第06讲 抛物线最值范围 讲义（知识要点+解题技巧+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习抛物线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线最值范围核心考点，涵盖距离、面积、弦长等11类常考题型，按“定义转化—代数运算—边界检验”逻辑构建知识体系，通过考点梳理、策略指导、题型归纳及变式训练，帮助学生系统突破圆锥曲线难点。 讲义创新采用“几何优先+代数函数化”双策略，如距离最值问题通过定义转化简化运算，面积问题联立方程构建函数模型，培养学生数学思维与运算求解素养。设置基础巩固到综合应用分层练习，配合易错点警示，助力教师精准把控复习节奏，提升学生高考实战能力。

第06讲 抛物线的最值范围 目 录 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：长度距离问题 4 题型02：距离和差 15 题型03：抛物线中多元最值问题 26 题型04：以抛物线为情景的点线最值问题 36 题型05：抛物线与圆交汇的最值问题 50 题型06：抛物线中焦点弦最值问题 54 题型07：抛物线中面积最值问题 57 题型08：以抛物线为情景的斜率最值问题 90 题型09：以抛物线为情景的参数范围问题 94 题型10：抛物线与圆交汇的最值问题 103 题型11：抛物线最值与向量交汇 106 题型13：其它最值 111 巩固提升 114 抛物线最值、范围是新高考圆锥曲线必考重难点，多出现在选择填空压轴、解答题第2问，分值4–12分。 常考：距离最值、面积最值、弦长/斜率/参数范围；命题以抛物线定义转化+代数函数求最值为主，结合韦达定理、二次函数、基本不等式、判别式考查，侧重数形结合与运算能力。 易错点：忽略定义域、判别式、不会用定义简化运算。 1. 知识目标：掌握抛物线定义、焦半径、几何性质；熟练几何法、代数法、不等式法、导数法四类求最值方法。 2. 能力目标：能快速识别题型、选择最优解法；规范运算，处理含参范围与边界检验。 3. 素养目标：提升数形结合、转化化归、逻辑推理、运算求解素养。 知识点一：抛物线取值范围问题 求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 知识点二：与抛物线有关的最值问题 最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决. 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 求解直线与抛物线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③表示出所求三角形的面积，代入韦达定理的结论； ④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围） 解题总策略：先几何，后代数；先转化，再求最值；必验边界 1. 几何优先策略（小题、距离类首选） 利用抛物线定义（到焦点距离=到准线距离） 进行距离转化， ①动点到定点+到焦点距离 → 转化为到准线距离 ②最短距离：三点共线、垂直准线、两点之间线段最短 ③适用：抛物线上点到定点、焦点、准线的距离最值，计算最快。 2. 代数函数化策略（大题、面积/参数/范围通用） ① 设点/设直线，联立抛物线与直线方程 ② 用韦达定理表示目标量（弦长、面积、斜率、坐标） ③ 整理为单变量函数（二次函数、对勾函数、分式函数） ④ 结合定义域、对称轴、判别式求值域/范围 3. 不等式最值策略 出现乘积、和式结构时，用基本不等式求面积、长度最值； 注意：一正二定三相等，检验等号能否取到。 4. 边界检验策略（得分关键） 求范围必须检验3个边界： ①直线与抛物线相交： ②斜率存在性：k≠0、分母不为0 ③变量范围：抛物线上点的坐标范围、角度范围 一句话口诀（方便背诵） 距离先看定义转，面积联立函数算； 最值可用不等式，范围必查判别式。 题型01：长度距离问题 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【典型例题21】设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为抛物线的准线为，焦点为， 所以过点作抛物线的切线，设切点， 所以，则，所以直线的方程分别为；，联立可得，所以，即， 又因为点在准线上，则，， 设直线的方程为：代入抛物线的方程可得：， 所以，则，所以直线过定点，又因为焦点，，所以点在以为直径的圆上，又因为的中点为，所以， 所以，故选：C. 【典型例题3】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3. (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交抛物线C于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则的最大值为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）方法1：由题分析设抛物线的标准式，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. 方法2：设出抛物线焦点在y轴上的一般式方程，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. （2）设出直线方程，联立直线方程与抛物线的方程，再联系已知可得k与n的关系式，再由弦长公式得到弦长关于k的函数，转化为求关于k的函数在固定区间上的最大值（方法1：应用基本不等式求最大值，方法2：换元法转化为二次函数在固定区间上的最大值）. 【详解】（1）方法1：∵抛物线的焦点在y轴上且过点，点M的纵坐标为正数， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， 由抛物线的定义知，，解得： ∴抛物线C的方程为. 方法2：∵抛物线的焦点在y轴上， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， ∴由抛物线的定义知， ∴抛物线C的方程为. （2）设直线l方程为：，，， 则，，， ∴，  ① 又∵AB中点的纵坐标为2， ∴， ② ∴由①②得：， ∴，解得：， ， ∴ 方法1：∵， ∴，当且仅当即时去等号， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 方法2：令，∵，∴， 则，， 设，，则对称轴为， ∴在上单增，在上单减， ∴，此时， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 【变式训练1-1】（多选）已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于两点，过作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点为，且直线与倾斜角互补，则或 C．点在定直线上 D．设点为，则的最小值为3 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ． 【变式训练1-3】已知抛物线：，过点作的切线，切点分别为，，且. (1)求的方程； (2)设，为上两点，为线段的中点（不在轴上），为坐标原点，直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （ⅰ）设，求的最小值； （ⅱ）求证：. 【变式训练1-4】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值． 【变式训练1-5】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【变式训练1-6】已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点为椭圆的右焦点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)如图，过作直线l交抛物线于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为，求证直线过定点N；并求当l的倾斜角为时，点M到直线距离d的取值范围. 【变式训练1-7】已知点是抛物线的焦点，准线与轴的交点为，点是抛物线上任一动点.当点的横坐标为8时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线的准线上的两个不同点，点的横坐标大于1，坐标原点到的边的距离都等于1，求的周长的最小值. 【变式训练1-8】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 题型02：距离和差 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】 先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果． 【详解】 抛物线的焦点为，准线为且l过点，抛物线的准线方程是， 则抛物线的方程为，因为 ，点在抛物线内，过点作准线的垂线，垂足是， 在抛物线上，是抛物线的焦点，，当 三点共线时，（图中虚线位置），取到最小值，即最小值为， 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【解析】根据题意,作图如下： 设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得:. 所以要使取得最小值,只需最小. 因为(当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0. 因为P(x0,1)为抛物线上的点,则有，解得：. 当P为(,1)时, 取得最小值2.故选：B． 【典型例题3】已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为， 则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 【典型例题4】（多选）已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（    ） A．满足的点恰有两个 B．满足面积为的点恰有三个 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BCD 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】对于选项A：依据线段垂直平分线上的性质得到的点在AF垂直平分线上，得到满足条件的只有一个. 对于选项B：由三角形面积公式得出.结合图形特点，判断有三个这样的点. 对于选项C：根据三角形两边之和大于第三边，.算出，得到最小值判断. 对于选项D：过作轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，.算出，得到最小值判断. 【详解】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误； 设到直线的距离为，，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确； 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确； 如图2，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值，故D正确． 故选：BCD． 【典型例题5】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，过点作垂直准线于点， 显然，当平行于轴时，取得最小值，此时， 此时 故答案为: . 【变式训练2-1】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2-2】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【变式训练2-3】已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．3 【变式训练2-4】设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-5】点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练2-6】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练2-7】（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【变式训练2-8】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练2-9】已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ． 【变式训练2-10】已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 【变式训练2-11】已知点，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 . 【变式训练2-12】已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 题型03：抛物线中多元最值问题 【典型例题1】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N， 设 ，则 ，MN为梯形ACDB的中位线，则 ，由AF⊥BF．可得 ，故，因为 当且仅当a=b时取等号，故， 【典型例题2】直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为-1，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．32 D．36 【解析】 设直线，联立则该直线与交点坐标， 直线，的斜率之积为-1， 所以直线，则该直线与交点坐标， 线段的中点，令，则 最小值为16，当或时取得最小值. 在和中，由余弦定理可得： ，两式相加可得： 其最小值为36，当或时取得最小值.故选：D 【典型例题3】，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．64 【解析】设直线的方程为，，，直线的方程为， 由，解得，即，，则， 由，解得，即，则， ，当且仅当时取等号， 的最小值为8．故选：C． 【变式训练3-1】已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【变式训练3-2】已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于M、N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【变式训练3-4】（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【变式训练3-5】（多选）已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．的最大值是 D．的最大值是 【变式训练3-6】已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是 . 【变式训练3-7】 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【变式训练3-8】已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且； (1)求抛物线C的方程； (2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值. 【变式训练3-9】如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为. (1)求抛物线方程； (2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值； (3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值. 【变式训练3-10】平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 题型04：以抛物线为情景的点线最值问题 【典型例题1】抛物线上一点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】设直线与相切，联立与得：， 由，得：，则直线为， 故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值， 由两平行线间距离公式得：.故选：A 【典型例题21】抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是__________. 【答案】 【分析】设抛物线上任意一点的坐标为，利用二次函数的配方法可求出该抛物线上一点到直线的最小值及其对应的值，进而求出所求点的坐标. 【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，则点到直线的距离为，当时，取得最小值，此时点的坐标为. 【典型例题3】已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【解析】由消去得， 因为，所以方程无解，即直线与抛物线无交点； 过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接， 因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，则到直线和的距离之和为， 若，，三点不共线，则有， 当，，三点共线，且位于之间时，，则， 又，所以，即所求距离和的最小值为. 故选：. 【典型例题4】过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，，切点分别为，，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线，的方程分别为，， 联立解得，.又直线，的方程分别可表示为，，将点坐标代入两方程，得所以直线的方程为，即， 所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为 【典型例题5】已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3) 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程即可； （2）对抛物线 求导，求出过点 的切线方程，从而得，可得，设直线 的方程为 ，求出的表达式，即可比较大小； （3）设直线，直线的方程，分别与抛物线联立方程组求出韦达定理的表达式，求得，，从而可得直线的方程，得出过定点要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，从而求出最大值. 【详解】（1）已知点 在抛物线 上， 将点 的坐标代入抛物线方程可得： ，即 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ； （2）抛物线 ，则 ， 当 时，切线斜率 ， 由点斜式可得过点 的切线方程为 ，即 ； 令 ，可得 ，所以 ； 由，可得 ， 所以 ， 设直线 的方程为 ， 联立 ，解得： ， ， 由韦达定理得 ， 根据抛物线的焦半径公式， ， 因为 ，所以 ，同理 ， 则 ， 所以 ；    （3）由题意知直线 的斜率必存在，故设直线，， 联立 ，解得， 由韦达定理得， 设直线方程为， 代入，有， 由，， 所以，同理可得； 所以直线的斜率 ， 由直线的点斜式可得直线：， 结合，化简得， 所以直线 过定点 ， 要使点 到直线 距离的最大，则只需 ， 从而最大值为.    【变式训练4-1】已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（       ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练4-2】抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（       ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（       ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式训练4-4】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-7】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】已知且，若定义，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练4-9】已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________. 【变式训练4-10】已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 . 【变式训练4-11】已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为________ 【变式训练4-12】已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【变式训练4-13】设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 【变式训练4-14】已知O为坐标原点，A，B为抛物线上异于点O的两个动点，且．若点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为 ． 【变式训练4-15】过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且与相交于点,与相交于点.分别以为直径的圆,圆为圆心)的公共弦记为,则点到直线的距离的最小值为 . 【变式训练4-16】已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是_______ 【变式训练4-17】设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【变式训练4-18】在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为. (1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长； (2)求曲线上的点到直线的最短距离. 题型05：抛物线与圆交汇的最值问题 【典型例题1】过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标． 【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，，此时取得最小值，四边形的面积 为，所以. 【变式训练5-1】已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【变式训练5-2】已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【变式训练5-3】已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为_________ 【变式训练5-4】如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练5-5】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________. 【变式训练5-6】已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________． 题型06：抛物线中焦点弦最值问题 【典型例题】已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【详解】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：，由题意可知，则，联立整理得：，设，，则，设，，同理可得：，由抛物线的性质可得：，，∴， 当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24. 【变式训练6-1】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练6-2】（多选）已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式训练6-3】已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，， 四个点，设，，则_____；的最小值为_______． 题型07：抛物线中面积最值问题 【典型例题1】已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐标原点，若，，垂足为M，则面积的最大值为（       ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设直线OA的方程为，与抛物线方程联立，得，因为，所以直线OB的方程为，与抛物线方程联立，得，当时，易知轴，不符合题意；当时，，所以直线AB的方程为，所以直线AB过定点，因为，所以点M的轨迹是以OD为直径的圆（不包含点O，D），所以点M到x轴距离的最大值为3，此时的面积最大，又，则面积的最大值为. 【典型例题2】设点为抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆的切线，分别交抛物线C于点，当时，求面积的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，因为在抛物线上，故设，设过的圆的切线方程为， 则，得，是此方程的两根，则，，设，因为直线与抛物线交于点， 由，得，，所以，同理， 直线方程是，即，则， 点到的距离为，又，， 所以＝，令， 则，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，所以，即时，取得最小值． 【典型例题3】在平面直角坐标系中，点为直线上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于两点，线段的中点为. （i）求的最大值； （ii）求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）连接，则，根据抛物线的定义求出轨迹方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，即可得到轴，轴，则，取线段的中点为，则直线为线段的垂直平分线，则，利用锐角三角函数求的最大值即可；（ii）依题意可得，结合（i）计算可得. 【详解】（1）连接，则， 则根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线． 则点的轨迹的方程为． （2）（i）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，， 联立，整理得，则， 所以，， 设，则，则， 直线的方程为， 同理：直线的方程为， 令得，，， 因为，所以，， 所以，， 所以轴，轴，所以， 取线段的中点为，则直线为线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以求最大，即最大， 因为 ， 所以当时，取得最大值，此时取最大值， 即的最大值为； （ii）因为，所以四边形的面积， 又， 所以 ， 所以当时，此时四边形的面积取得最小值. 【典型例题4】已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【变式训练7-1】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ） A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是 【变式训练7-2】（多选）曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 【变式训练7-3】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【变式训练7-4】抛物线上一动点为，焦点，以为直径的圆设为圆，当圆面积取最小时，圆的方程是______. 【变式训练7-5】已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________. 【变式训练7-6】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值. 【变式训练7-7】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切线． (1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)求△PAB的面积得最大值． 【变式训练7-8】已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 【变式训练7-9】已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、． (1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围； (2)求的取值范围． 【变式训练7-10】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值. 【变式训练7-11】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【变式训练7-12】已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【变式训练7-13】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【变式训练7-14】已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【变式训练7-15】已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点． (1)求双曲线C和抛物线E的方程； (2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围． 【变式训练7-16】已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值. 【变式训练7-17】过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【变式训练7-18】已知抛物线，点在C上，A关于动点的对称点记为M，过M的直线l与C交于，，M为P，Q的中点． (1)当直线l过坐标原点O时，求外接圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 【变式训练7-19】已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【变式训练7-20】设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【变式训练7-21】已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【变式训练7-22】过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为. (1)求直线的斜率； (2)设直线的方向向量为，计算的值； (3)求面积的最小值. 【变式训练7-23】在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 题型08：以抛物线为情景的斜率最值问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】 由题意：，，设点，，A在抛物线上，故， ，，由得，即， ，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立， 【典型例题2】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解； （2）设直线，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出的范围， 再根据，求取值范围即可. 【解析】 (1)由题意知，得，所以抛物线C的方程为． 将点代入，得，所以点A的坐标为． (2)直线与抛物线联立，消去y得， ，解得或．设，则有，则，即，又． 所以，则 因为，设，则， 因为，则，所以 因为或，所以k的取值范围是。 【变式训练8-1】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（       ） A．1 B． C． D． 【变式训练8-2】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练8-3】已知O为坐标原点，已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点P在C上，点Q满足，则直线OQ斜率的最大值是 ． 【变式训练8-4】已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的标准方程． （2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 题型09：以抛物线为情景的参数范围问题 【典型例题1】已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解析】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A 【典型例题2】设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线斜率的最大值为（ ） 【答案】C 【解析】由题意可知：设点坐标为，点坐标为.则的最大值，不妨设.,则，可得， 即，当且仅当等号成立. 则直线斜率的最大值。 【典型例题3】如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为． (1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程： (2)若存在点P，使得，求p的取值范围． 【答案】(1)；准线方程为直线 (2) 【分析】 (1)根据抛物线的焦点坐标即可以求p和其准线方程； (2)设，，表示出过A和B的切线方程，求出M和N点坐标，根据P在两直线上求出P点坐标，进而再求出T点坐标，表示出，，进而可以得到，从而可求，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆：有交点，据此即可求出答案. 【解析】(1)，．准线方程为直线． (2)设，，过点A的切线方程：，于是； 过点的切线方程：，于是；点在两条切线上，所以， 可得点P坐标为．且：，于是． ，， 而，所以．于是点，点P的轨迹方程为， 问题转化为抛物线与半圆：有交点． 记，则，又因为，解得：． 【变式训练9-1】已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则实数p的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________. 【变式训练9-4】已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________． 【变式训练9-5】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，记.当取最大值时，直线的方程为 . 【变式训练9-6】已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G. (1)若直线的斜率为求直线l的方程; (2)设点，若恒为锐角，求的取值范围. 【变式训练9-7】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【变式训练9-8】已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 【变式训练9-9】设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且满足． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于P．Q两点，与的面积相等，求实数a的取值范围． 【变式训练9-10】已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）. (1)求抛物线的方程； (2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围. 【变式训练9-11】已知点在抛物线：上 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值 题型10：抛物线与圆交汇的最值问题 【典型例题1】过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标． 【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，，此时取得最小值，四边形的面积 为，所以. 【变式训练10-1】如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【变式训练10-2】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________. 【变式训练10-3】已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________． 题型11：抛物线最值与向量交汇 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意：，，设点，，A在抛物线上，故， ，，由得，即， ，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立， 【变式训练11-1】已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ． 【变式训练11-2】已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______. 【变式训练11-3】已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. (1)求抛物线的方程； (2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 题型12：抛物线中焦点弦最值问题 【典型例题】已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【详解】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：，由题意可知，则，联立整理得：，设，，则，设，，同理可得：，由抛物线的性质可得：，，∴， 当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24. 【变式训练12-1】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【变式训练12-2】（多选）已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式训练12-3】已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，， 四个点，设，，则_____；的最小值为_______． 题型13：其它最值 【典型例题】已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相切的性质可得，利用二倍角公式可得，利用两点距离，结合二次函数的性质可得的最小值求解. 【详解】设圆心为，由题意作图如图，由与圆相切， 则，且， 故. 设，则，可得 故当取最小值，且最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用和将问题转化成求的最小值. 【变式训练13-1】设，点是抛物线上的动点，点到抛物线的准线的距离最小值为2. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； (3)证明：. 1．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线，其焦点为F，在上任取一点P，满足.当△POF的面积取得最大值时，相应的点P的坐标为（       ） A． B．或 C． D．或 2. 直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 3.已知点,曲线,直线)与曲线交于,两点, 若周长的最小值为,则的值为(　　) A. B. C. D. 4．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 5.已知为抛物线上一点，为该抛物线焦点，若点坐标为，则最小值为（ ） A. B. C. D. 6．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　） A． B． C． D． 8．已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为 (　　) A． B． C． D． 9. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．9 D．12 10.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线、与抛物线分别交于、和、两点，其中直线过点，，.若，则当取到最大值时，（ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 12．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 13．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 15．已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（       ） A． B． C． D． 16．（多选题）若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（       ） A． B．准线方程为 C．当时的面积为 D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 17．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（       ） A．抛物线的准线方程是 B．当轴时，取最小值 C．若，则的最小值为 D．以线段为直径的圆与轴相切 18．（多选题）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（       ） A． B．点P纵坐标的取值范围是 C．点N到圆心C距离的最小值为1 D．若l不经过原点，则周长的取值范围是 19．（多选题）已知抛物线的焦点为，若为抛物线上一点，直线的斜率为，且以为圆心的圆与的准线相切于点，则下列说法正确的是（       ） A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相交所得的弦长为15 C．外接圆的半径为4 D．若抛物线上两点之间的距离为8，则该线段的中点到轴距离的最小值为1 20．（多选题）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（       ） A．|PM| +|PF|的最小值为3 B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3 C．存在直线l，使得A，B两点关于对称 D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2 21. （多选题）已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 设点，则的最小值为 C. 若三点共线，则的最小值为 D. 若，的中点在的准线上的投影为，则 22．（多选题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（       ） A．若点，则的最小值是4 B． C．若，则直线的斜率为 D．的最小值是9 23．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是______. 24．已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为3，则抛物线方程为____________，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为__________. 25．如图，直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与直线交于点，当为抛物线上位于线段下方（含）的动点时，则面积的最大值为______. 26．已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________. 27．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________. 28．已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______. 29．已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________. 30．已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________． 31．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的取值范围为________. 32．已知直线l1:x－y－5=0和直线l2:y=－4，抛物线x2=16y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______ 33．已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为. (1)求， 的值； (2)已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值. 34．已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. (1)求抛物线的方程； (2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 35．已知点在曲线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值. 36．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设线段、长度分别为、，求的取值范围． 37．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为. (1)求抛物线方程； (2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值； (3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值. 38．如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、. (1)证明：以为直径的圆经过点； (2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围. 39．如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为． (1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程： (2)若存在点P，使得，求p的取值范围． 40.如图，抛物线上有三个不同的点（其中点的第一象限）， 抛物线的焦点在上，与轴交于点，且当点纵坐标为时，， （1）求抛物线方程； （2）求面积最小时，点的坐标. 41．已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为. (1)求， 的值； (2)已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值. 42．已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 43．已知点在曲线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 抛物线的最值范围 目 录 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 3 题型归纳 4 题型01：长度距离问题 4 题型02：距离和差 15 题型03：抛物线中多元最值问题 26 题型04：以抛物线为情景的点线最值问题 36 题型05：抛物线与圆交汇的最值问题 50 题型06：抛物线中焦点弦最值问题 54 题型07：抛物线中面积最值问题 57 题型08：以抛物线为情景的斜率最值问题 90 题型09：以抛物线为情景的参数范围问题 94 题型10：抛物线与圆交汇的最值问题 103 题型11：抛物线最值与向量交汇 106 题型13：其它最值 111 巩固提升 114 抛物线最值、范围是新高考圆锥曲线必考重难点，多出现在选择填空压轴、解答题第2问，分值4–12分。 常考：距离最值、面积最值、弦长/斜率/参数范围；命题以抛物线定义转化+代数函数求最值为主，结合韦达定理、二次函数、基本不等式、判别式考查，侧重数形结合与运算能力。 易错点：忽略定义域、判别式、不会用定义简化运算。 1. 知识目标：掌握抛物线定义、焦半径、几何性质；熟练几何法、代数法、不等式法、导数法四类求最值方法。 2. 能力目标：能快速识别题型、选择最优解法；规范运算，处理含参范围与边界检验。 3. 素养目标：提升数形结合、转化化归、逻辑推理、运算求解素养。 知识点一：抛物线取值范围问题 求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 知识点二：与抛物线有关的最值问题 最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决. 转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 求解直线与抛物线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③表示出所求三角形的面积，代入韦达定理的结论； ④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围） 解题总策略：先几何，后代数；先转化，再求最值；必验边界 1. 几何优先策略（小题、距离类首选） 利用抛物线定义（到焦点距离=到准线距离） 进行距离转化， ①动点到定点+到焦点距离 → 转化为到准线距离 ②最短距离：三点共线、垂直准线、两点之间线段最短 ③适用：抛物线上点到定点、焦点、准线的距离最值，计算最快。 2. 代数函数化策略（大题、面积/参数/范围通用） ① 设点/设直线，联立抛物线与直线方程 ② 用韦达定理表示目标量（弦长、面积、斜率、坐标） ③ 整理为单变量函数（二次函数、对勾函数、分式函数） ④ 结合定义域、对称轴、判别式求值域/范围 3. 不等式最值策略 出现乘积、和式结构时，用基本不等式求面积、长度最值； 注意：一正二定三相等，检验等号能否取到。 4. 边界检验策略（得分关键） 求范围必须检验3个边界： ①直线与抛物线相交： ②斜率存在性：k≠0、分母不为0 ③变量范围：抛物线上点的坐标范围、角度范围 一句话口诀（方便背诵） 距离先看定义转，面积联立函数算； 最值可用不等式，范围必查判别式。 题型01：长度距离问题 【典型例题1】在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 【典型例题21】设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为抛物线的准线为，焦点为， 所以过点作抛物线的切线，设切点， 所以，则，所以直线的方程分别为；，联立可得，所以，即， 又因为点在准线上，则，， 设直线的方程为：代入抛物线的方程可得：， 所以，则，所以直线过定点，又因为焦点，，所以点在以为直径的圆上，又因为的中点为，所以， 所以，故选：C. 【典型例题3】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为3. (1)求抛物线C的方程； (2)已知直线l交抛物线C于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则的最大值为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）方法1：由题分析设抛物线的标准式，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. 方法2：设出抛物线焦点在y轴上的一般式方程，由抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化成此点到准线的距离列式可得结果. （2）设出直线方程，联立直线方程与抛物线的方程，再联系已知可得k与n的关系式，再由弦长公式得到弦长关于k的函数，转化为求关于k的函数在固定区间上的最大值（方法1：应用基本不等式求最大值，方法2：换元法转化为二次函数在固定区间上的最大值）. 【详解】（1）方法1：∵抛物线的焦点在y轴上且过点，点M的纵坐标为正数， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， 由抛物线的定义知，，解得： ∴抛物线C的方程为. 方法2：∵抛物线的焦点在y轴上， ∴设抛物线的方程为，， ∴焦点，准线方程为， ∴由抛物线的定义知， ∴抛物线C的方程为. （2）设直线l方程为：，，， 则，，， ∴，  ① 又∵AB中点的纵坐标为2， ∴， ② ∴由①②得：， ∴，解得：， ， ∴ 方法1：∵， ∴，当且仅当即时去等号， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 方法2：令，∵，∴， 则，， 设，，则对称轴为， ∴在上单增，在上单减， ∴，此时， ∴，当且仅当时去等号， ∴的最大值为6. 【变式训练1-1】（多选）已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于两点，过作的切线交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．若点为，且直线与倾斜角互补，则或 C．点在定直线上 D．设点为，则的最小值为3 【解析】对于选项A，设，联立抛物线和直线整理可得， 利用韦达定理可知， 则， 将代入整理可得，即A正确； 对于B，若点为，且直线与倾斜角互补，则可知与都不重合，即； 所以，即，整理得 整理得，解得或； 当时，直线过点，不合题意；所以，即B错误； 对于C，易知直线恒过定点，如下图所示：    不妨设在第一象限，则在曲线上，易得 则在处的切线方程为，又, 整理可得，在处的切线方程为，同理则在曲线上，易得 则在处的切线方程为，且； 所以在处的切线方程为， 联立，解得，即切线交点的横坐标恒为3； 即点在定直线上，所以C正确； 对于D，设，则， 当且仅当时，，即的最小值为，即D错误. 故选：AC 【变式训练1-2】在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ． 【解析】设点坐标为，则，，又因为，所以， 由，得，所以，是抛物线上的点， 设，则, 因为，所以当时，取最小值，此时． 【变式训练1-3】已知抛物线：，过点作的切线，切点分别为，，且. (1)求的方程； (2)设，为上两点，为线段的中点（不在轴上），为坐标原点，直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点. （ⅰ）设，求的最小值； （ⅱ）求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，可设，得，利用导数求出切线的斜率结合斜率公式求出得解； （2）（ⅰ）设方程为，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出，得到，利用建立关系式求解；（ⅱ）法一，设出直线直线，，的方程求出点的坐标，利用斜率公式求解得证；法二，利用极点极线法，求出点关于曲线的极线的方程，得证. 【详解】（1）由题知，轴，设切点，则， 由，则，所以， ，可得， 所以抛物线的方程为. （2）（ⅰ）设方程为，，， 由，整理得， 于是，，，. 因为， ， 即， 又，所以. 于是，， 所以当时，的最小值为. （ⅱ）法一，由（ⅰ）知直线的方程为，，， 设，，又， 所以直线方程为，代入抛物线方程可得. 又直线的斜率， 设直线的方程为，直线的方程为. 将直线的方程代入直线的方程，可得，， 于是可得.同理. 所以直线的斜率 . 所以. 法二（极点极线） 因为， 所以点关于曲线的极线的方程为， 即，又因为直线的斜率， 所以，于是. 【变式训练1-4】已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值． 【解析】（1）依题意，设．由抛物线的定义得，解得：， 因为在抛物线上，所以，所以，解得：． 故抛物线的方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0． 设直线的方程为，，． 联立，整理得：， 则，从而． 因为是弦的中点，所以，同理可得． 则 ， 当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8． 【变式训练1-5】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）设过的直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再根据可得，设的方程分别为，则是的两根，再表达出的表达式，利用基本不等式求解即可 （1） 由焦半径公式有，解得，故抛物线，故， （2） 显然斜率不为0，故设过的直线方程为，联立抛物线方程有，即，设，则.. 设，则，因为，所以，即，代入韦达定理有，化简得. 设的方程分别为，则是的两根，故，.又与轴的交点分别为和，故，当且仅当时取等号 故的最大值为 【变式训练1-6】已知椭圆的短轴长为2，离心率为，抛物线的焦点为椭圆的右焦点. (1)求椭圆及抛物线的方程； (2)如图，过作直线l交抛物线于P，Q两点（P在Q的左侧），点Q关于x轴的对称点为，求证直线过定点N；并求当l的倾斜角为时，点M到直线距离d的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程. （2）设出的坐标，求得直线、直线的方程，结合点坐标证得直线过定点.求得当l的倾斜角为时直线的方程，结合点到直线的距离公式以及函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，因为离心率为，∴， ， ∴,∴椭圆， ，所以抛物线. （2）设，则， ， ∵， ∴， 同理可得， 把代入l得，所以， 所以直线过定点. 当l的倾斜为时，∴ ∴ ∴且， ∴， ， 令则，， ∵在上单调递减，∴. 【变式训练1-7】已知点是抛物线的焦点，准线与轴的交点为，点是抛物线上任一动点.当点的横坐标为8时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)设是抛物线的准线上的两个不同点，点的横坐标大于1，坐标原点到的边的距离都等于1，求的周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解. （2）设点，点，点，通过点到直线、的距离为1，得到是关于的方程的两个不等实根.从而得到根与系数的关系，从而求出面积的最小值，即可求出周长的最小值. 【详解】（1）将代入抛物线方程，得. 因为的面积为， 所以，解得 所以抛物线的方程为. （2）设点，点，点， 则直线的方程为，即. 由原点到直线的距离为1，可得， 故. 由条件知，上式化简得. 同理有. 所以是关于的方程的两个不等实根. 由根与系数的关系可得. 所以. 因为，所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 令，则. 因为， 上述两个不等式都当且仅当时取等号，所以， 故面积的最小值为. 因为原点到的三边距离都等于1，所以， 所以的周长为， 所以的周长的最小值为. 【变式训练1-8】已知抛物线上一点到其焦点的距离为2． (1)求p与m的值； (2)过点作直线交y轴于点A，交C于E，F两点，交y轴于点B，交C于G，H两点，点M在直线上，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）设过的直线方程为，，联立抛物线方程得出韦达定理，再根据可得，设的方程分别为，则是的两根，再表达出的表达式，利用基本不等式求解即可 （1） 由焦半径公式有，解得，故抛物线，故， （2） 显然斜率不为0，故设过的直线方程为，联立抛物线方程有，即，设，则.. 设，则，因为，所以，即，代入韦达定理有，化简得. 设的方程分别为，则是的两根，故，.又与轴的交点分别为和，故，当且仅当时取等号 故的最大值为 题型02：距离和差 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】 先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果． 【详解】 抛物线的焦点为，准线为且l过点，抛物线的准线方程是， 则抛物线的方程为，因为 ，点在抛物线内，过点作准线的垂线，垂足是， 在抛物线上，是抛物线的焦点，，当 三点共线时，（图中虚线位置），取到最小值，即最小值为， 【典型例题2】已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【解析】根据题意,作图如下： 设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得:. 所以要使取得最小值,只需最小. 因为(当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0. 因为P(x0,1)为抛物线上的点,则有，解得：. 当P为(,1)时, 取得最小值2.故选：B． 【典型例题3】已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段上时，最短，此时有最小值，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 抛物线的焦点为，准线方程为， 则由抛物线的定义知点到y轴的距离为， 则， 由图知，当共线，且在线段上时，最短， 此时，而， 则，所以. 故选：B 【典型例题4】（多选）已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（    ） A．满足的点恰有两个 B．满足面积为的点恰有三个 C．的最小值为3 D．的最小值为 【答案】BCD 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】对于选项A：依据线段垂直平分线上的性质得到的点在AF垂直平分线上，得到满足条件的只有一个. 对于选项B：由三角形面积公式得出.结合图形特点，判断有三个这样的点. 对于选项C：根据三角形两边之和大于第三边，.算出，得到最小值判断. 对于选项D：过作轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，.算出，得到最小值判断. 【详解】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误； 设到直线的距离为，，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确； 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确； 如图2，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值，故D正确． 故选：BCD． 【典型例题5】已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线的焦点为， 点是抛物线上的一动点， 则的最小值是 . 【答案】 【解析】抛物线的准线方程为，过点作垂直准线于点， 显然，当平行于轴时，取得最小值，此时， 此时 故答案为: . 【变式训练2-1】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 【变式训练2-2】已知抛物线C：的焦点为F，过点作直线l；的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】由题意得点轨迹方程，再由抛物线的定义转化后数形结合求解可得答案. 【详解】由l：得， 由，得，，所以直线，过定点． 所以点的中点坐标为，连接AM， 则，由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以的最小值为． 故选：D. 【变式训练2-3】已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 【变式训练2-4】设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，因为，且关于P的对称点为B， 所以|PA|=|PB|，抛物线焦点， 所以. 当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为.故选：A 等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值. 【详解】 因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，， 则， 当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立. 故选：A． 【变式训练2-5】点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】如图所示：由知，抛物线焦点， 由，化为， 即为以为圆心，1为半径的圆， 又，得，恒过定点， 过点作垂直于抛物线的准线：交于点，连接， 则， 当三点共线时，最小,此时为3， 所以的最小值为：，故选：A. 【变式训练2-6】已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（    ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【解析】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为， A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确； 中，过焦点的直线为，则，整理可得， 可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确； 中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则， 当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的解析可知： 由抛物线的方程可得：， 所以，当且仅当时取等号，所以正确； 故选：ACD． 【变式训练2-7】（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值. 【详解】 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确； 如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值. 【变式训练2-8】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确． 【详解】 由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的分析可知： 由抛物线的方程可得：， 所以，当且仅当时取等号，所以正确； 【变式训练2-9】已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由得， 所以直线过点． 连接AM，则， 由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设， 所以点Q的轨迹方程为（不包含点）， 记圆的圆心为， 过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ， 则， 当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立， 所以的最小值为． 【变式训练2-10】已知点是圆上一点，抛物线的准线与轴交于点是抛物线在第一象限上一点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、直线与抛物线交点相关问题、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求出，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点，可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则，求出代入即可得出答案. 【详解】设圆的圆心为，， 设直线的方程为， 联立可得：，解得：或， 因为是抛物线在第一象限上一点，所以， 所以，点可理解为以为焦点的动椭圆与圆的一个交点， 可理解为椭圆上一点到两个焦点的距离之和为， 根据椭圆的性质，， 因为焦距为，即， 当圆与动椭圆外切时最小即点到直线最近时最小， 此时，即， 点到直线的距离为：， 到直线的最小值为，即， 所以为最小值. 故答案为：. 【变式训练2-11】已知点，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 . 【解析】根据题意画出图像 动点满足，设，可得的轨迹为圆， 设，且，可得， 化简可得，， 所在方程又为，令，解得，此时满足， 可得，即，可得的最小值为的最小值， 当三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值， 设，的导数为，可得，解得 即，即有. 【变式训练2-12】已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，． (1)求抛物线的方程； (2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值 【解析】（1）由题知，∴，∴，抛物线的方程为． （2）设直线的方程为，设点，， 由方程组得:，∴， 即，且，， ∴， ，∵以为直径的圆经过点，∴，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴或，若， 直线：过点，不合题意，舍去．， ∴．则， 所以当时，最小，且最小值为11. 题型03：抛物线中多元最值问题 【典型例题1】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N， 设 ，则 ，MN为梯形ACDB的中位线，则 ，由AF⊥BF．可得 ，故，因为 当且仅当a=b时取等号，故， 【典型例题2】直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为-1，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A．16 B．20 C．32 D．36 【解析】 设直线，联立则该直线与交点坐标， 直线，的斜率之积为-1， 所以直线，则该直线与交点坐标， 线段的中点，令，则 最小值为16，当或时取得最小值. 在和中，由余弦定理可得： ，两式相加可得： 其最小值为36，当或时取得最小值.故选：D 【典型例题3】，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．64 【解析】设直线的方程为，，，直线的方程为， 由，解得，即，，则， 由，解得，即，则， ，当且仅当时取等号， 的最小值为8．故选：C． 【变式训练3-1】已知直线l与焦点为F的抛物线相交于M，N两点，且，线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】如图，利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】设，过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点A为线段的中点，所以点A到抛物线C的准线的距离为， 在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以（当且仅当时，等号成立）， 所以， 即的最小值为． 故选：A． 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解. 【变式训练3-2】已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线上一动点且在抛物线准线上的投影为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线定义的理解、轨迹问题——圆 【分析】根据题意，求得点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，再由抛物线得到，转化为，结合图象，得到当且仅当四点共线时，取得最小值，求得，即可求解. 【详解】因为，，且动点满足， 设，可得，整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 由抛物线，可得且准线方程为， 又因为点在抛物线的准线方程为的投影为， 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离相等，所以， 所以， 当且仅当四点共线时， 取得最小值，且， 所以. 即的最小值为. 故选：B. 【变式训练3-3】已知过抛物线焦点的直线交抛物线于M、N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【解析】由题意可得焦点，且直线斜率存在， 设直线的方程为：，，， 由可得，所以，， 由抛物线的定义可得：，， 所以， 因为，所以 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故选：A. 【变式训练3-4】（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．的最小值为-2 D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值. 【详解】如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确； 如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值. 【变式训练3-5】（多选）已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．的最大值是 D．的最大值是 【解析】由题意可知，点与圆心同在上， 所以过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以． 设，，，则， 同理可得，，则，得， 所以，由，得． 将代入抛物线C的方程，得，解得，故抛物线C的方程为，所以A错误，B正确． 设，作垂直准线于，如下图所示：    由抛物线的性质可得，所以，当最小时，的值最大， 所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即最小． 由题意可得，设切线MN的方程为， 联立方程组，消去x，得，由，可得， 将代入，可得，所以，即M的坐标为， 所以，，所以的最大值为，即C正确，D错误． 故选：BC 【变式训练3-6】已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是 . 【解析】，由抛物线的定义知等于到准线的距离， 记直线与准线的夹角为，可得， ①若斜率不存在，则原式， ②若斜率存在，当PA与抛物线相切时，最小， 设的直线方程为，联立得，由得，即， 故，此时 【变式训练3-7】 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以，所以抛物线C的方程为； 设，直线， 由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. 【变式训练3-8】已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且； (1)求抛物线C的方程； (2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值. 【解析】（1）依题意得：，∴，∴， 所求抛物线的方程为； （2）抛物线的方程为，即∴， 设，，则切线PA，PB的斜率分别为，. 所以切线PA：，∴，又，， 同理可得切线PB的方程为， 因为切线PA，PB均过点，所以，， 所以，为方程的两组解. 所以直线AB的方程为. 联立方程，消去x整理得， ∴，∴. ∴，，由抛物线定义可知，， 所以，∵， ∴，令， ∴原式， 即原式的最大值. 【变式训练3-9】如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为. (1)求抛物线方程； (2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值； (3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值. 【解析】（1）将点代入抛物线方程可得：，所以抛物线； （2）证明：设，与抛物线方程联立可得： ，∴， 因为直线PA，PB的倾斜角互补，用代k可得： 因此，，即. （3）解：由（2）可知，，， 因此， 到直线AB的距离，所以 ∵， ∴， 令，由，得 ∴ 当且仅当时取等号.所以的最大值为. 【变式训练3-10】平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． (1)求曲线的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、基本不等式求和的最小值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）设直线，，根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【详解】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1． 所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线， 所以，所以曲线的方程为：. （2）如图： 设直线，， 代入抛物线得：，得， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取等号. 则. . 题型04：以抛物线为情景的点线最值问题 【典型例题1】抛物线上一点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】设直线与相切，联立与得：， 由，得：，则直线为， 故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值， 由两平行线间距离公式得：.故选：A 【典型例题21】抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是__________. 【答案】 【分析】设抛物线上任意一点的坐标为，利用二次函数的配方法可求出该抛物线上一点到直线的最小值及其对应的值，进而求出所求点的坐标. 【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，则点到直线的距离为，当时，取得最小值，此时点的坐标为. 【典型例题3】已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D．6 【解析】由消去得， 因为，所以方程无解，即直线与抛物线无交点； 过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接， 因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，则到直线和的距离之和为， 若，，三点不共线，则有， 当，，三点共线，且位于之间时，，则， 又，所以，即所求距离和的最小值为. 故选：. 【典型例题4】过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，，切点分别为，，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线，的方程分别为，， 联立解得，.又直线，的方程分别可表示为，，将点坐标代入两方程，得所以直线的方程为，即， 所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为 【典型例题5】已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求抛物线的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3) 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线方程即可； （2）对抛物线 求导，求出过点 的切线方程，从而得，可得，设直线 的方程为 ，求出的表达式，即可比较大小； （3）设直线，直线的方程，分别与抛物线联立方程组求出韦达定理的表达式，求得，，从而可得直线的方程，得出过定点要使点 到直线 距离的最大，则只需 ，从而求出最大值. 【详解】（1）已知点 在抛物线 上， 将点 的坐标代入抛物线方程可得： ，即 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 ； （2）抛物线 ，则 ， 当 时，切线斜率 ， 由点斜式可得过点 的切线方程为 ，即 ； 令 ，可得 ，所以 ； 由，可得 ， 所以 ， 设直线 的方程为 ， 联立 ，解得： ， ， 由韦达定理得 ， 根据抛物线的焦半径公式， ， 因为 ，所以 ，同理 ， 则 ， 所以 ；    （3）由题意知直线 的斜率必存在，故设直线，， 联立 ，解得， 由韦达定理得， 设直线方程为， 代入，有， 由，， 所以，同理可得； 所以直线的斜率 ， 由直线的点斜式可得直线：， 结合，化简得， 所以直线 过定点 ， 要使点 到直线 距离的最大，则只需 ， 从而最大值为.    【变式训练4-1】已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（       ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，即直线是抛物线的准线. 抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和，也即是到直线与焦点的距离之和， 最小值为到直线的距离，即. 【变式训练4-2】抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离． 【详解】 因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线的距离公式可得所求的最小距离 . 【变式训练4-3】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（       ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 【分析】 设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值. 【详解】 如图， 分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，则 设直线的方程为，，，，.联立，整理得， 则，.，. 【变式训练4-4】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果. 【详解】 由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|， 当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，∵抛物线C：y2＝4x，∴焦点F（1，0）， ∴|FN|＝d＝，设直线l'与x轴的交点为D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3， 在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝． 【变式训练4-5】已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，其中，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求出点到直线距离的最小值，求出对应的值，即可得出点的坐标. 【详解】不妨设点，其中， 则点到直线的距离为， 故当时，取最小值，此时点的坐标为. 故选：C. 【变式训练4-6】已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离等于1，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答. 【详解】双曲线的渐近线，右焦点， 依题意，解得，因此抛物线的焦点也为， 所以，解得，所以抛物线的方程为，其准线为， 由，消去并整理得：，， 即直线与抛物线相离， 过点作于点交抛物线于点， 过作于点，交直线于点， 则有 ， 在抛物线上任取点，过作于点，作于点， 交准线于点，连，如图， 显然，， 当且仅当点与点重合时取等号， 所以抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可. 【变式训练4-7】已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为.      由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 【变式训练4-8】已知且，若定义，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据几何意义将转化为曲线上的点到抛物线上点的距离与抛物线上的点到焦点距离之和的最值性问题. 【详解】 设，，，垂直于直线，为垂足，为抛物线的焦点， 易得曲线过点的切线为，与之垂直的直线方程为，恰好通过点， 所以. 故选：D. 【变式训练4-9】已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________. 【答案】 【分析】 将点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和转化为点P到准线的距离与点P到直线的距离之和，再借助抛物线定义求解作答. 【详解】抛物线的焦点，准线，抛物线上的点P到y轴的距离等于它到准线距离减去1的差，由抛物线定义知，，令点P到直线的距离为，于是得点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和为，过P作于M，连PF，MF，过点F作于Q，交抛物线于点，如图， 显然，，当点P与点不重合时，有：， 则当点P是过焦点F作直线l的垂线与抛物线交点时，点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和取得最小值，此最小值为. 【变式训练4-10】已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 . 【解析】设，因为，所以， ，， ， 对称轴为，所以当时，取得最小值. 【变式训练4-11】已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为________ 【分析】设，由抛物线的定义可得，，设化简可得当时，取得最小值，求出的坐标，即可求解 【详解】因为抛物线，则焦点为，准线为， 又，，则点为抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为， 设，则，故， 由抛物线的定义可得， ， 又，则设故， 则， 当时，取得最小值为，则，， 将代入抛物线可得，所以 故选：A 【变式训练4-12】已知是抛物线上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：．    【变式训练4-13】设抛物线上一点到直线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求抛物线上一点到定直线的最值、求抛物线上一点到定点的最值、求点到直线的距离 【分析】根据抛物线的定义，将点到直线的距离转化为，由图可知，当三点共线时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】    抛物线的焦点为， 则点到直线的距离为， 作垂直于点， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【变式训练4-14】已知O为坐标原点，A，B为抛物线上异于点O的两个动点，且．若点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为 ． 【解析】由题意，直线均有斜率且不为0. 设直线的方程为，联立方程，解得点， ∵直线的方程为，∴， ∴直线的方程为，即， 令得，，∴直线必过定点， ∴当直线垂直于轴时，点到直线的距离的最大，∴，∴． 【变式训练4-15】过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线,且与相交于点,与相交于点.分别以为直径的圆,圆为圆心)的公共弦记为,则点到直线的距离的最小值为 . 答案: 解析:设,,由于,则, 直线与抛物线联立得,以为直径的圆方程为 化简得,同理得为直径的圆为, 直线的方程为,由得,所以,点到直线的距离为,当日仅当时等号成立. 【变式训练4-16】已知点P是抛物线C：y2＝4x上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是_______ 【分析】由抛物线的定义可知d1＝|PF|，过点F作FE⊥m，交直线m于点E，当P在线段EF上时，d1+d2取得最小值． 【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 过点F作FE⊥m，交直线m于点E， 点P到抛物线C的准线的距离为d1，到直线m：2x﹣y+3＝0的距离为d2， 由抛物线的定义可知，d1＝|PF|，所以当P在线段EF上时， d1+d2取得最小值， ． 故选：B． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于中档题． 【变式训练4-17】设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 【变式训练4-18】在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为. (1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长； (2)求曲线上的点到直线的最短距离. 【解析】（1）已知动点到点的距离等于点到直线的距离， 所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其标准方程为①， 因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，则直线的方程为②， 联立①②，消去并整理得，设点，，由韦达定理得， 此时； （2）不妨设点是抛物线上的点，则点到直线的距离， 易知当时，，故曲线上的点到直线的最短距离为．    题型05：抛物线与圆交汇的最值问题 【典型例题1】过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标． 【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，，此时取得最小值，四边形的面积 为，所以. 【变式训练5-1】已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、求平面两点间的距离 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 【变式训练5-2】已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 . 【答案】 【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解. 【详解】设抛物线上的点坐标为， 圆的圆心为，半径. 点到圆心的距离. 令，则，对其求最小值， 根据二次函数性质，当时，最小为. 则与两点间最短距离为.    故答案为：. 【变式训练5-3】已知抛物线，圆，P为E上一点，Q为C上一点，则的最小值为_________ 【分析】设，利用两点距离公式结合点在抛物线上有，再利用二次函数的性质和圆的半径即可得到答案. 【详解】由题意知,设，则, 所以当时,，又因为圆的半径为1，所以.    【变式训练5-4】如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵y2=x，焦点F（，0），准线 l0：x=﹣，由圆：（x﹣）2+y2=2圆心（，0），半径为；由抛物线的定义得：|AF|=xA+，又∵|AF|=|AB|+，∴|AB|=xA+同理：|CD|=xD+， 当AB⊥x轴时，则xD=xA=，∴|AB|+4|CD|=15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x﹣）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（k2+）x+8k2=0，∴xAxD=8，xA+xD=， ∴|AB|+4|CD|=（xA+）+4（xD+）=5+xA+4xD≥+2=13．当且仅当xA=4xD，即xA=2，xD=时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为故答案为：C. 【变式训练5-5】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________. 【答案】4 【分析】根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解. 【详解】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线的准线距离等于点P到焦点的距离相等，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小，其中，故， 【变式训练5-6】已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________． 答案： 【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，由可得， ，解得，即直线过定点，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心,半径， 过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为 则. 题型06：抛物线中焦点弦最值问题 【典型例题】已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【详解】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：，由题意可知，则，联立整理得：，设，，则，设，，同理可得：，由抛物线的性质可得：，，∴， 当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24. 【变式训练6-1】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【答案】ACD 【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确． 【详解】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的分析可知： 由抛物线的方程可得：，所以，当且仅当时取等号，所以正确； 【变式训练6-2】（多选）已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设出直线方程联立抛物线方程，得出根与系数关系，根据向量运算可判断A，结合图形及抛物线的定义可判断B，设，利用抛物线定义、三角函数及均值不等式判断C，根据抛物线定义，根与系数的关系及均值不等式判断D. 【详解】由可得，所以焦点，准线方程为，显然直线斜率存在，设直线方程为，，，如图，联立可得，所以， 对于A, ，故A错； 对于B，取AB的中点为N过分别作准线的垂线，垂足分别为, 则,即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与直线相切，故正确； 对于C，设,则，, 则， 所以，当且仅当且仅当时，即时等号成立，故正确； 对于D, ，当且仅当时等号成立，故正确. 【变式训练6-3】已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，， 四个点，设，，则_____；的最小值为_______． 【答案】16 74 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案． 【详解】由题意得，准线方程为，圆的圆心为，半径， 由题意设直线的方程为，联立消元得， ∴，，∴， ，由抛物线定义可得，当且仅当且即，时等号成立， 题型07：抛物线中面积最值问题 【典型例题1】已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，O为坐标原点，若，，垂足为M，则面积的最大值为（       ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意知直线OA的斜率存在且不为0，设直线OA的方程为，与抛物线方程联立，得，因为，所以直线OB的方程为，与抛物线方程联立，得，当时，易知轴，不符合题意；当时，，所以直线AB的方程为，所以直线AB过定点，因为，所以点M的轨迹是以OD为直径的圆（不包含点O，D），所以点M到x轴距离的最大值为3，此时的面积最大，又，则面积的最大值为. 【典型例题2】设点为抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，过点P作圆的切线，分别交抛物线C于点，当时，求面积的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，因为在抛物线上，故设，设过的圆的切线方程为， 则，得，是此方程的两根，则，，设，因为直线与抛物线交于点， 由，得，，所以，同理， 直线方程是，即，则， 点到的距离为，又，， 所以＝，令， 则，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，所以，即时，取得最小值． 【典型例题3】在平面直角坐标系中，点为直线上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于两点，线段的中点为. （i）求的最大值； （ii）求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.4 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）连接，则，根据抛物线的定义求出轨迹方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，即可得到轴，轴，则，取线段的中点为，则直线为线段的垂直平分线，则，利用锐角三角函数求的最大值即可；（ii）依题意可得，结合（i）计算可得. 【详解】（1）连接，则， 则根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线． 则点的轨迹的方程为． （2）（i）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，， 联立，整理得，则， 所以，， 设，则，则， 直线的方程为， 同理：直线的方程为， 令得，，， 因为，所以，， 所以，， 所以轴，轴，所以， 取线段的中点为，则直线为线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以求最大，即最大， 因为 ， 所以当时，取得最大值，此时取最大值， 即的最大值为； （ii）因为，所以四边形的面积， 又， 所以 ， 所以当时，此时四边形的面积取得最小值. 【典型例题4】已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【变式训练7-1】在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（    ） A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是 【解析】设：，，消可得. ，得，，∴，则或 ∵，∴，∴，，故A错； ：过，故B对； 设定点， ，当且仅当时，取等号，故C对； 又， 不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对. 故选：BCD. 【变式训练7-2】（多选）曲线C是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹，P为C上一点，则（   ） A．曲线C关于y轴对称 B．存在点P，使得 C．面积的最大值大于1 D．存在点P，使得 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程 【分析】A选项，由已知表示出曲线C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设结论成立，推理出曲线存在，符合题意；C选项，点P在椭圆上顶点时，面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点P，验证. 【详解】设曲线C上任意一点， 由题意可知C的方程为. 对于A，在方程中，用替代，方程不变，可得曲线C关于轴对称，故A正确； 对于B，若，则，所以这样的点P存在，故B正确； 对于C，，P应该在椭圆D：内（含边界）， 曲线C与椭圆D有唯一的公共点， 此时，， 当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故C不正确； 在曲线C上再寻找一个点，，若， 则，即，解得, 所以，故存在点，使，故D正确. 故选：ABD. 【变式训练7-3】（多选）已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【解析】抛物线C：，即，，，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确； 对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确； 对选项C：，时取等号，错误； 对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确. 故选：ABD 【变式训练7-4】抛物线上一动点为，焦点，以为直径的圆设为圆，当圆面积取最小时，圆的方程是______. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义，求出时圆的面积最小，再根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】由题意，抛物线的焦点，设点，由抛物线的定义知，，所以圆的面积，当时，圆的面积最小，此时点，，所以圆心，半径，所以圆：，即. 【变式训练7-5】已知抛物线，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________. 【答案】 【详解】圆的标准方程，则圆心为，半径为，设，，，所以，，所以四边形面积的最小值，故四边形面积的最小值， 【变式训练7-6】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程；(2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图， 由可得：，所以， 所以，代入直线方程得：，又当时，由得， 在抛物线开口方向内，，点的轨迹方程为：； (2)由（1）可知直线：，由   得：， 直线与抛物线交于，两点，即 则，   ， ，又， 令， ，，由得（负根舍去）， 知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，取得最大值， 时，. 【变式训练7-7】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点，P是圆M：（x+1）2+y2＝1上一点，PA，PB都是C的切线． (1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)求△PAB的面积得最大值． 【答案】(1)y2＝4x，x (2)8 【解析】(1)因为抛物线C经过点，所以，即p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x，所以准线方程为x； (2)设P（x0，y0），切线方程为x﹣x0＝m（y﹣y0），PA，PB的斜率分别为，， 由，得y2﹣4my+4my0﹣4x0＝0，令Δ＝0，得m2﹣y0m+x0＝0， 由韦达定理可得m1+m2＝y0，m1m2＝x0，且yA＝2 m1，yB＝2m2，所以A（m12，2m1），B（m22，2m2）， 于是kAB，所以直线AB的方程为（x﹣m12）＝y﹣2m1， 即2x﹣（m1+m2）y+2m1m2＝0，所以点P到直线AB的距离为d， |AB||m1﹣m2|， 所以S△PAB|AB|•d|m1﹣m2||2x0﹣（m1+m2）y0+2m1m2||2x0﹣y02+2x0| |4x0﹣y02|8（﹣2≤x0≤0）． 所以△PAB的面积得最大值为8． 【变式训练7-8】已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）令，可得，得到，求得，即可求得抛物线的方程； （2）设，直线AB的斜率为，得到，得到直线的方程，联立方程组得到，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积，令，得到，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【解析】 (1)由题意得抛物线的焦点为，在方程中，令，可得， 所以弦长为，即，解得，所以抛物线C的方程为． (2)由（1）知抛物线的方程为，设，直线AB的斜率为， 因为线段的中点在直线上，由可知直线OM的方程为， 设，所以，所以， 又，所以，即得， 设直线的方程为，即， 联立方程组，所以，所以，即， 由根据与系数的关系得， 则 ，又由点到直线的距离为， 所以， 记，因为，所以，所以， 令，可得，令，可得， 当时，；当时，， 所以当时，取得最大值，即有最大值为. 【变式训练7-9】已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与y轴、抛物线C相交于P，A，自下而上，记△、△的面积分别为、． (1)求AB中点M到y轴距离d的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】 （1）问题需求的取值范围，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理转化为求解二次函数的值域； （2）将用A，B两点的横坐标表示，从而结合韦达定理建立函数关系式，由满足的不等关系求解． 【解析】 (1)联立消去y，得，设，，则，， ∴； (2)由，由（1）知：， 由得：，解得或，又，故， 由得：，解得， ∴，故的取值范围为 【变式训练7-10】如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）设直线，，，，，，将，的坐标代入抛物线方程得到，再代入直线方程化简即可； （2）联立直线的方程和抛物线方程，将在面积表示出来，再利用求解即可． 【解析】 (1)由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图， 由可得：，所以， 所以，代入直线方程得：，又当时，由得， 在抛物线开口方向内，，点的轨迹方程为：； (2)由（1）可知直线：，由   得：， 直线与抛物线交于，两点，即 则，   ， ，又， 令， ，，由得（负根舍去）， 知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，取得最大值， 时，. 【变式训练7-11】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【答案】(1)；(2). 【分析】 （1）设直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，可得出，结合可得出的取值范围，进而可求得的取值范围，即可得解； （2）设点，计算得出的面积，令，记，则，求导，分析可知函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出点的横坐标的取值范围. 【解析】(1)由题意可设直线的方程为，则， 联立，可得， ，可得，① 设点、，由韦达定理可得，， 设点，则，， 将点的坐标代入抛物线的方程得，则， 代入①可得，可得，解得， 因此.因此，点的纵坐标的取值范围是. (2)设点，则点到直线的距离为， ，故的面积，② 将代入②得， 令，记，则，则， 因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点， 所以，，可得，③，因为点在椭圆的左上方，则，④ 由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是. 【点睛】圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 【变式训练7-12】已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A.B两点，点在第一象限，过点作直线AB的垂线，交轴正半轴于点，直线BC交直线AM于点．记的面积分别为． (1)求的准线方程； (2)证明：； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值， 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； （3）令，则，即，求出，进而得出，根据导数即可求解最小值及点的坐标． 【详解】（1）点满足，则，解得． 故，准线方程：． （2）如下图所示： 设直线，否则直线轴，不合题意)， 联立消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． （3）易知直线的斜率一定存在，如下图： 不妨令，则，代入抛物线方程可得，即， 由于，且直线AB的斜率， 故直线，即， 令，则得点的横坐标为， 由可得直线， 联立，解得点纵坐标， 因此， ， 记， 则 . 因为当时，， 所以时，时，， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取到最小值，此时． 【变式训练7-13】如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． 【解析】（1）由题意可设直线的方程为，则， 联立可得， ，可得，① 设点、，由韦达定理可得，， 设点，则，， 将点的坐标代入抛物线的方程得，则， 代入①可得，可得，解得， 因此.因此，点的纵坐标的取值范围是. （2）解：设点，则点到直线的距离为， ，故的面积，② 将代入②得， 令，记，则，则， 因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点， 所以，，可得，③ 因为点在椭圆的左上方，则，④ 由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是. 【变式训练7-14】已知抛物线，点是抛物线的焦点． (1)求点的坐标及点到准线的距离； (2)过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； (3)过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 【答案】(1)坐标为，距离为 (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）由抛物线的标准方程的定义即可得到焦点坐标和点到准线的距离； （2）设的方程为，与相交于，联立直线与抛物线方程，可得，又，得到关于的等式，同理可得，取倒数相加可求得其为定值； （3）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立即可得点坐标，则可求得，再利用角平分线的性质得，由此可求得点的轨迹为一个挖去了两个点的圆，且圆心在直线上，进而得到面积的最大值. 【详解】（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为，点到准线的距离为； （2）由已知可知直线的斜率均存在且不等于并过点， 设的方程为，则的斜率为，设与相交于， 由得，则，， ，同理可得， 所以； （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，， 不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 【变式训练7-15】已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与C的一个交点． (1)求双曲线C和抛物线E的方程； (2)过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求面积的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入点结合双曲线的实轴长为2可得双曲线方程，根据抛物线的准线方程可得抛物线方程； （2）设直线方程为，，根据导数的几何意义求得切线的方程，联立可得的坐标，再代入双曲线方程，结合面积表达式求解范围即可 【详解】（1）由题，，又点在双曲线上，故，解得， 故双曲线方程为； 又点过抛物线的准线，故，即， 故 （2）显然直线斜率存在，故设直线方程为，， 联立有， 故，又，， 故切线 ，结合整理得， 同理切线， 联立解得，即，故. 又 ，且，即，故， 又在双曲线上故，故， 故面积的取值范围为 【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线方程的求解，同时也考查了联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理化简并表达面积的问题，同时也考查了求导求切线方程的方法与面积的范围问题等，属于难题 【变式训练7-16】已知抛物线，圆与抛物线有且只有两个公共点. (1)求抛物线的方程； (2)设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点，直线分别交抛物线于点（点不与点重合）.记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立抛物线和圆的方程并消元，由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根，由且根为正数解出，得出抛物线的方程； （2）设直线的方程为，代入圆的方程中，消去，可得的纵坐标；设直线的方程为，代入抛物线方程，可得的纵坐标；将和的面积用公式表示，并转为坐标形式，利用韦达定理和参数的范围，求出最大值． 【详解】（1）由, 得，即. 由对称性可得关于的方程有两个相等的正的实数根， 所以，且， 解得， 所以抛物线C的方程为. （2）由题意，知直线的斜率不为，故设直线的方程为， 如图，设，，，. 将直线的方程代入圆的方程中，消去，得， 所以，所以，且. 直线的方程为，代入抛物线方程， 消去，得，解得或，所以. 同理，得， 所以 ， 所以当时，取得最大值，为. 【变式训练7-17】过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，直线恰为抛物的准线. (1)求抛物线的标准方程； (2)设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，设中点为. （i）求直线的斜率； （ii）设面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）0；（ii）48 【分析】（1）设直线与轴交于，由几何性质易得：，即可解决；（2）设，（i）中，由于中点在抛物线上，得，将，代入联立得点纵坐标为，即可解决；（ⅱ）由（i）得点，，又点在圆上，得，可得：即可解决. 【详解】（1）设直线与轴交于. 由几何性质易得：与相似， 所以， ， 即：，解得：. 所以抛物线的标准方程为：. （2）设 （i）由题意，中点在抛物线上，即， 又，将代入， 得：， 同理：， 有，此时点纵坐标为， 所以直线的斜率为0. （ⅱ）因为， 所以点， 此时， ， ， 所以， 又因为点在圆上，有，即，代入上式可得： ， 由， 所以时，取到最大价. 所以的最大值为48. 【变式训练7-18】已知抛物线，点在C上，A关于动点的对称点记为M，过M的直线l与C交于，，M为P，Q的中点． (1)当直线l过坐标原点O时，求外接圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意解得抛物线方程，设直线方程，代入抛物线方程，利用M为P，Q的中点解出P，Q的坐标，利用圆上三点求圆的方程； （2）把面积表示为的函数，利用导数研究单调性求最大值. 【详解】（1）由点在C上，代入，解得，即． 因为M为A关于动点的对称点，所以． 设直线， 联立整理得， 则， ，， 由M为P，Q的中点，得，故， 由，解得， 由直线l过坐标原点O，得，则， 解得，，即，， 设外接圆的一般方程， 代入，，， 解得，，，即， 即外接圆的标准方程为． （2）由（1）可知，， A到直线的距离为， 则面积， ，由，解得， 当，，S单调递增；当，，S单调递减； 故，面积的最大值． 【点睛】思路点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理. 【变式训练7-19】已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的参数范围问题、利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线的斜率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得最值，可得答案. 【详解】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线. 设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是. （2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为， 联立可得：，， 则， . 故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴. （ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以， ， 则， 令，则， 令，则，解得； 令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减， ，所以的取值范围为. 【变式训练7-20】设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，． (1)求曲线的方程； (2)设直线的方程为，求直线的斜率； (3)若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）求出的坐标，即可得到的坐标，从而求出抛物线方程； （2）设，，，，联立直线与抛物线方程，求出，的坐标，再由向量的关系求出的坐标，即可得解； （3）推导出，同理，即可得到，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出过定点坐标，再求出的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由为线段的中点，可得， 所以曲线的方程为； （2）设，，，， 联立，消去x整理得，解得，， 则，， 因为，则， 因为，，则，所以， 所以，，即，直线的斜率为； （3）因为，，，， 所以，， 因为，所以 因为，，，， 所以，① 由代入①得， 由得， 因为，，所以，所以，同理， 所以且， 所以，因为，所以， 所以，得，即， 设，联立消去x，得， 所以，所以，则，所以过定点， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以四边形面积的最小值为 【变式训练7-21】已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【答案】(1) (2) 或 【难度】0.4 【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、直线与抛物线交点相关问题 【分析】(1) 设，根据圆与y轴相切，可得，化简即可； (2) 由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，与抛物线联立，得韦达定理，设直线的倾斜角为，分别表示出和，求出的表达式，设，则 ，利用导数求最值即可求解. 【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为， 根据圆与y轴相切，可得， 化简得 ， 所以C的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设直线：，， 联立， 所以， 设直线的倾斜角为，则 所以， 所以 ， ， 设，则 ， 所以， 当在上单调递增，当在上单调递减， 所以当时，即时，面积最小，此时， 故直线的方程为： ，即 或.    【变式训练7-22】过作直线交抛物线于两点，已知，抛物线在点处的切线为，过点作平行于的直线，设直线与抛物线另一交点为，线段的中点为. (1)求直线的斜率； (2)设直线的方向向量为，计算的值； (3)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3)16 【难度】0.15 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数、求抛物线的切线方程 【分析】（1）设直线：，联立方程利用韦达定理可得，设切线，联立方程根据运算求解； （2）根据题意可知的方程为，联立方程利用韦达定理求点，结合向量的坐标运算求解； （3）可知为面积的2倍，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，设为， 联立方程，消去x得， 则，即，抛物线方程为， 设，切线， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 所以直线的斜率. （2）由（1）可知：，的方程为， 设， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 则，即， 可得，即， 则可取，则，可得， 则 ， 所以 （3）由（2）知的纵坐标相等，故为面积的2倍， 因为的面积为 ， 当且仅当时取得等号. 所以面积的最小值为16. 【变式训练7-23】在直角坐标系xOy中，动点Q（y轴右侧）到点的距离比到y轴的距离大1.记动点Q轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设为曲线C的内接直角三角形（A在第一象限，M在B的下方），且M为直角顶点，若的重心G在x轴上. （ⅰ）求证：直线AB过定点； （ⅱ）设直线AB经过的定点为P，AM与x轴交于H，设的面积为，的面积为，则的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）的取值范围为 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】（1）由题意可得动点Q到点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可求轨迹方程； （2）（ⅰ）设，利用点在曲线上，可得，同理求得，结合已知可得，进而结合已知可得，结合直线的方程可求定点；（ⅱ）设，且，由题意可得，利用换元法可求得的取值的范围. 【详解】（1）依题意可知动点Q到点的距离等于到直线的距离， 所以动点Q的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以C的方程为； （2）（ⅰ）设， 因为在曲线上，所以，两式相减得：， 则理可得，， 因为为直角三角形，所以， 所以，即， 则， 又因为的重心G在x轴上，则有，即， 所以，直线的方程为， 所以直线的方程为，所以直线过定点； （ⅱ）设，且， 因为是的重心，所以， 不妨设，所以，， 所以，又因为， 所以，令，所以， 又因为在的下方，所以，即，即， 令，即， 设，则在为增函数， 所以，即. 题型08：以抛物线为情景的斜率最值问题 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】 由题意：，，设点，，A在抛物线上，故， ，，由得，即， ，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立， 【典型例题2】已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解； （2）设直线，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出的范围， 再根据，求取值范围即可. 【解析】 (1)由题意知，得，所以抛物线C的方程为． 将点代入，得，所以点A的坐标为． (2)直线与抛物线联立，消去y得， ，解得或．设，则有，则，即，又． 所以，则 因为，设，则， 因为，则，所以 因为或，所以k的取值范围是。 【变式训练8-1】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值. 【详解】 因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.∴k有最大值， 【变式训练8-2】已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，    因为抛物线为，所以， 则，所以，则， 注意到，故，即， 又，代入可得， 故，即，解得， 当且仅当时，等号成立，因而.故选：B. 【变式训练8-3】已知O为坐标原点，已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点P在C上，点Q满足，则直线OQ斜率的最大值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数，进而得到抛物线方程，再利用给定条件表示出目标式，再分类讨论并结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为， 因为拋物线的焦点到准线的距离为2， 且该抛物线焦点到准线的距离为， 所以该抛物线的方程为. 如图，设，则，    所以，由在抛物线上可得， 即，所以直线的斜率为， 当时，；当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，直线的斜率的最大值为. 故答案为：. 【变式训练8-4】已知抛物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． （1）求抛物线的标准方程． （2）已知过点且互相垂直的直线与分别交于点与点，线段与的中点分别为．若直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）抛物线的准线方程为， 设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以抛物线的标准方程为． （2）设， 由题意可知，的斜率存在且均不为0， 设直线的方程为， 将其代入，得，则有． 同理可得：设直线的方程为，则． 所以， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又易知，所以的取值范围为． 题型09：以抛物线为情景的参数范围问题 【典型例题1】已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解析】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A 【典型例题2】设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且,则直线斜率的最大值为（ ） 【答案】C 【解析】由题意可知：设点坐标为，点坐标为.则的最大值，不妨设.,则，可得， 即，当且仅当等号成立. 则直线斜率的最大值。 【典型例题3】如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为． (1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程： (2)若存在点P，使得，求p的取值范围． 【答案】(1)；准线方程为直线 (2) 【分析】 (1)根据抛物线的焦点坐标即可以求p和其准线方程； (2)设，，表示出过A和B的切线方程，求出M和N点坐标，根据P在两直线上求出P点坐标，进而再求出T点坐标，表示出，，进而可以得到，从而可求，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆：有交点，据此即可求出答案. 【解析】(1)，．准线方程为直线． (2)设，，过点A的切线方程：，于是； 过点的切线方程：，于是；点在两条切线上，所以， 可得点P坐标为．且：，于是． ，， 而，所以．于是点，点P的轨迹方程为， 问题转化为抛物线与半圆：有交点． 记，则，又因为，解得：． 【变式训练9-1】已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案. 【详解】设直线与抛物线相切，联立，得，， ∵，∴,由题意得，直线与直线的距离， 即，解得，∴, 【变式训练9-2】已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则实数p的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在关于直线对称的相异两点，第一步设出直线方程，联立方程根与系数的关系，求出中点坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点是，设直线的方程为．将代入抛物线方程，得，则，则的中点P的坐标为．因为点P在直上，所以，即． 又，将代入得，即，解得 【变式训练9-3】已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】过M作C的一条切线，切点为Q，设，根据在抛物线上存在点N，使得，得到，然后求得当时的即可. 【详解】过M作C的一条切线，切点为Q，如图所示： 设，因为在抛物线上存在点N，使得，所以，当时，直线MQ的方程为，将代入，可得，由，解得， 所以的取值范围为. 【变式训练9-4】已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】设，所以的中点坐标为，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的两个实数根，所以， 所以，故，由于直线与轴交于点，所以，即，因为对勾函数的取值范围是， 所以， 【变式训练9-5】已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，记.当取最大值时，直线的方程为 . 答案： 【详解】依题意，，.设，则，，故，当时，，当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以当取最大值时，或，故直线ON的方程为。 【变式训练9-6】已知动直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于两点，且点M在x轴上方，O为坐标原点，线段的中点为G. (1)若直线的斜率为求直线l的方程; (2)设点，若恒为锐角，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 设出直线方程，联立抛物线方程，表达出G点坐标，由直线OG的斜率列出方程，求出直线方程； （2）将恒为锐角转化为，等价于对任意的恒成立，根据二次函数根的分布，列出不等式组，求出的取值范围. 【解析】 (1)由题意得， 设直线的方程为，线段的中点 ． 联立方程，整理得：， 由韦达定理得：． ，即．∵直线的斜率为，，解得：或， ∴直线l的方程为：或． (2)为锐角，等价于．设，则， 故恒成立． 令，则，原式等价于对任意的恒成立， 即 对任意的恒成立．令 ． ①，解得：； ②，解得：．又 ，故． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】圆锥曲线中求解取值范围的题目，通常要设出直线，与圆锥曲线联立，根据两根之和与两根之积进行代入化简，最后利用基本不等式，二次函数根的分布或导函数等进行求解. 【变式训练9-7】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点． (1)求p的值和抛物线的焦点坐标； (2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求解；（2）利用向量处理，结合韦达定理代换整理，注意讨论直线l斜率是否存在． 【详解】（1）因为抛物线的准线是，所以抛物线的焦点坐标，所以； （2）因为点M是抛物线的准线上的动点，设． （ⅰ）若直线l的斜率不存在，则． 由得， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以； 因为，所以， 即，所以， 所以因为，所以①． （ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则．设． 由得，所以， 且，所以（*）， 因为，所以，即，所以， 所以，得， 因为，所以， 即，所以， 所以 则 所以，得， 所以②， 代入（*）得，，所以③， 由②得，所以④， 所以，所以，⑤ 由④，⑤知， 综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是． 【变式训练9-8】已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，O为坐标原点，且. (1)抛物线E的标准方程； (2)如图所示，过点和点分别作两条斜率为k的平行弦分别和抛物线E相交于点A，B和点C，D，得到一个梯形ABCD.记梯形两腰AD和BC的斜率分别为和，且. （i）试求实数k的值； （ii）若存在实数，使得，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)设点，根据题意和抛物线的定义求出p的值即可； (2)设点、、、，根据两点求直线斜率公式可得的表达式，结合题意列出关于的方程，求出，进而得出直线的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，求出梯形的面积，得到与的关系式，结合的范围计算即可. 【详解】（1）设点，∵，∴， ∴，∴， 所以抛物线E的标准方程为. （2）(i)设点，，，， 则， 同理：，，. 又因为，所以，即， 所以，即，∴. （ii）由（i）得：代入可得：， 所以， 点O到直线AB的距离为. ∴. 同理可求得：. ∴， ∴， ， ∵，∴. 综上，实数的取值范围为. 【变式训练9-9】设抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且满足． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的两直线的倾斜角互补，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于P．Q两点，与的面积相等，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离即可求解答. （2）联立直线与抛物线方程，得到根与系数的关系，由弦长公式求长度，由点到直线的距离求高，进而可得三角形的面积即可求解. 【详解】（1）依题意，点是抛物线C上的一点，点M到焦点的距离为3， 所以， 所以抛物线方程为 （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线，所以设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得 将t用代换，可得， 由，可得， 化简可得，两边平方得， 所以，解得， 又由且，可得或，可知 所以，即，所以，所以实数a的取值范围是 【变式训练9-10】已知抛物线上一点，抛物线的焦点在以为直径的圆上（为坐标原点）. (1)求抛物线的方程； (2)过点引圆的两条切线、，切线、与抛物线的另一交点分别为、，线段中点的横坐标记为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设可得，据此可求，从而可得，故可得抛物线的方程. （2）设切线的方程为，切线的方程为，根据相切可得满足的方程，再联立直线方程与抛物线方程后可用表示两点，从而用表示中点的横坐标，结合满足的方程（结合韦达定理）可得中点横坐标的一元函数，故可求其范围. 【详解】（1）由已知条件可得，， 解得 ，所以，抛物线的方程为. （2）由题意可知，过引圆的切线斜率存在， 设切线的方程为， 则圆心到切线的距离， 整理得，.， 设切线的方程为, 同理可得. 所以，是方程的两根， .     设，， 由，得， 由韦达定理知， 所以，同理可得. 设点的横坐标为，则 .   设，则， 所以，对称轴，则 【变式训练9-11】已知点在抛物线：上 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值 【解析】（1）将点代入抛物线：中，可得，得， ∴抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的方程为， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 联立，整理可得， 则，，，故.∴， ∵，∴，即，∴，， 解得，∴， ∴，当且仅当时取等号.∴的最小值为8. 题型10：抛物线与圆交汇的最值问题 【典型例题1】过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标． 【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，，此时取得最小值，四边形的面积 为，所以. 【变式训练10-1】如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵y2=x，焦点F（，0），准线 l0：x=﹣，由圆：（x﹣）2+y2=2圆心（，0），半径为；由抛物线的定义得：|AF|=xA+，又∵|AF|=|AB|+，∴|AB|=xA+同理：|CD|=xD+， 当AB⊥x轴时，则xD=xA=，∴|AB|+4|CD|=15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x﹣）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（k2+）x+8k2=0，∴xAxD=8，xA+xD=， ∴|AB|+4|CD|=（xA+）+4（xD+）=5+xA+4xD≥+2=13．当且仅当xA=4xD，即xA=2，xD=时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为故答案为：C. 【变式训练10-2】已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________. 【答案】4 【分析】根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解. 【详解】连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线的准线距离等于点P到焦点的距离相等，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小，其中，故， 【变式训练10-3】已知点，动点满足以为直径的圆与轴相切，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为________． 答案： 【详解】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点到直线的距离，故动点的轨迹为，由可得， ，解得，即直线过定点，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心,半径， 过做垂直准线，垂足为，过做垂直准线，垂足为 则. 题型11：抛物线最值与向量交汇 【典型例题1】已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意：，，设点，，A在抛物线上，故， ，，由得，即， ，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立， 【变式训练11-1】已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 由已知，，. 如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则， 因为，，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练11-2】已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______. 【答案】3 【分析】由题可知AB是圆的直径，，问题转化为求抛物线上点P到圆心C的距离的平方减1的最小值. 【详解】∵圆的圆心为C(2，0)，半径r＝1，，∴AB是圆的直径，C是AB的中点，连接PC、PA、PB.设. ＝，当且仅当m＝0时取等号. 【变式训练11-3】已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. (1)求抛物线的方程； (2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 【答案】(1)(2)32 【分析】 （1）设，列方程组，求出，即可得到抛物线的方程； （2）设点，利用是以为斜边的等腰直角三角形，表示出，用坐标表示出利用基本不等式求出的最小值. 【解析】 (1)设点，由已知，则，即. 因为，则，所以抛物线的方程是. (2)设点，直线的斜率为， 因为，则直线的斜率为. 因为，则，得，① 因为，则，即，② 因为，则，即③ 将②③代入①，得，即，则， 所以 因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32. 题型12：抛物线中焦点弦最值问题 【典型例题】已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【详解】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：，由题意可知，则，联立整理得：，设，，则，设，，同理可得：，由抛物线的性质可得：，，∴， 当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24. 【变式训练12-1】（多选）已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（       ） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【答案】ACD 【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确． 【详解】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的分析可知： 由抛物线的方程可得：，所以，当且仅当时取等号，所以正确； 【变式训练12-2】（多选）已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（       ） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】设出直线方程联立抛物线方程，得出根与系数关系，根据向量运算可判断A，结合图形及抛物线的定义可判断B，设，利用抛物线定义、三角函数及均值不等式判断C，根据抛物线定义，根与系数的关系及均值不等式判断D. 【详解】由可得，所以焦点，准线方程为，显然直线斜率存在，设直线方程为，，，如图，联立可得，所以， 对于A, ，故A错； 对于B，取AB的中点为N过分别作准线的垂线，垂足分别为, 则,即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与直线相切，故正确； 对于C，设,则，, 则， 所以，当且仅当且仅当时，即时等号成立，故正确； 对于D, ，当且仅当时等号成立，故正确. 【变式训练12-3】已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线和圆于，，， 四个点，设，，则_____；的最小值为_______． 【答案】16 74 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，由题意设直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义、结合基本不等式即可求得答案． 【详解】由题意得，准线方程为，圆的圆心为，半径， 由题意设直线的方程为，联立消元得， ∴，，∴， ，由抛物线定义可得，当且仅当且即，时等号成立， 题型13：其它最值 【典型例题】已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相切的性质可得，利用二倍角公式可得，利用两点距离，结合二次函数的性质可得的最小值求解. 【详解】设圆心为，由题意作图如图，由与圆相切， 则，且， 故. 设，则，可得 故当取最小值，且最小值为， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用和将问题转化成求的最小值. 【变式训练13-1】设，点是抛物线上的动点，点到抛物线的准线的距离最小值为2. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、抛物线中的参数范围问题、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】（1）根据题设有，设，应用两点距离公式及导数求距离最小值； （2）由题设有，结合，应用差角正切公式得，分类讨论求的范围，即可的取值范围； （3）结合（2）的分析有，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则抛物线， 设点，则， 记，则， 因为，所以，解得. 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，故的最小值为. （2） 依题意及（1），知， 由或， 根据到角公式，得：. 当时，，则； 当时，， 所以，则； 当时，， 所以，则. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，且，所以. 1．在平面直角坐标系xOy中，有一条抛物线，其焦点为F，在上任取一点P，满足.当△POF的面积取得最大值时，相应的点P的坐标为（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.该抛物线的准线方程为，设点P的横坐标为m，则，可得到，当△POF面积取得最大值时，相应的点P的横坐标m=2，故相应的点P的坐标为或. 2. 直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可. 【详解】由抛物线焦点弦的性质可知，则， 当且仅当时等号成立.即的最小值是9. 3.已知点,曲线,直线)与曲线交于,两点, 若周长的最小值为,则的值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 【详解】由题意得曲线是由两抛物线和构成,设直线与轴交点为,抛物线的焦点为,则由对称性可知的周长为,当三点共线时取最小值, ,解得. 4．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】 过过点作抛物线的准线的垂线，为垂足，则，结合圆的性质可得答案. 【详解】 可转化为，则圆心为，半径为1.因为的最小值为3，点Q为圆上一动点，设抛物线的准线为，则的方程为： 过点作,为垂足，则如图，则.由，可得， 5.已知为抛物线上一点，为该抛物线焦点，若点坐标为，则最小值为（ ） A. B. C. D. 答案：B 【分析】利用抛物线的定义，转化为到准线的距离就是的最小值，即可得出结论. 【详解】将代入抛物线方程，得，∵，∴在抛物线内部，设抛物线上的点到准线的距离为，由定义知，所以当时，最小，最小值为. 6．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大. 设切点为，切线的斜率为，由切线方程得到，即得到韦达定理，设，化简代入韦达定理得解. 【详解】 如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大.由得，所以.设切点为，切线的斜率为，所以切线方程为, 因为切线过点，所以，即.因为有两个切点，所以，设，则有， 所以， 所以，代入韦达定理得或. 因为，所以. 7．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1+d2最小时，cos∠MFO＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果. 【详解】 由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l'，垂足为N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，当M、F、N三点共线时，d1+d2最小，∵抛物线C：y2＝4x，∴焦点F（1，0），∴|FN|＝d＝，设直线l'与x轴的交点为D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝． 8．已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一:设,,直线方程为 取方程,得 ，∴ 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 ，当且仅当(或)时,取得等号． 法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为，根据焦点弦长公式有: ． 故选A． 法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而，则,代入抛物线中,可得，设对应的参数分别为,则有 所以 同理可得，所以． 法四:设点,则 ，设直线的方程为 联立直线与抛物线方程消去可得 所以,所以，同理 所以(当且仅当时等号成立) 9. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】当直线的斜率不存在时，可得，从而可得，利用焦点弦公式求出；当直线的斜率存在时，设出直线方程：，将直线方程与抛物线方程联立，可得，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知，当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，则，整理可得，所以，所以，当且仅当时，取等号， 故的最小值为9.故选：C 10.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线、与抛物线分别交于、和、两点，其中直线过点，，.若，则当取到最大值时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，可知，设，，，由抛物线定义可得.因为，即，所以. 由余弦定理可得， 当且仅当时等号成立，故的最大值为，此时为等边三角形，不妨直线的方程为，联立，消去y得，故，，故.故选：B. 11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 作辅助线，利用抛物线的定义可知直角梯形的两底分别等于，利用梯形的中位线定理表示出d，进而表示出，再根据基本不等式求得最小值. 【详解】 如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N， 设 ，则 ，MN为梯形ACDB的中位线，则 ， 由AF⊥BF．可得 ，故， 因为 当且仅当a=b时取等号，故， 12．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 过过点作抛物线的准线的垂线，为垂足，则，结合圆的性质可得答案. 【详解】 可转化为，则圆心为，半径为1.因为的最小值为3，点Q为圆上一动点，设抛物线的准线为，则的方程为： 过点作,为垂足，则如图，则.由，可得， 13．已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，点，，设取最小值和最大值时对应的点分别为，，且，则（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大. 设切点为，切线的斜率为，由切线方程得到，即得到韦达定理，设，化简代入韦达定理得解. 【详解】 如图所示，与抛物线相切时，最小，与抛物线相切时，最大.由得，所以.设切点为，切线的斜率为，所以切线方程为, 因为切线过点，所以，即.因为有两个切点，所以，设，则有， 所以， 所以，代入韦达定理得或. 因为，所以. 14．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】C 【解析】 【分析】 设出直线，的方程，可知，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可得，利用基本不等式的性质，即可求得的的最小值. 【详解】 解：抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2： 由题意可知，则，联立整理得： 设，，则，设，，同理可得： 由抛物线的性质可得：， ∴， 当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24. 15．已知过的直线与抛物线交于，两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则两点、纵坐标的比值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先设出直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得中点的坐标，并求出直线的方程，与抛物线联立，求得点的纵坐标，即可求得的范围. 【详解】 设直线，代入得，，，，直线， 代入得，. 16．（多选题）若抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则（       ） A． B．准线方程为 C．当时的面积为 D．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】 结合抛物线上的点到焦点的距离的最小值求得，进而求得准线方程，结合抛物线的定义来求得的面积，结合抛物线的定义来求得到、的距离之和的最小值. 【详解】 到焦点的距离等于到准线的距离，到焦点距离最小时，到准线的距离最小， 即为原点时，到焦点的距离最小为，也即，抛物线的准线方程为，A选项错误，B选项正确.抛物线方程为，对于C选项，，则，， ，C选项正确.对于D选项，直线为抛物线的准线，所以到的距离等于到焦点的距离.所以到直线和直线的距离之和的最小值为“到直线的距离”，焦点，则最小值为，D选项正确. 17．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（       ） A．抛物线的准线方程是 B．当轴时，取最小值 C．若，则的最小值为 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】 A：标准方程是y2＝2px的抛物线的准线方程是x＝－； B：设P点坐标，用两点间距离公式表示|PF|，结合P点坐标的范围，即可求|PF|的最小值； C：数形结合，P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值； D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】 A：抛物线的准线为x＝－＝－1，故A正确； B：设，则，则，当时取得最小值，此时在原点，故B错误； C：作图分析： A在抛物线外部，故当P、A、F三点共线时|PF|取最小值，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为，设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以PF为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 18．（多选题）已知抛物线与圆的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（       ） A． B．点P纵坐标的取值范围是 C．点N到圆心C距离的最小值为1 D．若l不经过原点，则周长的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据题意画出图形，联立圆与抛物线的方程可得A，B的坐标，求得可判断A；由A，B的纵坐标可判断B；由抛物线的定义和图形可知点N到圆心C距离的最小值判断C；利用转化思想可知结合的范围可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 圆的圆心为，半径，与轴正半轴交于点，抛物线的焦点与重合，准线为，对于选项A：联立 可得， 解得或，即， ，所以，故选项A不正确； 对于选项B：点为圆的劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P纵坐标的取值范围是，故选项B正确； 对于选项C：抛物线的焦点与圆心重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为，所以点N到圆心C距离的最小值为1，故选项C正确； 对于选项D：直线l不经过原点，则周长为 的取值范围是，故选项D正确； 19．（多选题）已知抛物线的焦点为，若为抛物线上一点，直线的斜率为，且以为圆心的圆与的准线相切于点，则下列说法正确的是（       ） A．抛物线的准线方程为 B．直线与抛物线相交所得的弦长为15 C．外接圆的半径为4 D．若抛物线上两点之间的距离为8，则该线段的中点到轴距离的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据斜率可知，然后根据抛物线的定义可知抛物线方程，可知直线的方程，根据弦长公式可知弦长，并使用正弦定理可知外接圆半径，最后根据可知结果. 【详解】 过点作垂直于轴，垂足为， ，∴直线的倾斜角为120°，，在中，，，又由抛物线的定义可得，，，解得， ∴抛物线的方程为，抛物线的准线方程为，故A正确；易知直线的方程为，代入抛物线的方程，得，解得或， ∴直线与抛物线相交所得弦长为，选项B不正确；易得，，，，，设外接圆的半径为，根据正弦定理可得，设抛物线上的两点分别为，，则，当且仅当，，三点共线时，等号成立，由抛物线的定义可知， ，所以，即，所以线段的中点到轴的距离，选项D正确. 20．（多选题）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（       ） A．|PM| +|PF|的最小值为3 B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3 C．存在直线l，使得A，B两点关于对称 D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2 【答案】AD 【解析】 根据抛物线的性质对每个命题进行判断． 【详解】 A．设是抛物线的准线，过作于，则，当且仅当三点共线时等号成立．所以最小值是3，A正确； B．设是抛物线上任一点，即，，时，，B错误； C．假设存在直线，使得A，B两点关于对称，设方程为，由得， 所以，，设，则，中点为，则，，必在直线上， 所以，，这与直线抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误； D．设，由即，得，则切线方程为， 即，同理方程是，由，解得，由题意在准线上，所以，，所以， 所以时，为最小值．D正确． 21. （多选题）已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 设点，则的最小值为 C. 若三点共线，则的最小值为 D. 若，的中点在的准线上的投影为，则 答案：A、B、D 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以抛物线的准线方程为，所以A正确，对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为，所以B正确， 对于C，由抛物线的性质可得当三点共线，且 轴时，弦最短为抛物线的通径，所以C错误， 对于D，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理及抛物线定义可得，设，则，在中由余弦定理得， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确， 22．（多选题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（       ） A．若点，则的最小值是4 B． C．若，则直线的斜率为 D．的最小值是9 【答案】ABD 【分析】对于A，过点A作C的准线的垂线，垂足为，则利用抛物线的定义结合图形求解即可，对于B，设直线AB的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根据与系数的关系，从而可求出的值，对于C，由，可得，化简后将选项B中的式子代入可求出的值，从而可求出直线的斜率，对于D，根据选项B中的式子可求得，则化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】由题意知，C的准线方程为，焦点F（1，0），过点A作C的准线的垂线，垂足为，则，故的最小值是点Q到C的准线的距离，即为4，故A正确； 设直线AB的方程为，，，由得． 所以，，，， 所以，故B正确；若，又，，所以，解得，则直线AB的斜率为，故C错误；，所以，当且仅当，时，等号成立，故D正确， 23．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是______. 【答案】 【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离． 【详解】因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线的距离公式可得所求的最小距离. 24．已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为3，则抛物线方程为____________，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为__________. 【答案】          【分析】 用抛物线的定义转换，再求出线段垂直平分线与抛物线相交的弦长，进而求出四边形的面积. 【详解】 设抛物线的准线为，其方程为，当点在抛物线内部时，如图，过做于， 则，作于H，，当且仅当三点共线时，等号成立，，中点为，的斜率为1，垂直平分线方程为，联立，消去，得，，设，，，四边形的面积为. 当点在抛物线外部时，如图 此时，，又点A在抛物线的内部，矛盾舍去. 25．如图，直线与抛物线交于两点，线段的垂直平分线与直线交于点，当为抛物线上位于线段下方（含）的动点时，则面积的最大值为______. 【答案】30 【分析】 把直线方程抛物线方程联立求得交点，的坐标，则中点的坐标可得，利用的斜率推断出垂直平分线的斜率，进而求得垂直平分线的方程，把代入求得的坐标；设出的坐标，利用到直线的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形，利用的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值． 【详解】 直线与抛物线联立，得到，，从而的中点为， 由，直线的垂直平分线方程．令，得，． 直线的方程为，设．点到直线的距离，，，为抛物线上位于线段下方的点，且不在直线上， 或．函数在区间，上单调递增， 当时，的面积取到最大值30． 26．已知P为抛物线上任意一点，则点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和转化为点P到准线的距离与点P到直线的距离之和，再借助抛物线定义求解作答. 【详解】 抛物线的焦点，准线，抛物线上的点P到y轴的距离等于它到准线距离减去1的差，由抛物线定义知，，令点P到直线的距离为，于是得点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和为，过P作于M，连PF，MF，过点F作于Q，交抛物线于点，如图， 显然，，当点P与点不重合时，有：， 则当点P是过焦点F作直线l的垂线与抛物线交点时，点P到y轴的距离与点P到直线的距离之和取得最小值，此最小值为. 27．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据抛物线定义将线段进行转化，数形结合进行求解. 【详解】 连接PF，根据抛物线定义可知：点P到抛物线的准线距离等于点P到焦点的距离相等，连接圆心与焦点，交圆于点，交抛物线于点，如图所示，此时点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和最小，其中，故， 28．已知抛物线的方程为，圆C：，点A，B在圆C上，点P在抛物线上，且满足，则的最小值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】 由题可知AB是圆的直径，，问题转化为求抛物线上点P到圆心C的距离的平方减1的最小值. 【详解】 ∵圆的圆心为C(2，0)，半径r＝1，，∴AB是圆的直径，C是AB的中点，连接PC、PA、PB.设. ＝，当且仅当m＝0时取等号. 29．已知，，O为坐标原点，若在抛物线上存在点N，使得，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 过M作C的一条切线，切点为Q，设，根据在抛物线上存在点N，使得，得到，然后求得当时的即可. 【详解】 过M作C的一条切线，切点为Q，如图所示： 设，因为在抛物线上存在点N，使得，所以，当时，直线MQ的方程为，将代入，可得，由，解得， 所以的取值范围为. 30．已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，进而根据题意得是方程的两个实数根，故，进而得，再根据直线与轴交于点得，最后结合对勾函数求解即可. 【详解】设，所以的中点坐标为，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的两个实数根，所以， 所以，故，由于直线与轴交于点，所以，即，因为对勾函数的取值范围是， 所以， 31．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线上的一个动点.若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用求出与平行的抛物线的切线方程，点到直线的最近距离为直线与切线间的距离，求出距离即可得实数c的取值范围. 【详解】 设与平行的抛物线的切线方程为，与抛物线方程联立，消去得，，直线与的距离是 所以点到直线的最近距离为，因此，所以点到直线的最近距离为 32．已知直线l1:x－y－5=0和直线l2:y=－4，抛物线x2=16y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是______ 【答案】 【解析】 【分析】 由题知直线l2:y=－4为抛物线的准线，则P到直线l2的距离为其到焦点的距离，再利用数形结合即得. 【详解】 设抛物线的焦点为，则，又直线l2:y=－4为其准线，∴P到直线l2的距离为， 设P到直线l1的距离为，如图， 可知动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为点到直线l1:x－y－5=0的距离，即. 33．已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为. (1)求， 的值； (2)已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】 （1）由点线距离公式及中点坐标公式有，结合已知求， 的值； （2）设，利用两点距离公式有，根据二次函数的性质及抛物线的有界性，讨论、求对应线段长最小值. 【解析】 (1)由题设，抛物线焦点为，则，联立直线与抛物线可得：，则，综上，，可得或，又，所以. (2)由（1）知：，设，所以，又， 要使线段长最小，即最小即可， 当，即时，则时最小值为； 当，即时，则 若，则，则时最小值为； 若，则，则时最小值为； 综上，时线段长最小值为；时线段长最小值为； 34．已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. (1)求抛物线的方程； (2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 【答案】(1)(2)32 【分析】 （1）设，列方程组，求出，即可得到抛物线的方程； （2）设点，利用是以为斜边的等腰直角三角形，表示出，用坐标表示出利用基本不等式求出的最小值. 【解析】 (1)设点，由已知，则，即. 因为，则，所以抛物线的方程是. (2)设点，直线的斜率为， 因为，则直线的斜率为. 因为，则，得，① 因为，则，即，② 因为，则，即③ 将②③代入①，得，即，则， 所以 因为，则，又，则，从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32. 35．已知点在曲线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】 （1）令，可得，求得，即可求得动点的轨迹的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组得到，根据题意转化为方程在上有两解，求得的范围，结合，进而求得的最值. 【解析】 (1)由题意，点在曲线上，可得， 令，可得，设，则， 即动点的轨迹的方程. (2)由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得， 要直线与曲线交于、两点，则方程在上有两解， 设，可得，解得， 设，则，且 又由，因为， 又因为，所以的最小值为，最大值为. 36．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设线段、长度分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由题意圆A与轴相切，A到抛物线焦点的距离为，得到A到抛物线准线的距离为，从而求出及抛物线方程；      （2）设A的坐标，由垂径定理可知，设，，求得，，，分、讨论可得答案． 【解析】 (1)当轴时，圆A与轴相切，点为切点，由题意可知此时点A的横坐标为， 因为A到抛物线焦点的距离为，所以A到抛物线准线的距离为， 故准线与轴之间的距离为，解得，所以抛物线的标准方程为． (2)设A的坐标，由垂径定理可知，， 设，，所以，． 所以， 当时，则； 当时，则，因为， 所以，当且仅当时，等号成立.此时． 综上所述，． 37．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为. (1)求抛物线方程； (2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值； (3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】 （1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；（3）在前两问基础上用斜率k表达出，换元后使用基本不等式求出最大值. 【解析】 (1)将点代入抛物线方程可得：，抛物线 (2)设，与抛物线方程联立可得： ，∴，用代k可得： 因此，，即. (3)由（1）可知，，， 因此 到直线AB的距离. ∵ ∴ ，令，由得 ∴ 当且仅当时取等号.的最大值为. 38．如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、. (1)证明：以为直径的圆经过点； (2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出，可得出，即可证得结论成立； （2）设的斜率为，则的方程为，将直线的方程分别与曲线、的方程联立，可求得点、的坐标，同理可得出点、的坐标，可求得、，进而可得出的表达式，利用基本不等式可求得的取值范围. 【解析】 (1)证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为.由得， 设、，则、是上述方程的两个实根，于是，.又因为点， 所以， 所以，即，所以为直径的圆经过点. (2)由已知，设的斜率为，则的方程为， 由解得或，则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 所以， 由得，解得或， 则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得点的坐标， 于是， 因此， 当时，即当时，等号成立，所以，所以的取值范围为. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 39．如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为． (1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程： (2)若存在点P，使得，求p的取值范围． 【答案】(1)；准线方程为直线 (2) 【分析】 (1)根据抛物线的焦点坐标即可以求p和其准线方程； (2)设，，表示出过A和B的切线方程，求出M和N点坐标，根据P在两直线上求出P点坐标，进而再求出T点坐标，表示出，，进而可以得到，从而可求，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆：有交点，据此即可求出答案. 【解析】(1)，．准线方程为直线． (2)设，，过点A的切线方程：，于是； 过点的切线方程：，于是；点在两条切线上，所以， 可得点P坐标为．且：，于是． ，， 而，所以．于是点，点P的轨迹方程为， 问题转化为抛物线与半圆：有交点． 记，则，又因为，解得：． 40.如图，抛物线上有三个不同的点（其中点的第一象限）， 抛物线的焦点在上，与轴交于点，且当点纵坐标为时，， （1）求抛物线方程； （2）求面积最小时，点的坐标. 解析：（1）由抛物线定义得，得，所以抛物线方程为， （2）设直线的方程为，代入得， 设，，，则，，∴点的坐标为， 又直线过点，由可得的坐标为，则直线的斜率， ∴直线的方程为，令得：，∴直线与轴的交点为， 又，，则为的中点，∴， 令，则，令，得（负值舍去），且时，，递减，时，，递增， ∴时，取得最小值，即三角形面积最小时，点的坐标为. 41．已知抛物线与直线相交于两点，线段中点的横坐标为5，且抛物线的焦点到直线的距离为. (1)求， 的值； (2)已知点为抛物线上一动点，点为轴上一点，求线段长最小值. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】 （1）由点线距离公式及中点坐标公式有，结合已知求， 的值； （2）设，利用两点距离公式有，根据二次函数的性质及抛物线的有界性，讨论、求对应线段长最小值. 【解析】 (1)由题设，抛物线焦点为，则，联立直线与抛物线可得：，则，综上，，可得或，又，所以. (2)由（1）知：，设，所以，又， 要使线段长最小，即最小即可， 当，即时，则时最小值为； 当，即时，则 若，则，则时最小值为； 若，则，则时最小值为； 综上，时线段长最小值为；时线段长最小值为； 42．已知抛物线的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2． (1)求抛物线N的方程； (2)点和点为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意得抛物线的焦点为，在方程中，令，可得， 所以弦长为，即，解得，所以抛物线C的方程为． (2)由（1）知抛物线的方程为，设，直线AB的斜率为， 因为线段的中点在直线上，由可知直线OM的方程为， 设，所以，所以，又，所以，即得，设直线的方程为，即，联立方程组，所以，所以，即， 由根据与系数的关系得，则 ，又由点到直线的距离为， 所以， 记，因为，所以，所以， 令，可得，令，可得， 当时，；当时，， 所以当时，取得最大值，即有最大值为. 43．已知点在曲线上. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过原点的直线与（1）中的曲线交于、两点，求的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】 （1）令，可得，求得，即可求得动点的轨迹的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组得到，根据题意转化为方程在上有两解，求得的范围，结合，进而求得的最值. 【解析】 (1)由题意，点在曲线上，可得， 令，可得，设，则， 即动点的轨迹的方程. (2)由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得， 要直线与曲线交于、两点，则方程在上有两解， 设，可得，解得， 设，则，且 又由，因为， 又因为，所以的最小值为，最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $