精品解析：新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试卷

喀什二中2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 范围：必修二 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知平面向量，，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. -5 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】，又，， ， 解得． 3. 已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确； 对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 4. 一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出1个白球 B. 至少摸出1个红球 C. 摸出2个白球 D. 摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 5. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得抽取的高中生人数是人，再结合图乙可知高中生的近视率为，即可求解. 【详解】由图甲可知抽取的高中生人数是， 又由图乙可知高中生的近视率为，所以抽取的高中生中近视人数为人． 故选：B． 6. 在某次测量中得到的A样本数据如下：22，23，25，26，31，30；若B样本数据恰好是A样本中每个数据都减去10后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】A 【解析】 【分析】 由方差的定义，即可得到本题答案. 【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变. 故选A. 【点睛】本题主要考查方差定义的应用，属基础题. 7. 设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】根据三边比值关系设出三边，利用余弦定理判断即可. 【详解】因为，，所以，不妨设，，， 则，则C是钝角，故是钝角三角形． 8. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出为直角三角形，再结合求出，最后根据投影向量的计算方法计算即可得正确的选项. 【详解】 因为，故为的中点，而为外心， 故为直角三角形，且， 因为，所以， 而向量在向量上的投影向量为 . 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A. z的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】先将的分母实数化，再求出的共轭复数，虚部，模长，点的坐标. 【详解】， ，故选项A错误；的虚部为，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D正确. 故选：BD. 10. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 若，则有两解 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，若，则，由正弦定理得，即； 若，因为，根据正弦函数的图像与性质，可得，故正确； 对于B，，由正弦定理可得， 则的外接圆半径是，故错误； 对于C，若，由正弦定理得， 因为，所以，故正确； 对于D，若，则由余弦定理可得， 即， 解得，因为，所以有一解，即有一解，故错误． 11. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点， 可得，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知事件，，为随机事件，事件与事件互斥，事件与事件互为对立事件，且，，则____________． 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式求出，再根据互斥事件的概率加法公式计算即可. 【详解】因为事件与事件互为对立事件，所以， 因为事件与事件互斥，所以. 13. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则，可确定原图是直角梯形，然后再利用圆台表面积公式即可求解. 【详解】根据直观图可得，，再由，，， 可得到直观图的坐标为：， 再根据斜二测画法规则，可还原得原四边形坐标为： ， 则原四边形为直角梯形， 所以以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 圆台的上圆半径为，下圆半径为，高为，母线长为， 则圆台的表面积为：. 14. 在平行四边形中，，，，若，，则_________． 【答案】18 【解析】 【分析】利用向量的基底运算，结合数量积公式即可求解. 【详解】设基底，，由题意得： ，，， 由得是中点，因此， 又由得，因此， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某学校为了解本校政史、物化方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物化方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从政史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物化方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和政史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）． 【答案】（1）， （2）物化方向学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，政史方向学生本次模拟测试数学成绩的中位数为82． 【解析】 【小问1详解】 由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得． 由乙样本数据直方图可知，，解得． 【小问2详解】 甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为x， ，解得， 即物化方向学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5， 政史方向学生本次模拟测试数学成绩的中位数为82． 16. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． （1）求证平面； （2）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）与所成角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面； （2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵分别为的中点，∴，， 由，且， ∴，且 ， ∴四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 因为， 所以为直线与所成角， 中，， 直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示， 则，，，， ，所以为等腰三角形，则， 中，， 所以， 中，， 所以 所以与所成角的余弦值为. 17. 在中，角的对边分别为， ． （1）求； （2）已知平分且交于点，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用正弦定理角化边，三角形面积公式及余弦定理求解. 【小问1详解】 根据正弦定理：， 所以，代入得： ， 根据余弦定理：，联立得到， 因为为三角形的边长，所以，故， 由于，所以. 【小问2详解】 ，且是其角平分线，. 根据正弦定理，又，，在上， ， 代入已知数值： ，，， 为三角形的边长，所以，故，. 由余弦定理：， . 18. 甲、乙两人参加某公司的面试，面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者每次不放回抽取一题回答，若答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，3次均未答对，则面试不通过．求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设甲3道题答对的次数为随机变量，由甲答对每道题目的概率都是，得甲答对题的次数服从二项分布； 乙3道题答对的次数为随机变量，由乙答对每道题目的概率为，得乙答对题的次数服从二项分布. 甲、乙两人共答对5道题目， . 答：甲、乙两人共答对5道题的概率为． 【小问2详解】 设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”，事件为“甲、乙两人只有一人通过面试”. 则， . 答：甲、乙两人只有一人通过面试的概率为． 19. 如图三棱锥中，，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为， （ⅰ）求三棱锥的体积． （ⅱ）若是线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】（1）在内任取一点，过点作于， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）在内任取一点，过点作于，利用面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，过作于，同理可得，然后利用线面垂直判定定理即可得证； （2）（ⅰ）过点作于，再过点作于，连接，利用面面垂直性质定理，以及线面垂直判定定理得到即为二面角的平面角，利用其正切值求得，进而求得，然后求出，再利用三棱锥体积公式求解即可；（ⅱ）因为≌，所以，取中点，连接，利用线面垂直判定定理得到平面，平面，找到为与平面所成的角，分析知当最小时，所成角的正弦值最大，当时，，进而求出结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）过点作于， 由平面平面，平面平面， 可得平面． 又平面，所以， 再过点作于，连接， 因为，平面，则平面， 所以即为二面角的平面角，所以． 又，故为等边三角形， 所以，，故， 又中，，所以，故， 所以， 又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积为． （ⅱ）由（1）知，平面，因为平面， 所以，又， 所以≌，所以， 取中点，连接，则，， 又因为，平面， 所以平面， 过作于点，则平面， 所以，又，平面， 所以平面，所以为与平面所成的角， 则， 所以当最小时，所成角的正弦值最大， 在中，当时，， 在中，，，所以，， 所以， 即与平面所成角的正弦的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什二中2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 范围：必修二 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知平面向量，，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. -5 D. 1 3. 已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. ，，， 4. 一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少摸出1个白球 B. 至少摸出1个红球 C. 摸出2个白球 D. 摸出2个白球或摸出2个红球 5. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 40 6. 在某次测量中得到的A样本数据如下：22，23，25，26，31，30；若B样本数据恰好是A样本中每个数据都减去10后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 7. 设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 8. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A. z的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 若，则有两解 11. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知事件，，为随机事件，事件与事件互斥，事件与事件互为对立事件，且，，则____________． 13. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形，其中，，，，以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的表面积为_________． 14. 在平行四边形中，，，，若，，则_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某学校为了解本校政史、物化方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物化方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从政史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个． （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物化方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和政史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）． 16. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，． （1）求证平面； （2）求与所成角的余弦值． 17. 在中，角的对边分别为， ． （1）求； （2）已知平分且交于点，，，求． 18. 甲、乙两人参加某公司的面试，面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； （1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）若每位面试者每次不放回抽取一题回答，若答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，3次均未答对，则面试不通过．求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 19. 如图三棱锥中，，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为， （ⅰ）求三棱锥的体积． （ⅱ）若是线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $