵AE=AP， ∴△APE为等边三角形， ∴∠BPO=∠APE=60°， ∵∠BPO=∠BPE+∠EPO，∠APE=∠APO+∠BPO， ∴∠BPE=∠APO. ∵AP=AE，∠BPE=∠APO，BP=OP， ∴△EPB≌△APO（SAS）， ∴BE=AO. ∵BE=AB-AE=AB-AP， ∴AB-AP=AO，故③正确. 延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形， ∵PB=OB，∠PBA=∠OBF，AB=BF， ∴△APB≌△FOB（SAS）， ∴S四边形AOBP=S△ABF， 要证S△ABF=2S△BOC，即证OD=AD， 而OD=AD无法证明，故④错误. 故答案为：C. 【分析】①由等腰三角形的性质结合已知条件可得：BO=CO，∠BAD=∠BAC=60°，∠ABC=∠ACB=30°，进一步推出∠OPC=∠OCP，然后根据角的和差关系判断即可； ②由三角形内角和定理可得∠CBP+∠BPC=150°，然后根据角的和差关系推出∠OBP+∠OPB=120°，根据等腰三角形的性质求出∠OBP=∠OPB=60°，据此判断即可； ③在AB上截取AE=AP，可推出△APE为等边三角形，进而证明△EPB≌△APO，然后根据全等三角形的性质以及线段和差关系判断即可； ④延长AO，在AO延长线上找一点F，使AF=AB，则△ABF为等边三角形，证明△APB≌△FOB，则可得S四边形AOBP=S△ABF，然后判断出OD与AD的关系即可. 11．【答案】10 【解析】【解答】解：如图所示，连接AD， ∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC·AD＝×4·AD＝16， 解得AD＝8， ∵EF是腰AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10． 故答案为：10． 【分析】如图所示，连接AD，由等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点，可得到AD⊥BC，利用三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是线段AC的垂直平分线，可知点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再由△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC，代入数值计算即可求解. 12．【答案】8 【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， . 故答案为：8. 【分析】延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，根据四边形内角和为360°可得∠ABD+∠ACD=180°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，两式相加可得∠ABD=∠ACD=90°，证明△DCE≌△CBM，得到DE=DM，∠CDE=∠BDM，进而证明△EDN≌△MDN，得到EN=MN，则AM+AN+MN=AB+AC，据此解答. 13．【答案】66°或24° 【解析】【解答】解：如图，由题意得：是的垂直平分线， 如图，由题意得：是的垂直平分线， 综上：或 故答案为：或 【分析】分两种情况：∠A为钝角和锐角，据此分别画出图形，利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质分别解答即可. 14．【答案】① 【解析】【解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°． 又∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=65°． ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=25°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°． ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴直线AO垂直平分BC， ∴OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=40°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE． ∴∠COE=∠OCB=40°； 在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°， ∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意； ∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°， ∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意； ∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线， ∴∠DOB=90°-∠ABO=75°， ∵∠OCB=∠OBC=40°， ∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°， ∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意. 故答案为：①． 【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。 15．【答案】40或70或55 【解析】【解答】解：如图， ①当时， ∴ ∴. ②当时， ； ③当时， ； 综上所述，的度数为或或. 故答案为：40或70或55. 【分析】分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质分别求解即可. 16．【答案】解：任务一：右； 任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°. ∵BA＝BC，∠B＝40°， ∴∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°， ∵DA＝DE， ∴∠DAE＝∠E＝20°， ∵∠ACB＝∠E+∠CAE， ∴∠CAE＝70°-20°＝50°， ∴∠CAD＝∠CAE-∠DAE＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°. 猜想：∠BAD＝2∠CAE； 任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE. 理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y. ∵BA＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y， ∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y， ∴∠BAD＝2∠CAE. 任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE. 理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y. ∵BA＝BC， ∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x-y， ∴∠BAD＝∠BAC-∠CAD＝2x-2y， ∵∠CAE＝∠DAE-∠CAD＝x-y， ∴∠BAD＝2∠CAE. 【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧. 故答案为：右； 【分析】任务一：画出图形可得结论； 任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE-∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论； 任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可； 任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可. 17．【答案】（1）是 （2）证明：∵∠A=40°，∠B=60°， ∴∠ACB=80°. ∵CD为角平分线， ∴∠ACD=∠BCD=40°. ∵∠A=∠ACD， ∴△ACD是等腰三角形 ∵∠BCD=∠A=40°，∠B=∠B=60°，∠BDC=∠ACB=80°， ∴△BCD和△ABC是等角三角形. ∴CD为△ABC的等角分割线. （3）解：84°，111°，92°，106° 【解析】【解答】解：（1）△BCD和△ACD 是等角三角形，理由如下： ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠CDA=90°， ∴∠B+∠BCD=90° ，∠A+∠ACD=90°， ∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°， ∴∠A=∠BCD，∠ACD=∠B， ∴ △BCD和△ACD 是等角三角形； 故答案为：是； （3）①当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°， ∴∠ACB＝∠BDC＝42°＋42°＝84°， ②当△ACD是等腰三角形，如图，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°， ∴∠BCD＝∠A＝42°， ∴∠ACB＝69°＋42°＝111°， ③当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， ④当△BCD是等腰三角形，如图，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°， ∠ACB＝92°， ⑤当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°−2x， 则∠ACD＝∠B＝180°−2x， 由题意得，180°−2x＋42°＝x， 解得，x＝74°， ∴∠ACD＝180°−2x＝32°， ∴∠ACB＝106°， ⑥当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， 综上所述：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°． 【分析】（1）由垂直的定义得∠CDB=∠CDA=90°，则∠B+∠BCD=90° ，∠A+∠ACD=90°，结合已知∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠A=∠BCD，∠ACD=∠B，从而根据等角三角形的定义即可判断得出答案； （2）根据三角形的内角和定理得∠ACB=80°，根据角平分线的定义得∠ACD=∠BCD=40°，从而根据等腰三角形的判定及等角三角形的定义即可得出△ACD是等腰三角形，△BCD和△ABC是等角三角形，从而根据等角分割线的定义即可得出答案； （3）分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 18．【答案】（1）解：，理由如下： ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①成立， 同理可得， ∴； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得； （2）①利用“AAS”证明，可得； ②先证明，利用等腰三角形的性质可得，再结合，可得，所以。 1 学科网（北京）股份有限公司 $