精品解析：江西南昌市第五中学实验学校2025-2026学年第二学期期末考试初二数学试卷

南昌五中实验学校2025-2026学年第二学期期末考试初二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）     A. B. C. D. 4. 魔方爱好者小聪最近买了一个五魔方（如图1），他发现五魔方是一个正十二面体，每个面都是一个正五边形，展开图如图2，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若实数，满足，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，动点P在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度，连接．设运动时间为，的面积为S．如图2是S关于t的函数图象，则下列说法中错误的是（ ） A. 线段的长是3 B. 的周长是16 C. 当P在上时，线段的最小值是2 D. 的面积是12 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 2 3 2 这10名同学每天使用的零花钱的中位数是_______． 8. 要使分式有意义，则x的取值范围是________． 9. 若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 10. 如图，直线与交于点A，则的解集是____________． 11. 在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________． 12. 如图，在菱形中，，，线段（点E在点F的左侧）在直线上移动，且，当为直角三角形时，的长为______． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：． 14. 解一元二次方程： （1）； （2）． 15. 如图，为菱形的对角线，点为线段的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作直线，使得； （2）如图2，在边上找点，使得． 16. 已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． （1）______的解答是错误的； （2）若，求的值． 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． （1）求实数的取值范围； （2）当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 19. 教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． （1）如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 20. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． （1）图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； （2）当 时，求 关于 的函数解析式； （3）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动．为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩（单位：分）进行了整理分析．部分信息如下： ■数据收集 所抽取的七年级学生的测试成绩： 72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88 ■数据整理 所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表（成绩用表示）： 分组 频数 4 3 4 所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如下表： 众数 平均数 中位数 七年级 88 80 八年级 86 82 85 ■数据分析 请你依据以上信息，解决下列问题． （1）请你写出： ， ； （2）已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前”．据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由； （3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等第，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等第的学生人数． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于A，B两点，直线与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点为直线上的点，，求点的坐标； （3）在轴上存在点，在直线上存在点，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 六．解答题（本大题共1题，共12分） 23. 综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究． （1）【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____． （2）【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌五中实验学校2025-2026学年第二学期期末考试初二数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式的定义：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即为最简二次根式，对各选项逐一化简判断即可． 【详解】解：对于选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式； 对于选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，故B不是最简二次根式； 对于选项C：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故C是最简二次根式； 对于选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，故D不是最简二次根式． 3. 如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：     由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 4. 魔方爱好者小聪最近买了一个五魔方（如图1），他发现五魔方是一个正十二面体，每个面都是一个正五边形，展开图如图2，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：正五边形的内角度数为， 则的度数为． 5. 若实数，满足，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把看作一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵ ， ，， ∴可以把看作一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ． 6. 如图，动点P在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度，连接．设运动时间为，的面积为S．如图2是S关于t的函数图象，则下列说法中错误的是（ ） A. 线段的长是3 B. 的周长是16 C. 当P在上时，线段的最小值是2 D. 的面积是12 【答案】C 【解析】 【分析】动点在平行四边形中运动，根据动点的函数图象可知，依次即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， 根据图象可得，当时，， ， 当时，，即三角形面积不变， ∴点运动到上， 在中，， ∴， ，即， ∴，的周长是，面积是， 故A、B、D选项正确，不符合题意， 若P在上， 当时，的值最小， ∴．C选项错误，符合题意． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动．为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表： 每天使用零花钱（单位：元） 0 2 3 4 5 人数 1 2 2 3 2 这10名同学每天使用的零花钱的中位数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念，掌握中位数的计算方法是解题关键，先将数据从小到大排序，根据数据个数的奇偶性计算中位数． 【详解】解：将10个数据从小到大排列，由表格累计人数可知，排序后第5个数据为，第6个数据为． ∵数据个数为偶数， ∴中位数为中间两个数的平均数，即中位数为． 8. 要使分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得且． 9. 若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】先化简得：， 最简二次根式与能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同， ． 10. 如图，直线与交于点A，则的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先联立两个一次函数解析式，求交点的坐标，再求出与轴交点坐标，最后根据不等式的意义，结合函数图象求解即可． 【详解】解：将与联立得：， 解得：， ∴， 设与轴交于点， 在中，令，得，解得：， ∴， 如图所示： 表示的是直线在直线的下方，且函数值小于等于0， 也就是直线与轴的交点的左侧（包括点），在点的右侧， ． 11. 在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点，，作 轴的垂线，垂足分别为，，，根据正方形的性质可证，，再根据三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，分别过点，，作 轴的垂线，垂足分别为，，， ， ，． 四边形是正方形， ，， ． 又， ． 又， ， ，， ． 同理可证， ，， ， ． 12. 如图，在菱形中，，，线段（点E在点F的左侧）在直线上移动，且，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或2或 【解析】 【分析】连接，先根据菱形的性质得，，，由角的性质求出．然后分三种情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵在菱形中，， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 当即点E与点O重合时，如图， ． 当即点F与点O重合时，如图， 当时，如图， 设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ， 解得， ∴， 综上可知，的长为或2或． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．先根据二次根式、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算后，再进行实数的加减混合运算即可． 【详解】解： ． 14. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案； （2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案． 【小问1详解】 解：因式分解，得， ，； 【小问2详解】 解：提取公因式，得， 即， ，． 15. 如图，为菱形的对角线，点为线段的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点作直线，使得； （2）如图2，在边上找点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； （2）连接交于点，连接并延长交于点即可，根据菱形的性质，利用易得，得到，，对顶角得到 ，进而得到，进而得到 . 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，点即为所求； 16. 已知当时，求的值．甲、乙两人的解答如下： 甲：原式； 乙：原式． （1）______的解答是错误的； （2）若，求的值． 【答案】（1）乙 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案； （2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴乙的解答在去绝对值时，没有判断的正负情况，是错误的． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF．求证：四边形OEFG是矩形 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分对角，得到∠AOD=90°，∠DAO=∠BAO，根据E是AD的中点，得到OE=AE，得到∠EAO=∠EOA，推出∠EOA=∠BAO，得到OE∥FG，根据EF⊥AB，OG⊥AB，得到EF∥OG，推出四边形EFGO是平行四边形，由∠EFG=90°即得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝ 90°， ∴△AOD是直角三角形， ∵E是AD的中点， ∴AE＝ AD，OE＝AD， ∴AE＝OE， ∴∠EAO＝∠EOA， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠EAO＝∠BAO， ∴∠EOA＝∠BAO， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG ＝90°， ∴四边形OEFG是矩形． 【点睛】本题考查了菱形，直角三角形，等腰三角形，平行四边形，矩形．解决问题的关键是熟练掌握菱形的对角线性质直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根和． （1）求实数的取值范围； （2）当和是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可； （）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式满足， 即， 解得：； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得：，， ∵​、是矩形两邻边，对角线长为， 由勾股定理得：， 即：​， ∴， 解得， 验证：​，符合（）中的范围，且两根和、积都为正，边长为正符合题意，故． 19. 教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． （1）如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： （2）如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【答案】（1）答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． 【小问2详解】 略 20. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． （1）图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； （2）当 时，求 关于 的函数解析式； （3）已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 【答案】（1）②，④，10，5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对应的状态读数即可； （2）先设直线解析式，再将两点代入解析式求出即可； （3）将代入函数解析式，求出对应的值，再根据求值即可． 【小问1详解】 解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力 一直在减小 点 对应状态为②，点 对应状态为④ 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ， 【小问2详解】 解：设 ， 将，的坐标分别代入，得，解得， ∴当 时， 关于 的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当 时， ， （N）． 即此时圆柱体所受浮力为 ． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 每年的5月12日是“全国防灾减灾日”，为提高同学们的防灾减灾意识、普及防灾救助知识，振华中学在七、八年级开展了一次知识测试问卷调查活动．为快速了解测试情况，学校团委从这两个年级各随机抽取了15名同学的测试成绩，并对收集到的成绩（单位：分）进行了整理分析．部分信息如下： ■数据收集 所抽取的七年级学生的测试成绩： 72，75，88，95，68，88，72，62，94，96，78，68，63，93，88 ■数据整理 所抽取的七年级学生成绩的频数分布统计表（成绩用表示）： 分组 频数 4 3 4 所抽取的七年级、八年级学生成绩的统计量，如下表： 众数 平均数 中位数 七年级 88 80 八年级 86 82 85 ■数据分析 请你依据以上信息，解决下列问题． （1）请你写出： ， ； （2）已知学生小魏发现自己的测试成绩进不了本年级的前，为了解另外一个年级的情况，小魏与另一年级的学生小唐进行了交流，小唐说：“你的成绩在我们年级能妥妥地排进前”．据此，请你判断小魏所在的年级，并说明理由； （3）此次知识测试成绩不低于90分为优秀等第，已知振华中学八年级共有300名学生参加此次测试，且八年级学生的优秀率是七年级的1.5倍，请你估算在本次测试中，该校八年级获得优秀等第的学生人数． 【答案】（1）4；78 （2）八年级；见解析 （3）120人 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其余三个组的频数即可得到的值；先将七年级15名学生的成绩按从小到大的顺序排列，因为样本量为奇数，所以中位数是排序后位于第8位的数，据此可得的值； （2）首先明确前对应的是成绩高于本年级中位数，结合小魏在自己年级排不进前、在另一年级能排进前的条件，对比七、八年级的中位数，即可判断小魏所在年级． （3）先根据七年级抽取的样本计算七年级的优秀率，因为八年级优秀率是七年级的1.5倍，所以用七年级优秀率乘以1.5得到八年级优秀率，再乘以八年级总人数300即可估算八年级优秀人数． 【小问1详解】 解：一共抽取15名七年级学生，因此； 将七年级成绩从小到大排列，62，63，68，68，72，72，75，78，88，88，88，93，94，95，96， 15个数的中位数是第个数，排序后第8个数为78， ∴； 【小问2详解】 解：小魏所在年级是八年级，理由如下： 中位数的意义是：成绩大于中位数则能进入年级前，小于中位数则不能进入前． ∵七年级中位数为78，八年级中位数为85： 设小魏的成绩为x分， 若小魏在七年级，则其成绩不高于七年级中位数78分（）． 而他的成绩能在八年级排进前，则其成绩需高于八年级中位数85分（）． ∵与不可能同时成立， 故此假设不成立； 若小魏在八年级，则，当时，成绩大于七年级中位数78，可以进入七年级前，符合题意． 故小魏是八年级学生． 【小问3详解】 解：抽取的七年级中，优秀（不低于90分）的有4人， ∴七年级优秀率为​； ∵八年级优秀率为七年级的1.5倍，即；八年级总人数300人， ∴优秀人数约为人． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于A，B两点，直线与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点为直线上的点，，求点的坐标； （3）在轴上存在点，在直线上存在点，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用解析式求出交点坐标，再利用待定系数法求解析式； （2）根据直线解析式求出点的坐标，假设点的坐标，根据三角形面积列出方程求解； （3）根据平行四边形的判定定理，求出相关点的坐标，利用相等的线段列出方程求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴，代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴， 假设， ∴， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①如图所示，当时，满足平行四边形， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 由勾股定理得， 假设， ∴， 解得或， ∴或； ②如图所示，当时，满足平行四边形， 假设， ∴， 解得或（重复）， ∴． 综上，点的坐标为或或． 六．解答题（本大题共1题，共12分） 23. 综合与实践：数学实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究． （1）【特例感知】如图1，将矩形沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕分别与，交于点E，F，连接，．猜想：四边形的形状是______；和的位置关系是_____． （2）【数学思考】如图2，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接并延长，交的延长线于点F，猜想四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展探究】在矩形纸片中，，沿着翻折，使点B落在点E处，连接，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）菱形； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 如下图，设 交于点， 由折叠的性质，可知 ， 四边形是矩形， ∴ ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质和全等的性质，可得，得四边形是菱形；由折叠，对顶角，三角形内角和可得，可得； （2）先证，由矩形的性质，即可得答案； （3）由折叠和（2）结论可得是等腰直角三角形，分两种情况讨论，和，证明即可． 【小问1详解】 解：如下图， 由折叠可知：， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是菱形； 由折叠可知：， ， 又 ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形．理由略； 【小问3详解】 由折叠的性质可知：，，， 由（2）可知，， ， ， 是直角三角形，， 若是等腰三角形，则，是等腰直角三角形， 分两种情况讨论，①如下图，当时，过点作的平行线交 的延长线于点， 可得：四边形是矩形，， 又，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则 ， ， 由折叠的性质，可知， ， 解得， ； ②如下图，当时，过点作的平行线交的延长线于点， 同（1）可得， 设 ，则 ， 同（1）可得是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质，可知， ， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $