精品解析：河南周口市西华县中都高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试质量检测数学试卷

西华县中都高级中学高一下册期末考试质量检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：110分钟 一、选择题：本题共13小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，故选B. 考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题. 2. 设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，在复平面上对应的点为，位于第一象限，故A正确. 3. 一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】该组数据的平均数为， 该组数据共8个数，则中位数为第4个和第5个数的平均数，是， 该组数据的众数， 所以. 4. 点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】假设过点P且平行于平面的平面有两个，可判断重合. 【详解】假设过点P且平行于平面的平面有两个， 则由面面平行的性质知， 又都过P点，故重合， 所以过点P且平行于平面的平面只有一个. 故选：B 5. 某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定第40百分位数在频数分布表中确定对应的数据位置，先计算目标位置，再通过累加频数找到该位置对应的数值. 【详解】首先计算， 根据百分位数的定义，第40百分位数应为这组数据从小到大排列后的第21项数据， 直径为的频数为8，直径为的频数为9，累加频数为17， 直径为的频数为8，累加频数为25，即占据第18个至第25的位置， 因此，这51个零件的直径的第40百分位数为. 6. 已知，，若，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，且， 所以，解得； 于是得，，所以， 则. 7. 设随机事件，满足，，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【详解】可知. 8. “平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 【答案】C 【解析】 【详解】平面上有一条直线，表述为，点在直线内表述为，点在平面内表述为； 故对应的符号语言为：若，，则，故C正确. 9. 在中，，，角，则角大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】在中，已知，，，由正弦定理. 所以，所以. 由，根据大边对大角，得，所以只能为锐角. 因此. 10. 圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　)． A. 81π B. 100π C. 14π D. 169π 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，． 考点：求圆台侧面积． 11. 在平面直角坐标系中，点、、.以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为，由题意求出，，从而可求出其长度，进而可得结果 【详解】以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为， 因为、、， 所以， 所以，， 所以， ， 因为， 所以较长的对角线长为， 故选：B 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 【答案】C 【解析】 【详解】设袋中红球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有红球12个. 13. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在正三棱柱  中，， 所以异面直线  与  所成的角即为直线  与  所成的角. 连接 ，在  中， 由题意可知，底面正三角形边长为 ，侧棱长为 ， 所以 . 在  中，. 同理，在  中，. 由余弦定理可得： . 因为异面直线所成角的范围是 ，且 ， 所以异面直线  与  所成角的余弦值为 . 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 14. 化简： ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则计算即可. 【详解】. 15. 已知一组数据4，6，5，7，4，4，则这组数据的方差为_____． 【答案】 【解析】 【详解】由题设，数据平均值为， 则方差为. 16. 已知两个不同向量若则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得若则有，易得. 【详解】因为所以，解得.故答案为：. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，利用向量垂直可得数量积为零，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养. 17. 某校主持人队有男生2名，女生2名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为____. 【答案】 【解析】 【分析】通过列举法，可求出从4名学生中任选2名的所有方案，再求出至少有1名男生的所有方案，根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】由题意，假设男生为、，女生为、， 则从中任选2名学生，可以为：、、、、、，共有6种方案， 其中至少有1名男生有5种方案， 所以参加活动的学生中至少有1名男生的概率为. 18. 将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 三、解答题：本题共5大题，共60分.按题目要求作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 化简下列各式： （1）; （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加减法运算即可； （2）根据复数的乘除运算法则即可求解； 【小问1详解】 【小问2详解】 20. 已知是虚数单位，复数 （1）若z是实数，求a的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【小问1详解】 为实数，则虚部为零，即 ，解得  或 . 【小问2详解】 z在复平面内对应的点位于第二象限，则实部小于零且虚部大于零， 即   所以 21. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]分成5组，制成频率分布直方图如图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求的值并估计当天游客满意度分值的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （3）求样本数据的第85百分位数. 【答案】（1）中老年、中青年、少年的人数分别为30人、50人、20人. （2），平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的基本量的计算公式计算； （2）根据频率和为1求得，然后根据平均数公式计算即可； （3）找到第85百分位数所在区间然后按照公式计算即可. 【小问1详解】 由题可知：老年抽取：人，中青年抽取：人，少年抽取人. 【小问2详解】 由图可知：， 平均数为： 【小问3详解】 的频率为：；的频率为；的频率为；的频率为；所以可知第85百分位数落在， 所以第85百分位数为 22. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 样本空间中共有10个基本事件， 事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，故，共1个基本事件， 因此； 【小问3详解】 设事件为“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共6个基本事件， 样本空间中共有10个基本事件，所以. 23. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，且 （1）证明： ; （2）证明：平面平面． 【答案】（1）连接， 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得，所以． （2）设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且 平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线即可证明； （2）根据平行四边形及等腰三角形的性质，结合线面垂直和面面垂直的判定即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西华县中都高级中学高一下册期末考试质量检测 数学试卷 满分：150分 考试时间：110分钟 一、选择题：本题共13小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 2. 设复数，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数 5. 某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（ ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A. B. C. D. 6. 已知，，若，则（     ） A. B. C. D. 7. 设随机事件，满足，，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 8. “平面上有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面上”用符号语言表述是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若 ，，则 9. 在中，，，角，则角大小为（ ） A. B. C. D. 或 10. 圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　)． A. 81π B. 100π C. 14π D. 169π 11. 在平面直角坐标系中，点、、.以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（ ） A. B. C. D. 12. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 13. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 14. 化简： ___________. 15. 已知一组数据4，6，5，7，4，4，则这组数据的方差为_____． 16. 已知两个不同向量若则实数_____. 17. 某校主持人队有男生2名，女生2名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为____. 18. 将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 三、解答题：本题共5大题，共60分.按题目要求作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 化简下列各式： （1）; （2）. 20. 已知是虚数单位，复数 （1）若z是实数，求a的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 21. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]分成5组，制成频率分布直方图如图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求的值并估计当天游客满意度分值的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （3）求样本数据的第85百分位数. 22. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，女同学2名（记为，现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序） （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 23. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，且 （1）证明： ; （2）证明：平面平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $