河南省信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高一下学期7月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（    ） A． B． C．10 D．8 4．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题不正确的是（ ） A．事件互斥 B．事件与事件相互独立 C． D． 6．下列选项中，正确的个数是（ ） ①数据$1、3、5、7、9、11、13$的第80百分位数为12， ②若且，则，为实数； ③若直线的方向向量，平面的法向量，则 ④若样本数据的方差为2才则的标准羞为8 ⑤如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 10．10．对于 $V A B C$ ，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，下列说港正确的有 A．若，则为等腰三角形 B．若，则为等腰三角形 C．命题＂若，则＂是真命题 D．＂为锐角三角形＂是＂＂的充分不必要条件 11．如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知直线与平行，则实数的取值是 . 13．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距 ． 14．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． （1）用，，表示，，； （2）求异面直线AC与所成角的正切值． 16．（15分）已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17．（15分）为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 18．（17分）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O. （i）证明：. （ii）记和的面积分别为，，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期期末测试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B C D B A B C ABD ABD ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．或2 13． 14． 15．(1)，， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）利用空间向量的数量积定义计算，再根据空间向量数量积的运算分别求，，，根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与所成角的余弦值，根据同角三角函数关系求正切值即可. 【详解】（1）， ， ； （2）因为， ， 又，， 所以， ， ， 设异面直线AC与所成角为， 则， 所以，故， 所以异面直线AC与所成角的正切值为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 17．(1)0.008；平均数为，中位数； (2). 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数. （2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）依题意，，解得， 数学成绩的平均数为 由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62， 所以该校数学成绩的中位数，则，解得； （2）抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人， 记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A， 从5人中任取3人，，共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是. 18．(1)证明见解析 (2) (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【详解】（1）在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）对用平方差公式展开，再整理得到，把它代入公式（余弦定理形式）求，结合的范围得出的值. （2）（i）将写成，展开.利用外心性质得到和的值.再根据已知条件和类似公式（余弦定理）求出关于的式子，进而得出. （ii）由正弦定理相关式子得出外接圆半径.根据角度关系和面积公式求出和，得到表达式.根据三角形是锐角三角形确定范围，换元后得到关于的二次函数，根据二次函数性质求范围. 【详解】（1）由题意得，即， 由余弦定理得，又，所以. （2）（i）由， 因为O为外接圆圆心，即外心，所以，， 由余弦定理得，， 所以 （ii）设外接圆半径为R，则，且，即， 因为，，所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，令， 则， ，，即为所求. $$