27.1 反比例函数的概念 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念、解析式确定及模型建立，通过舞台灯光控制、高铁速度与时间等生活实例导入，衔接二次函数复习内容，以合作探究、练一练等学习支架引导学生逐步理解知识脉络。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实问题，如菱形面积与对角线关系实例，结合“数学思维”设计问题链，通过待定系数法推理运算，用“数学语言”建立函数模型。课堂小结结构化梳理知识点，助力学生提升抽象能力与应用意识，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月2日 27.1 反比例函数的概念 第27章 反比例函数 第二十六章 二次函数 全章总复习 一、二次函数基础概念（26.1） 1. 定义 一般地，形如 $$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$ 为常数，$$\boldsymbol{a eq0}$$）的函数叫做二次函数。 三大判定条件：①整式函数；②自变量最高次数为2；③二次项系数 $$a eq0$$。 2. 三种解析式形式 一般式：$$y=ax^2+bx+c$$（适用于已知任意三点） 顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（适用于已知顶点/对称轴/最值） 交点式：$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$（适用于已知抛物线与x轴两个交点） 二、二次函数图象与性质（26.2 核心重点） 1. 最简形式：$$y=ax^2$$ 图象：抛物线，顶点 $$(0,0)$$，对称轴为y轴； $$a>0$$ 开口向上，原点为最低点，$$x<0$$递减，$$x>0$$递增； $$a<0$$ 开口向下，原点为最高点，$$x<0$$递增，$$x>0$$递减； 开口宽窄：$$|a|$$ 越大，开口越窄；$$|a|$$ 越小，开口越宽。 2. 平移形式：$$y=ax^2+k$$、$$y=a(x-h)^2$$ $$y=ax^2+k$$上下平移 ：上加下减，对称轴不变（y轴），顶点 $$(0,k)$$，仅改变最值； $$y=a(x-h)^2$$左右平移 ：左加右减，顶点$$(h,0)$$，对称轴为直线 $$x=h$$，增减性以$$x=h$$ 分界。 3. 顶点式：$$y=a(x-h)^2+k$$（万能形式） 顶点$$(h,k)$$，对称轴直线 $$x=h$$； $$a>0$$，最小值 $$y=k$$；$$a<0$$，最大值 $$y=k$$； 所有平移均可由 $$y=ax^2$$ 先左右、后上下平移得到。 4. 一般式：$$y=ax^2+bx+c$$ 对称轴公式：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 顶点坐标：$$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$$ 系数符号规律： ① $$a$$：定开口；② $$c$$：定与y轴交点 $$(0,c)$$；③ $$a、b$$：左同右异（定对称轴位置）。 三、二次函数与一元二次方程（26.3） 1. 核心关系 令 $$y=0$$，二次函数 $$y=ax^2+bx+c$$ 转化为方程 $$ax^2+bx+c=0$$； 方程的根 = 抛物线与x轴交点的横坐标。 2. 判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 三种对应关系 $$\Delta>0$$：两个不相等实数根，抛物线与x轴2个交点； $$\Delta=0$$：两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）； $$\Delta<0$$：无实数根，抛物线与x轴无交点。 3. 方程近似解 夹值法（二分法）：若两个x对应函数值一正一负，则区间内必有一个实数根；逐步缩小区间，按精度取近似值。 四、二次函数实际应用（26.4 中考必考大题） 1. 几何图形最大面积问题 解题模板：设边长→用代数式表示其余边长→列面积二次函数→确定自变量范围→求顶点最值； 经典模型：固定周长矩形正方形面积最大、靠墙围栏矩形最值、三角形内接矩形最值。 2. 商品最大利润问题 核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量； 两类模型：涨价少卖、降价多卖； 关键注意：销量、单价为正数，实际取值多为整数，顶点非整数时需就近取值对比最值。 3. 抛物线实物与运动轨迹问题 解题万能步骤：建系→找点→设解析式→求参数→代入求解→验证实际意义； 静态模型：拱桥、隧道、喷水（求跨度、限高、限宽）； 动态模型：投篮、抛球（求最大高度、落地距离、飞行范围）。 五、全章高频易错点汇总 1. 平移规律易错：左加右减、上加下减，左右平移针对x，上下平移针对整体，极易混淆； 2. 顶点坐标符号易错：$$y=a(x+h)^2+k$$ 顶点横坐标为 $$-h$$； 3. 对称轴公式漏负号：$$x=-\dfrac{b}{2a}$$ 是高频计算错误点； 4. 实际应用必看自变量范围：顶点不在取值区间内时，最值取端点； 5. 方程根与交点混淆：根是数值，交点是坐标$$(x,0)$$； 6. 增减性不能笼统描述，必须以对称轴为分界讨论。 六、全章解题技巧总结 1. 求最值优先配方或用顶点公式，无需描点； 2. 图象判断题用“a、b、c、Δ、对称轴”五大要素快速排除； 3. 实际问题优先设变化量为x，简化列式； 4. 抛物线对称性质可快速求对称点、对称函数值，简化计算。 1. 理解反比例函数的概念，判断两个变量之间的关系是否为反比例函数关系.（重点） 2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.（重点） 3. 体会并理解函数是刻画变量之间关系的数学模型.（难点） 学习目标 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? 3 下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式. 【合作探究】 (1) 京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 探究点1：反比例函数的概念 4 (2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 y (单位：m) 随另一边长 x (单位：m) 的变化而变化； (3) 李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用的流量 Q (单位：GB) 随使用完流量的总时间 t (单位：天) 的变化而变化. 探究点1：反比例函数的概念 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？ 问题： 都具有 的形式，其中 是非零常数. 分式 分子 一般地，形如 (k 为常数，k ≠ 0) 的函数，叫作反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. 探究点1：反比例函数的概念 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的第一个解析式 中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其相对应. 探究点1：反比例函数的概念 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 想一想： 反比例函数的三种表达方式(注意 k ≠ 0)： 探究点1：反比例函数的概念 1. 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 【练一练】 y = 3x - 1 y = 3x-1 探究点1：反比例函数的概念 9 例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值. 所以 m2 + 2m - 4 = －1， m - 1≠0. 解得 m = -3. 解：因为 是反比例函数， 方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0. 探究点1：反比例函数的概念 2. 已知函数 是反比例函数， 则 k 必须满足 . 1. 当 m = 时， 是反比例函数. k≠2 且 k≠－1 ±1 指数为 -1 系数不为0 【练一练】 探究点1：反比例函数的概念 例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法. 解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以 解得 k =12. 因此 探究点2：确定反比例函数的解析式 (2) 当 x = 4 时，求 y 的值. 解：把 x = 4 代入 ，得 归纳：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的反比例函数解析式； ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 探究点2：确定反比例函数的解析式 2. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x = 7 时，求 y 的值． 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y = 4 ， 所以 ，解得 k = 16，因此 . (2) 当 x = 7 时， 探究点2：确定反比例函数的解析式 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为 100 km/h 时，视野的度数. 探究点3：建立简单的反比例函数模型 15 当 v = 100 时，f = 40. 所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度. 解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80， 解得 k = 4000. 因此 所以 探究点3：建立简单的反比例函数模型 16 例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180 平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x cm，y cm. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解：因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， 所以 S菱形 ABCD 所以变量 y 与 x 之间的关系式为 ，它是反比例函数. 探究点3：建立简单的反比例函数模型 知识点1 反比例函数的定义 1. 下列函数：， ， ，，，， ， .其中是 的反比例函数的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知函数是反比例函数，则 的取值范围是______ _______. 且 中考考法 18 知识点2 建立反比例函数模型 3. 下列数量关系中，成反比例关系的是( ) C A. 橘子的单价一定，购买橘子的质量与总价 B. 圆锥的体积一定，它的底面半径与高 C. 路程一定时，速度与时间 D. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 中考考法 19 4. 当矩形面积一定时，长是宽 的反比例函 数，其函数解析式可以写为为常数， .请你仿 照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数 关系的量的实例，并写出它的函数解析式.实例：__________ ________________________________；函数解析式： _______________________________. 当路程 一定时，速度是时间的反比例函数 为常数（答案不唯一） 中考考法 20 5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变 的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比 例函数.当时，.则当 时， ________ . 16 000 中考考法 21 知识点3 反比例函数与成反比例 6. 下列说法正确的是( ) A A. 在中，与 成正比例 B. 在中，与 成反比例 C. 在中，与 成正比例 D. 在中，与 成正比例 中考考法 22 【点拨】A.， . 与 成正比例，故选项正确； B.，与 成正比例，故选项错误； C.时，；时， ，故选项错误； D.， ，故选项错误. 故选A. 中考考法 23 7. 已知和成正比例，和成反比例，则和 成____比例. 反 中考考法 24 8.若长方形的两邻边长度分别为, ，面积保持不变，下表给 出了与 的一些值求长方形的面积． 3 1 8 4 2 5 （1）长方形的面积是多少？ 【解】长方形的面积为4. 中考考法 25 （2）与之间是什么关系？用式子表示与 之间的关系． 与是反比例关系，用式子表示为 . （3）完成上表． 如表所示. 3 1 2 8 6 4 2 5 中考考法 26 9. 节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购 买500度电，若平均每天用电度，则能使用 天.下列说法错 误的是( ) C A. 若，则 B. 若，则 C. 若减小，则 也减小 D. 若减小一半，则 增大一倍 中考考法 27 根据实际问题建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 反比例函数 课堂小结 $