精品解析：安徽省阜阳市临泉县2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量统测数学试题

高一年级教学质量统测 数学 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集和交集定义直接计算求解即可. 【详解】由题意可得， 又集合，所以. 故选：C 2. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数解析式，接着由函数奇偶性排除CD，再由排除A即可得解. 【详解】由题函数，定义域为， 所以， 所以函数是偶函数，排除CD； 又，故A不符合，B符合. 故选：B 4. 对于随机事件，下列说法错误的是（ ） A. 如果事件与事件互为对立事件，那么 B. 如果事件与事件满足，那么 C. 如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D. 对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由事件与事件互为对立事件，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，当事件不互斥时，，则 ，C错误； 对于D，由，得事件与事件相互独立，D正确. 故选：C 5. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，再结合向量的投影向量公式，代入计算即可. 【详解】由，得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 6. 已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 7. 年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（ ） A. 2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B. 2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C. 2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D. 2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 【答案】A 【解析】 【分析】根据图1和图2，逐项分析判断即可. 【详解】结合图1和图2，计算可得2020至2024年第一产业增加值依次为 3167.578，3362.034,3505.425,3520.571,3543.75，成递增趋势，故A错误； 结合图1和图2，计算可得2020至2024年第二产业增加值依次为 15297.084,16939.479,17709.225,18712.076,19591.875，成递增趋势，故B正确； 由图2可知，2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高，故C正确； 由图1可知，2020至2024年全省地区生产总值逐年增长，故D正确. 故选：A. 8. 定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（ ） A. 2025 B. 506 C. 507 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，分析函数的性质并求得，利用周期性求出第个周期内的4项和，再按除以4的余数情况分类求和推理求解. 【详解】由是偶函数，得，则函数的图象关于直线对称， 且，又，则， 因此函数的图象关于点对称，而，即， 函数的周期为4，由及对称性，得， 显然，在第1个周期内，， 在第2个周期内，， 以此类推，在个周期内，有， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，令， 解得，正整数的最小值为506，此时的最小值为2026； 当时，，不符合题意， 所以最小正整数为2026. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，则的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断. 【详解】对于A，根据复数除法，， 则，所以A正确； 对于B，令，则， 所以，，所以，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，， 因为，即，解得，， 所以当，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即， 表示复数对应的点到点的距离，最小值为圆心到点的距离减去半径，即最小值为，故D正确. 故选：ABD. 10. 一块长方体形木料如图所示，，，点为对角线的中点，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ） A. B. 截面的面积为 C. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱 D. 以点为球心，为半径的球面与截面的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定性质，结合反证法推理判断A；作出截面并求出面积判断BC；确定截面小圆圆心及半径，进而求出交线长判断D. 【详解】对于A，连接，由平面平面，得， 假定，而平面，则平面， 又平面，则，矩形为正方形，与矛盾，A错误； 对于B，过点作直线平行于，分别交于两点，连接， 由是的中点，得分别为的中点，则， 四边形为过点及直线的长方体的截面，由平面， 平面，得，又，因此四边形为矩形， 而，此截面面积，B正确； 对于C，由选项B知，截面截长方体截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，C正确； 对于D，过作于点，由平面平面， 得，又平面，则平面， 因此点为以点为球心，长为半径的球面被平面所截小圆圆心， 球面与截面的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧， 显然，则交线长为，D正确. 故选：BCD 11. 三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线（零线）电压为，三根相线（火线）电压分别为，，，其中（单位：），（单位：）．三根相线间的电压叫线电压，记，，，线电压的最大值分别为，，，有效值分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 三根相线电压的频率均为50（单位：） B. C. 当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值 D. 线电压的有效值（单位：） 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用频率的计算公式计算可判定A正确；利用两角和得正弦公式展开化简可以判定B正确；利用两角和的正余弦公式化简求得各个线电压的函数表达式，然后利用三角函数的最值条件可以否定C，同时判定D正确. 【详解】选项A： 频率  与角频率  的关系是 . 给定 ，所以， 所有相线电压的角频率相同，只是相位不同，所以频率都是50 Hz，故A正确； 选项B：计算三个电压的和 计算括号内的部分. 设 ，则 ， ∴，故B正确； 选项C：  ， 所以 ，同理计算，， 假设  达到最大值，即 ，设 ，则当  时，（最大值），， 此时，均不是取得最小值，故C错误； 选项D：由上可知，线电压的最大值分别为，，，都等于， 有效值，，都等于，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某跳水运动员的10次训练成绩分别为65，80，73，67，69，83，76，70，74，82，则这组数据的第60百分位数是______． 【答案】75 【解析】 【分析】将给定数据由小到大排列，利用第60百分位数的定义求解. 【详解】10次训练成绩由小到大排列为：65，67，69，70，73，74，76，80，82，83， 由，得这组数据的第60百分位数是. 故答案为：75 13. 已知甲：，乙：，若甲是乙的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简命题甲，再利用必要不充分条件定义列式得解. 【详解】命题甲：，而命题乙：， 由甲是乙的必要不充分条件，得是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求出、坐标，再求数量积，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】如下图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 可得， 由，得，解得， ，当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）判断在区间上的单调性，并证明你的判断； （2）设函数，若在区间上的值域为，在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在区间上的单调递增，证明如下： 任取，则， 因为，所以即， 所以函数在区间上的单调递增. （2）实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）任取，计算并判断的正负即可得解； （2）根据函数单调性依次求出集合，再由其子集关系列不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知在区间上的值域为， 因为函数单调递减， 所以在区间上的值域为， 因为，所以. 所以满足题意的实数的取值范围为. 16. 已知的面积为，内角，，的对边分别为，，．从①，②两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题． （1）求角的大小； （2）延长至点，延长至点，连接，若，，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角求解；选②，利用余弦定理及三角形面积公式求解. （2）设，利用余弦定理列式计算得证. 【小问1详解】 选①，由及正弦定理，得，而， 则，， 由，得，所以. 选②，由、余弦定理及三角形面积公式，得， 则，而，所以. 【小问2详解】 设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因此，所以 \ 17. 如图1所示，在平行四边形中，，垂足为，，将沿折到的位置，如图2所示． （1）若平面平面，判断直线与平面的位置关系，并给出证明； （2）当二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】（1）平面.证明如下： 由题可得， 因为平面，在平面外， 所以平面，因为平面，平面平面， 所以，因为平面，在平面外，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先求证平面，接着由线面平行的性质定理得出即可由线面平行判定定理得证； （2）过P作交于点，求证平面且求出即可由锥体体积公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角，故， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过P作交于点， 则因为平面，平面平面， 所以平面，且， 所以四棱锥的体积为. 18. 某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． （3）已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 【答案】（1），77.5分； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并利用平均数的定义进行计算，估计高一年级初赛的平均成绩； （2）求出和两组的频率之比，进而得到从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为，列举法进行求解； （3）分别计算出甲，乙通过决赛的概率，相乘得到答案. 【小问1详解】 由题意得，解得， ， 估计高一年级初赛的平均成绩为77.5分； 【小问2详解】 和两组的频率之比为， 故从内抽取了2名学生，设为，内抽取了3名学生，设为， 已抽取的5名学生中随机抽取2名， 分别为， 共有10种情况， 其中至少有1名学生的成绩在内的情况为 ，共有7种情况， 故至少有1名学生的成绩在内的概率为； 【小问3详解】 甲通过决赛的概率为， 乙通过决赛的概率为， 故甲、乙能同时通过决赛的概率为. 19. 对定义域分别是，的函数，，规定：函数 （1）若，，写出的解析式； （2）若，，求的值域； （3）若，其中是常数，请设计一个定义域为的，及一个的值，使得，并予以证明． 【答案】（1）； （2）； （3），取. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用给定定义求出的解析式. （2）求出函数的解析式，再结合基本不等式分段求出值域. （3）写出函数及，再利用和差角的正弦公式及二倍角的余弦公式计算得证. 【小问1详解】 （1）由条件知，，， 则当，时，， 当，时，， 所以. 【小问2详解】 由条件知，，， 则， 当时，，当且仅当时恨等号； 当时，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 令，取， 证明如下： ，而， 则， 所以，取. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级教学质量统测 数学 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 对于随机事件，下列说法错误的是（ ） A. 如果事件与事件互为对立事件，那么 B. 如果事件与事件满足，那么 C. 如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D. 对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 5. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错误的是（ ） A. 2020至2024年第一产业增加值逐年下降 B. 2020至2024年第二产业增加值逐年升高 C. 2020至2024年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高 D. 2020至2024年全省地区生产总值逐年增长 8. 定义在上的函数满足，是偶函数，且，则使成立的最小正整数等于（ ） A. 2025 B. 506 C. 507 D. 2026 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为纯虚数 D. 若，则的最小值为1 10. 一块长方体形木料如图所示，，，点为对角线的中点，过点将木料锯开，使得截面过，则（ ） A. B. 截面的面积为 C. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱 D. 以点为球心，为半径的球面与截面的交线长为 11. 三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线（零线）电压为，三根相线（火线）电压分别为，，，其中（单位：），（单位：）．三根相线间的电压叫线电压，记，，，线电压的最大值分别为，，，有效值分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 三根相线电压的频率均为50（单位：） B. C. 当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值 D. 线电压的有效值（单位：） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某跳水运动员的10次训练成绩分别为65，80，73，67，69，83，76，70，74，82，则这组数据的第60百分位数是______． 13. 已知甲：，乙：，若甲是乙的必要不充分条件，则实数的取值范围是______． 14. 在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）判断在区间上的单调性，并证明你的判断； （2）设函数，若在区间上的值域为，在区间上的值域为，且，求实数的取值范围． 16. 已知的面积为，内角，，的对边分别为，，．从①，②两个条件中任选一个作为已知条件，解答下列问题． （1）求角的大小； （2）延长至点，延长至点，连接，若，，证明：． 17. 如图1所示，在平行四边形中，，垂足为，，将沿折到的位置，如图2所示． （1）若平面平面，判断直线与平面的位置关系，并给出证明； （2）当二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 18. 某中学高一年级举行了逻辑推理素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段．为了解初赛情况，现从随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成五组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照比例分层随机抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． （3）已知甲、乙两人进入了决赛，决赛规则如下：决赛分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级，若两科笔试成绩均为，则不需要进行第二轮面试就直接通过决赛，若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也可通过决赛，其他情况均不能通过决赛．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为、、、、，乙在每科笔试中取得，，，，概率分别为、、、、，甲、乙在面试中通过的概率分别为、．已知甲、乙两人在笔试、面试的成绩均互不影响，求甲、乙能同时通过决赛的概率． 19. 对定义域分别是，的函数，，规定：函数 （1）若，，写出的解析式； （2）若，，求的值域； （3）若，其中是常数，请设计一个定义域为的，及一个的值，使得，并予以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $