湖北荆门市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

荆门市高二下学期期末数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，试卷共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量服从正态分布，则（ ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 2．某人有4把钥匙，其中仅有一把能打开门．如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数有极值，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知等差数列前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 5．现有8道四选一的单选题，学生张君对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25．张君从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 6．函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．480的不同的正因数的个数为（ ） A．20 B．24 C．28 D．32 8．如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为．则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束．若此时棋子在点处，则游戏过关．试问游戏结束时过关的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数之和为64 B．各项系数之和为 C．二项式系数最大的项为 D．常数项为 10．函数，则（ ） A． B．的单调递增区间为 C．最大值为 D．有两个零点 11．下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．集合的三元子集的个数为________．（用数字作答） 13．在等比数列中，，前3项之和，则公比的值为________． 14．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共100人进行问卷调查．将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间（单位：分钟）各分为5组：，，，，，经统计得下表： 男生 人数 4 5 27 21 3 女生 人数 3 13 16 6 2 若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”． （1）根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？ 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 女 合计 （2）从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人担任体育运动宣传员，记随机变量为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分） 已知数列满足（为自然对数的底），且． （1）当时，令，求的通项公式及其前项和； （2）当时，令，，，求． 17．（本小题满分15分）函数． （1）求在处的切线方程； （2）时，恒成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，在矩形中，，，坐标轴上四点，，，分别是矩形四条边的中点，设，． （1）证明：直线与的交点恒在在椭圆上，并求的方程； （2）直线过（1）中椭圆的右焦点与交于，两点，，． ①若在轴上，则是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，证明：动点恒在一条定直线上，并求出该直线方程． 19．（本小题满分17分） “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；②两人游戏时，出相同的手势为平局：多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局．现有人玩游戏． （1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、； （2）求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用表示）； （3）设当时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆门市高二下学期期末数学 参考答案与评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C C D C B C ABD BD BCD 12．10 13．或 14． 15．解：【1】列联表如下： 喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计 男 24 36 60 女 8 32 40 合计 32 68 100 2分 零假设为：是否喜欢体育运动与性别无关联． 根据列联表可得 5分 所以，根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为是否喜欢体育运动与性别有关联． 6分 【2】从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取8人， 则男生抽取人数为，女生抽取人数为． 8分 的所有可能取值为0，1，2，其中，，．则的分布列为： 0 1 2 11分 所以的数学期望． 13分 16．【1】当时，，两边取对数，，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 3分 故，． 5分 【2】当时，（*）， 则，故， 7分 于是， 10分 又由（*），可得，故， 于是 14分 ． 15分 17．解：（1） 3分 ，又，故在处的切线方程为： 6分 （2）令， 注意到：，要使时，对恒成立 则，即 12分 当时， 故在上单调递减，故对恒成立 故实数的取值范围为． 15分 18．解：法1：（1）由，得， 故，，即，设则， 化简有：，故椭圆的方程为：． 5分 法2：，， 两式相乘化简有：，故椭圆的方程为：． 5分 （1）①法1：由，，，， 由 11分 法2：设，，， 由，代入有： 化简得：；同理：由得 故，是一元二次方程：的两根，故 11分 ②法1：设， 由 得，故， 即动点恒在定直线上． 17分 法2：设，，，． 由，代入有： 化简得：； 同理：由得 故，是一元二次方程：的两根， 故由得即，即动点恒在定直线上． 17分 （备注：该直线即为椭圆的右准线，一般地，若，则动点的轨迹为：，即椭圆的切点弦的方程．） 19．【1】， 4分 【2】由于平局的情况比较多，我们可以考虑人玩游戏分出胜负的概率， ； 8分 其中表示分出胜负的三种情况，即人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，而分出胜负与平局是对立事件，故 10分 【3】解法一：由于4人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者 情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者 此时； 12分 情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 14分 情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者 此时； 16分 综上所述： 17分 解法二：记表示个人玩一轮游戏，恰好剩人的概率， 当时，； 12分 当时，； 14分 4人2轮游戏决出唯一获胜者的概率， 16分 17分 学科网（北京）股份有限公司 $