精品解析：安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量测评数学试题

安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量测评数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 2. 数据4，5，5，5，6，8，9，10的分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知向量，向量，则实数x等于 A. 9 B. 4 C. 0 D. 4. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知随机事件A，B，且，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与是对立事件 B. C. D. 若事件互相独立，则 7. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 10. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 11. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与表面积的比是_______. 13. 设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 14. 在中，若，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC. （1）若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：； （2）求证：. 16. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）． （1）若平面． （ⅰ）求的长度． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高一下学期7月期末教学质量测评数学试题 考试时间为120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【详解】，则，所以的虚部为1. 2. 数据4，5，5，5，6，8，9，10的分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知数据4，5，5，5，6，8，9，10，已按从小到大排列， 因为，故这组数据的分位数为6. 3. 已知向量，向量，则实数x等于 A. 9 B. 4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】算出的坐标利用可得的值. 【详解】，又，故，所以，故选A. 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是. 4. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（ ） A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则， 从而有，所以， 即当底面水平放置时，水面高为6. 故选：B. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理、逆用两角和的正弦公式、诱导公式即可求解. 【详解】设所求为，由题意， 在三角形中，解得. 故选：A. 6. 已知随机事件A，B，且，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与是对立事件 B. C. D. 若事件互相独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时，才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件也相互独立， 所以，故D正确. 7. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果. 【详解】设轴与交点为，因为轴，轴，所以∥， 因为轴，所以四边形为平行四边形， 故， 又， 轴，得， 则原四边形中，， ∴， ，. 所以四边形的周长为． 8. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两组样本数据和，，其中是的平均数， 不全相同，则这两组样本数据的（ ） A. 平均数一定相等 B. 中位数一定相等 C. 标准差一定不相等 D. 第百分位数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【详解】不妨设，则， 对于A：第二组数据的平均数为，故A正确； 对于B：第一组数据的中位数为，第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于，故B错误； 对于C：记第一组数据的标准差为， 则第二组数据的标准差为，故C正确； 对于D：第一组数据第80百分位数为， 第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确． 10. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由新定义知识依次判断选项即可． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C，因为， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为， 则在复平面内分别对应点， 可得， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D正确. 11. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D. 【详解】如图，过点C作于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知，所以， 设，则，又，所以，所以， 在中，，又，所以， 所以，，，所以， 在中，易得， 所以边BC的高为，故选项A正确； 在中，由余弦定理的推论得， 又因为， 所以，故选项B正确； ，故选项C错误； 设的中点为，则， 所以， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与表面积的比是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 设这个圆柱的底面半径为，高为，由圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到，由此能求出这个圆柱的侧面积与表面积之比. 【详解】解析：设正方形的边长为a，圆柱的底面半径为， 则， 所以圆柱的表面积， 故侧面积与表面积之比为. 故答案为：. 【点睛】本题考查圆柱的侧面积与表面积之比的求法，考查圆柱及其侧面展开图的性质等基础知识，是基础题. 13. 设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据条件，利用和事件的概率公式求出，再利用即可求出结果. 【详解】因为，又，， 得到，又因为，所以. 故答案为：. 14. 在中，若，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点为线段的三等分点，利用向量线性运算得到，利用基本不等式及三角形面积公式求最值. 【详解】设点为线段的三等分点， 因为， 又，， 所以，则， 当且仅当时取等号， 由， 当且仅当且时，等号成立， 故面积的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC. （1）若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：； （2）求证：. 【答案】（1）证明：由平面平面PAD，得平面PAD， 又平面PBC，且平面PBC与平面PAD相交于直线，所以 （2）证明：在平面PAB内作于， 平面平面PBC，平面平面平面PAB， 平面平面PBC，则， 又平面平面ABCD，则， 又且都在平面PAB内，故平面PAB， 又平面PAB，则 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质定理进行证明； （2）由面面垂直的性质定理进行证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 设，， ，又， 或， 或 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分的分位数（保留一位小数）； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求的值. （2）根据频率分布直方图计算50%分位数即可. （3）根据频率分布直方图得出50名职工中评分在、分别有2人、3人，利用列举法结合古典概型的概率公式即可求. 【小问1详解】 由题意：. 【小问2详解】 因为评分在的频率为：， 评分在的频率为：. 所以评分的第分位数在， 由. 所以估计该企业的职工对该部门评分的分位数为：. 【小问3详解】 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 受访职工中评分在的人数为：人，设为， 从中任取两人的结果有：，，，，，，，，，，共10个，且每个结果出现的可能性相同. 2人评分都在的结果有：，，，共3个. 所以此2人评分都在的概率为：. 18. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 又， ， ， . 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由②①得， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知， 所以 . 因为为锐角三角形，所以， 即， 则，即， 则， 故的周长的取值范围为. 19. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）． （1）若平面． （ⅰ）求的长度． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积． 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由平面，得到，且，再由，在直角中，即可求解； ②根据面面垂直判定定理证明平面平面，过点作，结合线面角定义可得为直线与平面所成角，解三角形求其正弦值； （2）根据线面平行性质定理可得，求三棱锥的体积，结合三棱锥内切球性质求内切球半径，再由球的表面积公式求结论. 【小问1详解】 解：①由平面，因为平面，可得， 又因为，且，所以， 因为平面，可得， 又因为且，所以，且. ②因为平面，平面， 所以平面平面， 在平面内过点作，垂足为， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以，且为三棱锥底面上的高， 在中，由，可得， 在中，由，可得， 在中，因为，，， 所以边上的高为，所以的面积为， 所以，故， 在中，由余弦定理得， 即， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 设与平面所成的角为，则. 【小问2详解】 由平面，平面平面，根据线面平行性质得， 因为是中点，故， 得， 结合， 可得， 所以三棱锥为正四面体， 设点在底面上的投影为，则为的中心， 所以，， 又的面积， 所以三棱锥的体积， 三棱锥的表面积为， 设三棱锥的内切球半径为， 则，所以， 内切球表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $