精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县2025-2026学年第二学期期末质量监测高一数学试题

莎车县2025-2026学年第二学期期末质量监测试卷 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 样本数据2，4，5，7，8，12的50%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得，则50%分位数为. 2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值. 【详解】， 利用复数相等的充分必要条件可得：. 故选：C. 3. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果. 【详解】， . 故选：D. 4. 某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案. 【详解】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得的值，结合三角形内角和定理确定角的可能取值. 【详解】由正弦定理得，代入已知条件可得, 因为，所以或. 6. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解. 【详解】由于与对立，，则， 又与互斥，，则. 故选：B 7. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面的位置关系，逐项分析判断其正误即可. 【详解】对于A，若，，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，因为，记，，则， 又，则，又，所以，故C正确； 对于D，如图所示，，，，但，故D错误. 故选：C. 8. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 复数的模长为 B. 若，则 C. 现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则方差不变 D. 投掷骰子100次，得点数是1的结果有25次，则出现1点的频率是0.25，概率是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，将复数进行化简再运用模长公式进行求解；对于B，平行向量的相关概念进行求解；对于C，将删去之后的数据与删去之前的数据的方差计算出来；对于D，运用概率与频率的概念进行求解. 【详解】对于A，， 则，故A正确； 对于B，因为，所以与的大小和方向都相等，所以，故B正确； 对于C，原数据的平均值为， 则方差， 删去一个4之后的平均值为， 则，故C错误； 对于D，出现1点的频率为， 而出现1点的概率为事件本身固有的属性为，故D错误. 10. 已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（ ） A. 都没有命中的概率是0.02 B. 都命中的概率是0.72 C. 至少一人命中的概率是0.94 D. 恰有一人命中的概率是0.18 【答案】AB 【解析】 【分析】由对立事件的概率计算甲乙不中的概率，利用独立事件的概率求解判断选项，；利用对立事件的求解判断选项；甲中乙不中和甲不中乙中两种情况求解可判断选项. 【详解】都没有命中的概率为，正确； 都命中的概率为，正确； 至少一人命中的概率为，错误； 恰有一人命中的概率为，错误. 故选：. 11. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，连接，，，通过面面平行即可证得线面平行；B选项，由图可知，与BD不垂直，进而说明线面不垂直；C选项，通过线面平行结合等体积法求得体积；D选项，经过AB的平面截该长方体的截面面积最大时的截面为 【详解】如图，连接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正确； 易知，为等腰三角形，为底边，故与BD不垂直，即平面不成立，B错误； 由平面知，，C正确； 经过AB的截面为矩形，截面与侧面的交线最长为对角线，故截面面积的最大值为，D正确. 故选：ACD． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 小明有5把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为_________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】明确“第二次才能打开门”即第一次取到不能开门的钥匙、第二次取到能开门的钥匙，利用分步概率乘法公式计算. 【详解】记事件：第二次才能打开门， 由题意得，5把钥匙中共有2把能开门，3把不能开门， 第一次取钥匙时，取到不能开门钥匙的概率为； 将该不能开门的钥匙扔掉后，剩余4把钥匙，其中仍有2把能开门，此时取到能开门钥匙的概率为， 根据概率的乘法公式可得： 。 13. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式可得，即可根据勾股定理求解母线，由圆锥的侧面积公式代入计算即可. 【详解】由题意可知：圆锥的底面圆半径为，则，解得， 故圆锥的母线，故侧面积为． 故答案为：. 14. 如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，，二面角的大小为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作且，连接，根据二面角定义得到，在中利用余弦定理求得，再利用勾股定理即可求出结果. 【详解】如图，过点作且，连接， 所以四边形是矩形， 则，，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，即， 又， 由余弦定理得， ， 所以，. 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取份作为样本，将样本数据（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和样本数据的第百分位数； （2）若落在中的样本数据平均数是，方差是；落在中的样本数据平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】（1），第百分位数为 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及百分位数的求解方法即可求出结果； （2）结合分层数据的平均数和方差的求法求解即可. 【小问1详解】 由图可得，， 解得， 设第百分位数为，则， 解得， 综上，频率分布直方图中，样本数据的第百分位数为. 【小问2详解】 由题知，落在中的样本数据频数为， 落在中的样本数据频数为， 记， 则这两组数据的总平均数， 又， 且， 则这两组数据的方差. 16. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简，即可得解 ，再由正弦定理求外接圆半径； （2）根据余弦定理求出，再由面积公式得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，即 所以，即 【小问2详解】 由（1）可知：，或， 因为， 所以为锐角，故， 由余弦定理得， 所以， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 【答案】（1） ∵，为棱的中点，，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又平面，平面，所以平面. （2） ∵平面，平面，∴， 连接，由题意，为棱的中点，， 知且，∴四边形为平行四边形， ∵，， ，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴，又，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）证明，继而证明，即可证明平面，由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某公司在一次入职面试中，共设有轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知张三能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响． （1）求张三不需要进入第三轮测试的概率； （2）求张三通过面试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 设张三通过第一、二、三轮测试分别设为事件、、，可知、、相互独立． 设张三不需要进入第三轮测试为事件，则， 所以 ， 即张三不需要进入第三轮测试的概率为. 【小问2详解】 设张三最终通过测试为事件，则， 所以 . 故张三最终通过测试的概率为. 19. 如图，已知满足，，线段上有一系列点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，若为线段上的一个动点（不含端点），求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）等边三角形 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数量积和模长可得，即可得结果； （2）根据向量的线性运算可得，结合数量积运算可得，即可得结果； （3）设中点为，根据向量的线性运算整理可得，进而分析证明. 【小问1详解】 由题意可知，， 则，且，即， 所以为等边三角形. 【小问2详解】 当时，为边的中点， 设，则， 可得， 则， 所以， 因为，则， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设中点为，则， 由题可知， ， 可得， 由等边三角形的中线长可知， 所以，对于任意正整数恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莎车县2025-2026学年第二学期期末质量监测试卷 高一数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 样本数据2，4，5，7，8，12的50%分位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 3. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 7. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 8. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的有（ ） A. 复数的模长为 B. 若，则 C. 现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则方差不变 D. 投掷骰子100次，得点数是1的结果有25次，则出现1点的频率是0.25，概率是 10. 已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（ ） A. 都没有命中的概率是0.02 B. 都命中的概率是0.72 C. 至少一人命中的概率是0.94 D. 恰有一人命中的概率是0.18 11. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 小明有5把钥匙，其中2把能打开门．如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为_________． 13. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 14. 如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，，，二面角的大小为，则_________． 四、解答题（共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取份作为样本，将样本数据（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和样本数据的第百分位数； （2）若落在中的样本数据平均数是，方差是；落在中的样本数据平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差． 16. 已知中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 18. 某公司在一次入职面试中，共设有轮测试，每轮测试设有一道题目，面试者能正确回答两道题目即可通过面试，累计答错两道题目即被淘汰．已知张三能正确回答每一道题目的概率均为，且各轮题目能否正确回答互不影响． （1）求张三不需要进入第三轮测试的概率； （2）求张三通过面试的概率． 19. 如图，已知满足，，线段上有一系列点，且满足. （1）判断的形状； （2）当时，若为线段上的一个动点（不含端点），求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $