精品解析：皖豫名校联盟2022-2023学年高一上学期阶段性测试(二)数学试题

皖豫名校联盟 2022—2023学年（上）高一年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的不等式的解集是或，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，是的反函数，则（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 5. 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 函数是减函数 B. “至少有一个整数x，使得是质数”是存在量词命题 C. ， D. 命题p：，的否定是：， 10. 已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则（ ） A. 不等式的解集是 B. C. 存在唯一的x，使得 D. 函数的图象关于原点对称 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，则________． 14. 已知函数，若，则实数a的取值范围是________． 15. 若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为______. 16. 若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 化简下列各式： （1）； （2）． 18. 已知集合是函数的定义域，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 19. 某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变． （1）若，求过滤2 h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少； （2）若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4 h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放． 20. 已知，且． （1）证明：； （2）证明：． 21. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并加以证明； （2）若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围． 22. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皖豫名校联盟 2022—2023学年（上）高一年级阶段性测试（二） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】 ， 故． 故选：D 2. 若关于x的不等式的解集是或，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数关系求得，进而求得. 【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或， 所以关于x的方程的根为或， 所以， 所以. 故选：A 3. 若p：，则p成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的单调性解出的范围，再由充分性、必要性的定义即可得出答案. 【详解】由，即，解得， 则成立的充分不必要条件可以是． 故选：A. 4. 已知函数，是的反函数，则（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数的反函数关系,再应用对数及指数运算即可. 【详解】因为函数，所以，所以， ，即． 故选: 5. 已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式. 【详解】因为为幂函数，所以，则， 故的定义域为，且在定义域上为增函数， 所以由，可得，解得， 故a的取值范围为. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，排除选项A，D．再通过，排除选项B即得解. 【详解】解：由题可知的定义域为， ， 所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，排除选项A，D． 因为，排除选项B. 故选：C． 7. 已知函数的值域为，且满足，若在（）上的值域为，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由，求出对称轴，由二次函数对称轴可以求出 的值，再有函数值域可以求出，所以即可得函数的解析式， 在由在（）上的值域为， 所以令求出的最值即可得 的最值. 【详解】由，可得函数的对称轴为； 由函数得：，， 所以．因为的值域为， 所以，可得， 故． 若在（）上的值域为， 令，解得或． 所以m最小为，n最大为3， 则的最大值为4． 故选：D. 8. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解关于的一元二次方程,得到两个实根,由题意和共有3个实根,数形结合,可得的取值范围 【详解】作出函数的大致图象如图所示． 由可得． 由图可知，方程有两个不等的实根， 由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或． 故选: 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 函数是减函数 B. “至少有一个整数x，使得是质数”是存在量词命题 C. ， D. 命题p：，的否定是：， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断AC；根据存在量词命题的概念以及全称量词命题的否定可判断BD. 【详解】对于A，，是减函数，所以A正确； 对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在量词命题，所以B正确； 对于C，，，所以C错误； 对于D，命题p：，的否定是：，，所以D正确． 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误. 【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误； 对于B，显然，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，同理可得， 即，故C正确； 对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误． 故选：BC 11. 若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用给定的定义，逐项分析函数的单调性，并求出函数值域判断作答. 【详解】对于A，在上是增函数，当时，函数值域是，A不是； 对于B，在上单调递增，当时，函数值域是，B是； 对于C，在上单调递减，当时，函数值域是，C不是； 对于D，在上单调递增，当时，函数值域是，D是． 故选：BD 12. 已知函数，则（ ） A. 不等式的解集是 B. C. 存在唯一的x，使得 D. 函数的图象关于原点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，将题意转化为，再根据的单调性即可判断A错误，对选项B，根据求解即可判断B正确，对选项C，根据即可判断C错误，对选项D，根据奇函数的定义即可判断D正确. 【详解】对于A，不等式即， 又在上单调递减，所以，即， 解集为，A错误； 对于B，由得，， 又， 所以，B正确； 对于C，因为，所以， 所以不存在，使得，C错误； 对于D，定义域为， ， 故是奇函数，其图象关于原点对称，D正确． 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式可得集合A，后由补集定义可得答案. 【详解】由题可知或，则． 14. 已知函数，若，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分析出函数单调性，将不等式变形，即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，且． 即， 所以， 所以． 故答案为：. 15. 若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出. 【详解】由题意知，，解得， 因为， 因为，则，又因为的最小值为－4， 则，所以， 即，得，因为，所以. 故答案为：. 16. 若，不等式恒成立，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意确定，分类讨论与两种情况，将问题转化为恒成立问题，再利用对勾函数的单调性即可得解. 【详解】因为不等式对任意恒成立，且，所以， 当时，不等式恒成立等价于，即对于任意恒成立，即， 令，，则， 由对勾函数性质易得在时，单调递增，故， 则，与矛盾，故此时k不存在； 当时，不等式恒成立等价于对于任意恒成立， 当时，显然成立， 当时，不等式等价于对于任意恒成立，即， 令，，则， 由对勾函数性质易得在时，单调递减，故， 则，故； 综上：，即． 故答案为：. 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用根式与分数指数幂互化，指数运算法则求解作答. （2）根据给定条件，利用对数运算法则、换底公式求解作答. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 原式 ． 18. 已知集合是函数的定义域，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合、，再根据并集运算即可； （2）分和两种情况，结合包含关系讨论求解即可. 【小问1详解】 由，即，所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，且， 当时，有，即. 当时，有，即. 综上所述，的取值范围为. 19. 某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程．为加强污染治理，某工厂产生的废气需经过过滤后排放，已知在过滤过程中废气中的污染物浓度P（单位：）与过滤时间t（单位：h）之间的函数关系式为（为初始浓度，k，均为正常数）．假设过滤过程中废气的体积不变． （1）若，求过滤2 h后污染物的浓度与初始浓度的比值是多少； （2）若排放时污染物的浓度不超过初始浓度的4%，前4 h的过滤过程中污染物已经被过滤掉了80%，求至少还需要过滤多少小时才能排放． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意将代入计算即可得到污染物的浓度与初始浓度的比值；（2）由前4 h消除了80%的污染物，可得，再根据污染物的浓度不超过初始浓度的4%求得处理的总时间，可得结果. 【小问1详解】 过滤2 h后，， 所以污染物的浓度与初始浓度的比值是； 即污染物的浓度与初始浓度的比值是. 【小问2详解】 由题意知，前4 h消除了80%的污染物， 又因为， 所以，得． 设废气中污染物的浓度为初始浓度的4%时所需过滤时间为， 由，即， 得，联立，得 ，所以， 故至少还需过滤才能排放． 20. 已知，且． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）结合综合法以及基本不等式证得结论不等式成立. 【小问1详解】 ， 当且仅当时取等号，所以． 【小问2详解】 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， ∴，同理，， 由题可知上述三式等号不能同时成立． ∴， 即原不等式得证． 21. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性并加以证明； （2）若关于x的不等式有解，求实数t的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求得正确答案. （2）结合函数的单调性、奇偶性等知识化简不等式，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 函数为奇函数． 证明如下： 易知的定义域为， 因为， 所以为上的奇函数． 【小问2详解】 ，所以在上单调递增， ,所以是奇函数． 不等式有解即有解， 由的奇偶性可知进一步等价于有解， 由的单调性可知进一步等价于有解， 即不等式有解． 因为，所以，， 所以的取值范围是， 所以，即， 所以实数的取值范围是． 【点睛】求解函数奇偶性的问题，注意两点，第一点是首先要求函数的定义域，奇偶函数的定义域关于原点对称；第二点是利用奇偶性的定义，判断还是. 22. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，代入得到值，计算，得到方程组，解出值，即可得到解析式； （2）分，和讨论，结合函数单调性即可得到其最小值； （3）不等式化简为，分和讨论，当时，利用函数的单调性即可得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 设，因为，所以， 则 因为， 所以解得 故． 【小问2详解】 ． 当，即时，在上单调递减， 所以； 当且，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增， 所以． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 【小问3详解】 不等式可化简为． 因为，所以． 要使时，恒成立，显然时不可能． 当时，因为函数、在上均为增函数， 则函数在单调递增，故解得． 综上可知，实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题第二问属于轴定区间动问题，对其分类讨论的情况需要结合其开口方向，所问的是最大值还是最小值，抓住对称轴这一关键位置，数形结合讨论最值，第三问是一个函数恒成立问题，本问需要对进行分类讨论，尤其是当时，需要构造新函数，利用其单调性得到不等式组. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $