第4板块 一元函数导数的概念、运算及应用 考前必背知识清单及解题技巧 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

该高中数学高考复习知识清单聚焦一元函数导数的概念、运算及应用，包含第16讲导数的概念及运算、第17讲导数与函数的单调性、第18讲导数与函数的极值及最值三大模块，系统整合导数的定义、几何意义、基本公式、运算法则及应用等核心知识。 清单采用“必背知识+解题技巧”双栏设计，必背知识梳理导数公式、运算法则等基础内容，解题技巧突出分类讨论、构造函数等方法，如极值点偏移问题的对称函数构造步骤，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。特设易错点警示，如区分“在点P处切线”与“过点P切线”，并关联高考真题类型，助力学生精准复习，教师可据此优化教学策略，提升备考效率。

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 考前必背知识及解题技巧 第4板块 一元函数导数的概念、运算及应用 第16讲　导数的概念及运算 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y',f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数f'(x)=. 2. 导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 3. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4. 导数的运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有: (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); (3)=(g(x)≠0); (4)[cf(x)]'=cf'(x). 5. 复合函数的定义及其导数 复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux',即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数. 2. 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”,说明点P为切点,点P既在曲线上,又在切线上;“过点P处的切线”,说明点P不一定是切点,点P一定在切线上,但不一定在曲线上. 3. 函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 4. 应用基本初等函数的导数公式进行导数计算时应注意：①公式(xn)′＝nxn－1中，n为有理数；②公式(ax)′＝axln a，(logax)′＝与(ex)′＝ex，(ln x)′＝，清楚地区分和熟记． 5. 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量． 6. 掌握求复合函数导数的一般步骤：(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解关系；(2)分层求导，弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数． 7. 复合函数的导数计算关键是联想基本初等函数，准确地通过中间量对复合函数进行分拆，同时最后结果是关于x的函数解析式． 8. 导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见．因此，必须牢牢掌握导数的运算法则． 9. 导数几何意义基本题型：(1)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何意义，并能准确求导；(2)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标；(3)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． 10. 解决此类问题的先决条件是应先正确求导，再根据其他条件求解，求曲线的切线应注意： (1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个． 11. 导数的几何意义是高考考查的热点问题，应特别注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”意义完全不一样，前者点P不一定是切点，而后者点P一定是切点，且在曲线上． 12. 确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 第17讲　导数与函数的单调性 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在(a,b)上单调递增 f'(x)<0 f(x)在(a,b)上单调递减 f'(x)=0 f(x)在(a,b)上是常数函数 2. 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导函数f'(x)的零点; 第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立. 2. 若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 3. 确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 4. 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 讨论的标准有以下几种可能： (1)f′(x)＝0是否有根； (2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内； (3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小． 5. 讨论函数f(x)单调性的方法步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． 6. 构造函数，应用导数求解函数值的比较大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 7. 构造函数，应用导数求解不等式解集时，先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x))． 8. 根据函数单调性求参数的方法 (1)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解. (2)函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集. (3)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 9. 利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小. 10. 利用函数的单调性解不等式,其关键是先判断函数的单调性,再利用函数单调性脱去函数外衣,转化为较为简单的不等式解决即可,易错之处为忽视函数的定义域. 11. 在导数的应用中常用到以下函数(六大超越函数),记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果. 12. 利用导数证明不等式的常用方法：证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，利用F(x)的单调性证明． 第18讲　导数与函数的极值、最值 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 函数的极值 (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0. 则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0. 则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值. 2. 函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 3. 求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4. 函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性． 2. 掌握求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； (2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成； (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 3. 搞清极值与最值的区别与联系 (1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的导函数符号得出的． (2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有，且极大值并不一定比极小值大． (3)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值． 4. 一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min. 5. 数的不等式可化为f(x)>g(x)(其中g(x)＝ax＋b)恒成立、有解、无解的处理方法：①分析y＝f(x)的图象和y＝g(x)图象特征，探究参数所满足题设情境的充要条件；②构造函数法，一般构造F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为a>h(x)，或a<h(x)，进而转化为求函数h(x)的最值． 6. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)． (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答． 证明不等式的常用方法——构造法 7. 证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)． 8. 证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)． 9. 函数零点、极值点相关的不等式的证明关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题． 10. 证明与函数零点、极值点相关的不等式，特别是含两个(多个)变量的不等式时，要注意合理地构造函数，同时注意探究主变量的范围． 11. 利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法． 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围． (2)数形结合法求解零点． 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围． (3)构造函数法研究函数零点． ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解． ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 12. 一般地,出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 13. 一般地,出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 14. 若题目所给的条件含有两个变量,可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边,即可构造函数,并且利用函数的单调性求解. 15. 当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小. 16. 若待证不等式的一边含有自变量,另一边为常数,可直接求函数的最值,利用最值证明不等式. 17. 若待证不等式的两边含有同一个变量,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证. 18. 若对待证的式子直接构造函数对其求导后不易分析,可将不等式合理拆分成g(x)>h(x)的形式,对两边函数进行求导.利用g(x)的最小值和h(x)的最大值比较证明不等式,特别地含ln x与ex的混合式要将其分离.常构造xn与ln x,xn与ex的积、商形式,便于求导后找到极值点. 19. 利用导数证明不等式时,若所证明的不等式中含有ex,ln x,sin x,cos x,tan x,或其他多项函数的两种或以上,或依据所证不等式构造函数不易得到其最值,可考虑先利用不等式进行放缩,使问题简化,然后证明. 20. 如果要证明的不等式由指数、对数、多项式函数组合而成,且构造差函数不易求其最值,则往往进行指、对分离,转化为证明g(x)≥h(x),分别求g(x)min、h(x)max进行证明,由于两个函数图象的凹凸性正好相反,故这种证明不等式的方法称为凹凸反转. 21. 凹凸反转常见的三种模型 (1)高人一等,即上函数的最小值大于下函数的最大值,不取等(f(x)>g(x))如图①, (2)亲密接触,即上函数的最小值等于下函数的最大值,且取等条件一致(f(x)≥g(x))如图②, (3)错位时空,即上函数的最小值等于下函数的最大值,但取等条件不一致(f(x)>g(x))如图③, 22. 极值点偏移的定义 极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样,导致函数的图象不具有对称性,我们把这种现象叫做极值点偏移. 23. 从图形看极值点偏移 设函数f(x)的极值点为x0,设以f(x)=C的两根为端点的区间的中点为(x1<x2). (1)若=x0,则极值点没偏移(极值点左右两侧函数值变化快慢相同);如图①. (2)若>x0,则极值点左偏移(左快右慢);如图②. (3)若<x0,则极值点右偏移(左慢右快);如图③. 24. 简单的“和型不等式x1+x2>2x0或x1+x2<2x0”或“积型不等式x1x2>或x1x2<”的证明,一般构造对称函数g(x)=f(x)-f(2x0-x)或g(x)=f(x)-f求解,具体步骤归纳如下: (1)定极值点:求导讨论f(x)的单调性,并求出极值点x0以及x1,x2的范围. (2)构造函数:构造F(x)=f(x)-f(2x0-x)(或F(x)=f(x)-f). (3)判断单调性:对F(x)求导,讨论F(x)的单调性,从而判断F(x)在极值点单侧的正负,得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系. (4)比较大小:代入x1或x2,根据f(x)与f(2x0-x)的大小关系,借助f(x1)=f(x2)将自变量统一到极值点同侧,再通过f(x)的单调性得出结论. 25. 比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差),继而将所求解问题转化为关于t的函数问题. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $