课时作业30 指数函数的图象和性质的应用 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦指数函数图象和性质应用，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三阶分层设计，实现从概念理解到问题解决的思维进阶，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义域、值域、单调性等单一知识点|选择填空（1-5题、11-13题），直接考查概念辨析与基础运算，强化数学眼光下的符号意识| |中档层|奇偶性、复合函数、图象变换综合应用|多选与解答题（3、6-9题、16-17题），结合分类讨论与逻辑推理，体现数学思维的严谨性| |拔高层|不等式恒成立、函数最值、跨知识点综合|解答题（18-19题），需构建函数模型解决实际问题，发展数学语言表达与创新意识|

课时作业30　指数函数的图象和性质的应用 一、选择题 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[－1，0)∪(0，＋∞) 　B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) 　 D．(0，＋∞) 2．已知a>0且a≠1，则函数y＝a的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 3．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3) 4．若函数f(x)＝a|2x-4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 6．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 7．设函数f(x)定义在实数集上，f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝x，则有(　　) A．f<f(2)<f B．f<f(2)<f C．f<f<f(2) D．f(2)<f<f 8．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 9．(多选题)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　) A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)<f(3) C．f(x)－g(x)＝π－x D．f(2x)＝2f(x)g(x) 10．已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　　) A.∪[2，＋∞) B.∪(1,4] C.∪(1,2] D.∪[4，＋∞) 二、填空题 11．函数f(x)＝()x2－4x－5的单调递减区间是__________． 12．已知函数f(x)＝bax(其中a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过A(1，6)，B(2，18)两点．若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________． 13．若关于x的方程x＝有正实数根，则实数a的取值范围为 ． 14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则当x<0时，f(x)＝2x－1；不等式f(x)<－的解集是 ． 15．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝ . 三、解答题 16．求下列函数的定义域、值域： (1)y＝0.3； (2)y＝3. 17．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3. (1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 18．已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值． 19．设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)<0，试判断y＝f(x)的单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围； (3)若f(1)＝，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值． 课时作业30　指数函数的图象和性质的应用 （答案） 一、选择题 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[－1，0)∪(0，＋∞) 　B．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞) 　 D．(0，＋∞) 解析：依题意得即 故函数f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，＋∞)，故选A. 答案：A 2．已知a>0且a≠1，则函数y＝a的值域为(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：设t＝，则y＝at，其中t≠0.∵t≠0，∴at≠a0，即at≠1，又at>0，∴y>0且y≠1，即函数y＝a的值域为(0，1)∪(1，＋∞)，故选C. 答案：C 3．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(－2)>f(2) D．f(－4)>f(3) 解析：由f(2)＝a-2＝4得a＝，即f(x)＝()－|x|＝2|x|，故f(－2)>f(－1)，f(－2)＝f(2)，f(－4)＝f(4)>f(3)，所以A、D正确． 答案：AD 4．若函数f(x)＝a|2x-4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A.(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：由f(1)＝，得a2＝，于是a＝， 因此f(x)＝()|2x-4|. 令t＝|2x－4|，所以h(t)＝()t为减函数． 因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞).故选B. 答案：B 5．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞) 解析：由题意知f(x)＝－f(－x)，即＝－，解得a＝1.所以f(x)＝. 由f(x)＝>3，得1<2x<2，即20<2x<21. 因为y＝2x在R上单调递增，所以0<x<1. 答案：C 6．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：由题意，知f(a)<1等价于 或 解得－3<a<0或0≤a<1， 所以－3<a<1.故选C. 7．设函数f(x)定义在实数集上，f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝x，则有(　　) A．f<f(2)<f B．f<f(2)<f C．f<f<f(2) D．f(2)<f<f 解析：由f(1＋x)＝f(1－x)，得函数f(x)的图象关于x＝1对称， 当x≥1时，f(x)＝x单调递减， 则当x≤1时，函数f(x)单调递增， ∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)， ∴f(0)<f<f，即f(2)<f<f. 故选D. 8．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：方法一：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<()x.在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x－a与y＝()x的图象，如图所示．由题意知，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方，观察可知，－a<1，所以a>－1. 方法二：由题意知存在正数x，使a>x－成立，只需a>(x－)min，而函数f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上单调递增，所以a>－1. 故选D. 9．(多选题)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　) A．f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)<f(3) C．f(x)－g(x)＝π－x D．f(2x)＝2f(x)g(x) 解析：A正确，f(－x)＝＝－f(x)， g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)； B正确，因为函数f(x)为增函数，所以 f(－2)<f(3)； C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x； D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x)． 故选ABD. 10．已知a>0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　　) A.∪[2，＋∞) B.∪(1,4] C.∪(1,2] D.∪[4，＋∞) 解析：当x∈(－1,1)时，均有f(x)<成立， 即x∈(－1,1)时，x2－<ax恒成立． 在同一直角坐标系中作出函数g(x)＝x2－，φ(x)＝ax的图象，如图所示． 当a>1时，依题意，φ(－1)＝a－1≥g(－1)＝，所以1<a≤2；当0<a<1时，φ(1)＝a≥g(1)＝，所以≤a<1.故选C. 二、填空题 11．函数f(x)＝()x2－4x－5的单调递减区间是__________． 解析：因为y＝()t在定义域上是减函数，t＝x2－4x－5在区间(－∞，2)内单调递减，在区间(2，＋∞)内单调递增，所以由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞). 答案：(2，＋∞) 12．已知函数f(x)＝bax(其中a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过A(1，6)，B(2，18)两点．若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________． 解析：由已知可得解得 则不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，设g(x)＝()x＋()x－m， 显然函数g(x)＝()x＋()x－m在(－∞，1]上单调递减， ∴g(x)≥g(1)＝＋－m＝－m， 故－m≥0，即m≤，∴实数m的最大值为. 答案： 13．若关于x的方程x＝有正实数根，则实数a的取值范围为 ． 解析：()x＝有正实数根，即x>0有解，那么0<<1，因而 解得－<a<，即a∈(－，)． 答案：(－，)． 14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则当x<0时，f(x)＝2x－1；不等式f(x)<－的解集是 ． 解析：设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1. 当x>0时，1－2－x∈(0,1)， 所以当x<0时满足不等式f(x)<－， 即2x－1<－，解得x<－1. 答案：(－∞，－1)． 15．函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝ . 解析：g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，因而1－4m>0，即m<. 若a>1，则f(x)＝ax在[－1,2]上单调递增，因而最大值f(2)＝a2＝4，得a＝2，则最小值为f(－1)＝2－1＝，即m＝，与m<矛盾； 若0<a<1，则f(x)＝ax在[－1,2]上单调递减，因而最大值f(－1)＝a－1＝4，得a＝，则最小值为f(2)＝2＝，即m＝，符合题意．综上，a＝. 答案：. 三、解答题 16．求下列函数的定义域、值域： (1)y＝0.3； (2)y＝3. 解：(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}．由≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}． (2)由5x－1≥0得x≥，所以函数定义域为.由≥0得y≥1， 所以函数值域为{y|y≥1}． 17．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3. (1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间； (2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7， 由于g(x)在(－2，＋∞)上递减， y＝x在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3， f(x)＝h(x)， 由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1； 因此必有解得a＝1. 即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 18．已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值． 解：(1)证明：f(x)的定义域为R， 设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋ ＝. ∵x1<x2，∴2x1－2x2<0， 又(1＋2x1)(1＋2x2)>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)∵f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝. (3)由(2)知，f(x)＝－. 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝－＝， ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为. 19．设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)<0，试判断y＝f(x)的单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围； (3)若f(1)＝，g(x)＝a2x＋a－2x－2f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值． 解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2. (2)由(1)知f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)， ∵f(1)<0，∴a－<0， 又a>0，且a≠1，∴0<a<1. ∴f(x)在R上单调递减． 又不等式可化为f(x2＋tx)<f(x－4)， ∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立， ∴(t－1)2－16<0，解得－3<t<5. (3)∵f(1)＝，∴a－＝，即2a2－3a－2＝0，解得a＝2(负值舍去)． ∴g(x)＝22x＋2－2x－2(2x－2－x) ＝(2x－2－x)2－2(2x－2－x)＋2. 令t＝2x－2－x，∵t＝2x－2－x在[1，＋∞)上单调递增，∴t∈[，＋∞)． 设h(t)＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，t∈[，＋∞)． ∴h(t)min＝h()＝， 即g(x)在[1，＋∞)上的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $